GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática

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Regional Bogotá – Sur
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Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
Plan de Estudios:
REDES
Semestre III
Área: Matemática
Intensidad horaria semanal: Hrs T
Hrs P
Total horas:
de conjuntos
de 20
Nº Créditos: 3
Tema: Lógica y teoría
1.
OBJETIVO
• Proporcionar al estudiante de Redes, los elementos básicos del lenguaje matemático para la
correcta interpretación de un problema del contexto de los mismos: a través del desarrollo del
pensamiento lógico matemático.
2.
CONTENIDO
Lógica, proposiciones simples y compuestas, conectores lógicos, Tablas de verdad, Concepto y
notación de conjuntos, Representación de conjuntos, Operaciones entre conjuntos
3.
MARCO TEORICO
LOGICA
Introducción
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas
determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía,
matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o
no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber
el significado correcto. En los matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados que
puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas, en
administración financiera para analizar resultados y plantear nuevas hipótesis.
En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un
procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado un ama de casa tiene
que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea
pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no
prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque
se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar
de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la
lógica.
La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se
ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos
conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o
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simplemente utilización de los mismos. Una de las funciones principales de la lógica matemática es
servir de fundamento al razonamiento matemático, evitando ambigüedades y contradicciones
mediante la determinación absolutamente precisa y rigurosa de lo que es un razonamiento
matemático valido. Pero cuando la necesidad obliga al estudio de un determinado campo, el
esfuerzo pronto es premiado con nuevos resultados inesperados:
Teniendo en mente que se quiere presentar los sistemas deductivos de la lógica como una
herramienta práctica para los informáticos, vamos a introducirnos en el estudio de la lógica
comenzando por la más simple, la lógica de proposiciones, que corresponde a la lógica que
simboliza y describe razonamientos basados en enunciados declarativos.
Proposiciones
Formalmente, se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero
o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables
proposicionales simbolizadas mediante letras. Con la combinación de variables proposicionales y
conjunciones se obtienen fórmulas senténciales o sentencias. Estas pueden ser:
•
•
•
Tautología: es la sentencia que es verdadera.
Contradicción: es la sentencia que es falsa.
Indeterminación: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.
Lenguaje proposicional
Sintaxis
El primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que lo constituyen (alfabeto) y
cómo se combinan para formar sentencias. Está constituido por:



Símbolos de veracidad: V para verdadero y F para falso.
Símbolos de variables: p, q, r, s,...
Símbolos de conectivas:







NO
Y
O
