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Problemas Resueltos de Probabilidad
Presentación
Los siguientes problemas tienen la finalidad de que el aprendiz practique la
aplicación de los conceptos básicos de la probabilidad en la resolución de
problemas.
Los primeros cinco problemas son de cálculo de probabilidades.
Problema 1: descripción espacio muestral asociado a un experimento
aleatorio. Se tiene que haer una lista de sus elementos.
Problema 2: descripción de eventos en un espacio muestral, dada su
definición verbal. Se tiene que hacer una lista de sus elementos.
Problema 3: en este problema ya se pide calcular probabilidades; se tiene
que aplicar la definición de probabilidad de un evento.
Problema 4: en este problema se tiene que aplicar el concepto de eventos
independientes y experimentos independientes.
Problema 5: en el problema 5 ya se tiene que usar el algebra de eventos y
el concepto de eventos incompatibles. Es importante aquí conocer el
significado de unión e intersección de eventos.
1- Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso.
Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio.
Solución
El espacio muestral es el conjunto de todos los eventos elementales. Los
eventos elementales son cada uno de los resultados posibles del
experimento aleatorio, indescomponibles en otros más simples.
Como el experimento consiste en responder al azar a dos preguntas, cada
uno de los posibles patrones de respuesta constituirá un evento elemental.
Un patrón de respuesta sería contestar verdadero a la primera pregunta y
verdadero a la segunda, lo representamos (V, V).
Con esta representación podemos escribir el espacio muestral como:
E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}
1
2- Un estudiante responde al azar a 4 preguntas de verdadero o falso.
a) Escriba el espacio muestral.
b) Escriba el evento "responder falso a una sola pregunta."
c) Escriba el evento "responder verdadero al menos a 3 preguntas".
Solución
a) Con la misma convención del problema anterior, los eventos
elementales serían:
(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V) (F, V, V, V) (V, V, F, F) (V,
F, V, F) (V, F, F, V) (F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F) (F, V, F,
F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)
b) El Evento responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del
espacio muestral formado por todos los eventos elementales en que solo
hay una respuesta falso, lo llamaremos A y será:
A = {(V, V, V, F), (V, V, F, V), (V, F, V, V), (F, V, V, V)}
c) El evento responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B
y será:
B = {(V, V, V, F), (V, V, F, V), (V, F, V, V), (F, V, V, V), (V, V, V, V)}
3- Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo,
azul y blanco. Si pulsa dos pulsadores al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse el pulsador rojo?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse al menos una vez el pulsador
azul?
Solución
a)
Para que las dos veces pulse rojo tiene que ocurrir que la primera
vez pulse la roja y la segunda también pulse la roja, es decir que se
verifique el evento (R, R). Ahora bien , como ambos eventos son
independientes, la probabilidad de la intersección es igual al producto de
las probabilidades de ambos eventos. La probabilidad de estos eventos se
determina mediante la regla de Laplace de casos favorables (uno), dividido
entre los casos posibles (tres):
P(R, R) = P(R) · P(R) = 1/3 · 1/3 = 1/9
b) En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unión de
los eventos pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora
bien, estos dos eventos no son incompatibles, luego la probabilidad de la
unión será igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de
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la intersección. La probabilidad de la intersección, al igual que en el
apartado anterior, se calcula basándonos en el hecho de que son
independientes.
P(A, A) = P(A) + P(A) – P(A, A) = 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9
4- Como todo el mundo sabe, la probabilidad de que en una ruleta salga
10 veces seguidas el color rojo es muy pequeña. Habiendo salido 9 veces
seguidas el rojo, un jugador apuesta al negro ¿Qué probabilidad tiene de
ganar?
Solución
Para que el jugador gane tiene que ocurrir la secuencia R1, R2, ..., R9,
N10. Como sabemos ya se ha producido R1, R2, ..., R9. La probabilidad
que buscamos será la probabilidad de que salga negro en el décimo
lanzamiento, condicionada por que haya salido rojo en las nueve
anteriores.
Como vemos el hecho de que previamente haya salido nueve veces rojo
no cambia la probabilidad de que salga la décima vez. Esto es así porque
cada lanzamiento es independiente de los restantes.
(Nota. En realidad la probabilidad de que salga rojo o negro en una ruleta
no es exactamente 0,5, sino 18/37 ya que además de los 18 números
rojos y los 18 negros, existe el cero que no tiene asignado color, pero este
dato no cambia el razonamiento hecho y el resultado sería 18/37)
5- En una asignatura se ha decidido aprobar a aquellos alumnos que
aprueben uno de los dos parciales. Con este criterio aprobó el 80%.
Sabiendo que el primer parcial lo superó el 60% y el segundo el 50%
¿Cuál hubiese sido el porcentaje de aprobados, si se hubiese exigido
superar ambos parciales?
Solución
Sea A1 el evento aprobar el primer parcial y A2 aprobar el segundo. Los
datos del problema nos dicen que: P(A1 A2) = 0,8 P(A1) = 0,6 P(A2) =
0,5. Y se pide la probabilidad de la intersección de ambos eventos.
Como A1 y A2 no son incompatibles, la probabilidad de la unión será: P(A1
U A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 A2).
Despejando tenemos: P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1U A2)
Sustituyendo los valores numéricos: P(A1 U A2) = 0,6 + 0,5 – 0,8 = 0,3
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La conclusión es que si se hubiese exigido aprobar los dos parciales el
porcentaje de aprobados hubiese sido del 30%.
Problemas resueltos de variables aleatorias
Presentación
Como se sabe, sobre un espacio muestral se puede definir una variable
aleatoria, la cual es una variable que toma valores con una cierta
probabilidad.
Problema 1: Se define una variable aleatoria sobre un espacio muestral y
se pide construir una tabla de las probabilidades asociadas a cada uno de
los valores de la variable.
Problema 2: el problema 2 aclara la idea de equiprobabilidad de los
resultados en un espacio muestral: en el lanzamiento de dados y de
moneras los resultados elementales son equiprobables en el sentido de
que cada uno de los resultados tienen las mismas chances o posibilidades
de ocurrir (no hay razones para pensar que un reultado tenga más
posibilidades que otro). ¡Pero todavía falta saber cuales son los resultados
elementales! La clave del problema es que el resultado (3,3) no puede
invertirse para lograr el 6 y por eso el 6 tiene una chance menos que el 7
en el cual todos los resultados elementales que suman 7 son invertibles.
Problema 3: es parecido al 1 sólo que en éste la descripción del espacio
muestral es más "detallosa". Primero hay que darse cuenta de que son 4
pruebas y en cada prueba la rata pulsa un botón. Y también que de los
tres botones no importan los colores excepto el rojo, de tal manera que,
en cada prueba o experimento, la rata pulsa ya sea rojo o bien pulsa no
rojo. Con esa clave la descripción del espacio muestral es fácil. Pero
todavía falta asociar los resultados elementales que dan lugar a un valor
de la variable.
Problema 4: en el problema 4 se tienen que calcular dos probabilidades
para un mismo valor de una variable aleatoria. Aparentemente, porque
son dos variables distintas cada una asociada a un espacio muestral y a un
experimento aleatorio. En cada caso el aprendiz tiene que decidir para qué
resultados elementales de cada experimento se logra el puntaje
mencionado y después calcular las probabilidades respectivas con
referencia al espacio muestral correspondiente.
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Problemas 5 y 6: estos problemas piden calcular la esperanza matemática
o valor esperado de una variable aleatoria. El valor esperado de una
variable aleatoria es un concepto central en la probabilidad y la estadística
y se define (para variables discretas) de la siguiente manera: dada la
distribución de probabilidades de la variable X como P(X=k) mediante una
tabla o fórmula, la esperanza matemática de X --denotada con E(X)-- se
calcula multiplicando cada valor de la variable por su probabilidad
correspondiente y sumando todos esos productos. Es decir, suponiendo
que la variable toma los valores del 1 al n, E(X)=1P(1)+2P(2)+...+nP(n).
1. (Distribución de probabilidades de una variable aleatoria) Construir una
tabla para la distribución de probabilidades asociada a la variable aleatoria
X=suma de puntos al lanzar dos dados.
Solución
Denotemos con (m,n) el resultado "m puntos en el primer dado y n puntos
en el segundo". A continuación presentamos todos los eventos elementales
derivados de lanzar dos dados y el valor que para cada uno de estos
eventos tiene la variable suma:
(1,1) 2
(2,1) 3
(3,1) 4
(4,1) 5
(5,1) 6
(6,1) 7
(1,2) 3
(2,2) 4
(3,2) 5
(4,2) 6
(5,2) 7
(6,2) 8
(1,3) 4
(2,3) 5
(3,3) 6
(4,3) 7
(5,3) 8
(6,3) 9
(1,4) 5
(2,4) 6
(3,4) 7
(4,4) 8
(5,4) 9
(6,4) 10
5
(1,5) 6
(2,5) 7
(3,5) 8
(4,5) 9
(5,5) 10
(6,5) 11
(1,6)) 7
(2,6) 8
(3,6) 9
(4,6) 10
(5,6) 11
(6,6) 12
Como todos estos eventos tienen la misma probabilidad 1/36, la
distribución de la suma será:
X 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
2. (Resultados equiprobables) Un jugador afirma que al lanzar dos dados
es igualmente probable obtener un seis que un siete, ya que hay el mismo
número de resultados a favor de un resultado que del otro. Cinco y uno,
cuatro y dos, tres y tres, para el seis y seis y uno, cinco y dos, cuatro y
tres, para el siete. ¿Es cierta esta afirmación? Razone la respuesta.
Solución
No, en realidad los eventos que dan origen a que la suma valga 6 son:
(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) por tanto la probabilidad será 5/36, mientras
que los eventos que hacen que la suma sea 7 son (1,6) (2,5) (3,4) (4,3)
(5,2) (6,1) y en consecuencia esta probabilidad será 6/36.
3. (Distribución de probabilidades de una variable aleatoria) Para estudiar
si las ratas tienen visión cromática, en una caja que cuenta con tres
palancas se marca en rojo aquella que al pulsarla proporciona alimento. En
cada prueba la posición de este pulsador se cambia aleatoriamente. Se
somete una rata a cuatro pruebas. ¿Cual sería la distribución de la variable
aleatoria "número de pulsaciones que consiguen alimento", si la rata no
distinguiera el rojo y pulsase al azar?
Solución
Denotemos con R el evento "la rata pulsa rojo" y con R' el evento "la rata
pulsa no rojo". La variable aleatoria X=número de pulsaciones puede
tomar los valores 0, 1, 2, 3 y 4.
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El evento que da origen a que la variable valga 0 sería (R'R'R'R'), es decir,
la rata pulsa no rojo en las cuatro pruebas. Este evento tiene probabilidad
2/3 · 2/3 · 2/3 · 2/3 = 16/81.
El evento que da origen al valor 1 de la variable sería:
(RR'R'R'), (R'RR'R'), ( R'R'RR'),( R'R'R'R), y su probabilidad sería 4 · 1/3 ·
2/3 · 2/3 · 2/3 = 32/81
El evento que da lugar al valor 2 de la variable es:
(RRR'R'), (RR'RR'), (RR'R'R),(R'RRR'), (R'RR'R),(R' R'RR) y su probabilidad
6 · 1/3 · 1/3 · 2/3 · 2/3 = 24/81.
El evento que da lugar a un valor de 3 de la variable es:
(RRRR'), (RRR'R), ( RR'R R), (R'RRR), y su probabilidad 4 · 1/3 · 1/3 · 1/3
· 2/3 = 8/81
El evento correspondiente al valor 4 de la variable es el evento (RRRR), y
su probabilidad es 1/3 · 1/3 · 1/3 · 1/3 = 1/81.
En resumen, la distribución del número de aciertos es:
X
0
1
2
3
4
P 16/81 32/81 24/81 8/81 1/81
4. (¿Qué es más probable?) Un jugador de Rol necesita sacar un 18 en el
lanzamiento de los dados para salvarse de un conjuro. El Dungeon Master
le ofrece lanzar tres dados de seis caras o uno de diez junto con uno de
ocho.
a) ¿En cual de estas dos alternativas es más probable obtener un 18 y
salvarse del conjuro? Explique su respuesta
b)¿Cambiaría la respuesta la misma si hubiese que sacar 17 o más para
evitar el conjuro?
Solución
a) Para sacar 18 con tres dados de seis caras tiene que ocurrir el evento
(6, 6, 6) que tiene una probabilidad 1/6 · 1/6 · 1/6 = 1/216.
Para obtener 18 con un dado de diez caras y otro de ocho tiene que ocurrir
el evento (10, 8) cuya probabilidad es 1/10 · 1/8 = 1/80.
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Entonces es más probable obtener 18 puntos con un dado de 10 y otro de
8.
b) Para obtener 17 o más con los tres dados tiene que ocurrir el evento:
(5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5), (6, 6, 6)
cuya probabilidad es 4/216.
Para conseguir el mismo resultado con los dos dados tiene que ocurrir el
evento (10, 7), (9, 8). (10, 8), el cual tiene una probabilidad de 3/80.
Por tanto es más probable obtener 17 o más puntos con los dos dados que
con los tres. Es decir, la respuesta sería la misma que en el primer inciso.
5. (Esperanza matemática) Tenemos una urna con dos bolas blancas, tres
verdes y cinco rojas. Extraemos al azar dos bolas simultáneamente.
Recibimos 200 pesos si las dos bolas son blancas, 100 si las dos son
verdes y 10 si una es roja y la otra verde, y en los demás casos no
recibimos nada. ¿Cual es el valor esperado de los premios?
Solución
P(B1 B2) = P(B1) · P(B2 / B1) = 2/10 · 1/9 = 2/90 = 1/45
P(V1 V2) = P(V1) · P(V2 / V1) = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 1/15
P((R1 V2) U (V1 R2)) = P(R1 V2) + P(V1 R2) = 5/10 · 3/9 + 3/10 · 5/9 =
15/90 + 15/90 = 1/3
Por consiguiente el premio esperado sería:
E[premio] = 200 · 1/45 + 100 · 1/15 + 10 · 1/3 + 0 · 26/45 = 14,4
6. (Valor esperado) En el punto de partida de un laberinto hay tres orificios
iguales A, B y C. Si la rata elige A, entonces vuelve al punto de partida
habiendo recorrido dos metros. Si elige B, entonces recorre cinco metros y
está en el punto de partida. Si elige C, entonces sale al exterior
recorriendo un metro. ¿Cuál es el valor esperado de la distancia recorrida
por la rata, si siempre elige un orificio distinto a los anteriores?
Solución
Los itinerarios que pueden darse con las distancias recorridas en cada
caso, son
(A, B, C) 8,
8
(B, A, C) 8,
(A, C) 3,
(B, C) 6,
(C) 1,
y sus probabilidades serían:
P(A, B, C) = P(A) · P(B/A) · P(C/A˙B) = 1/3 · 1/2 · 1 = 1/6
P(B, A, C) = P(B) · P(A/B) · P(C/B˙A) = 1/3 · 1/2 · 1 = 1/6 P(A, C) = P(A)
· P(C/A) = 1/3 · 1/2 = 1/6
P(B, C) = P(B) · P(C/B) = 1/3 · 1/2 = 1/6 P(C) = 1/3
En consecuencia la distancia media recorrida será:
E[D] = 8 · 1/3 + 6 · 1/6 + 3 · 1/6 + 1 · 1/3 = 4,5
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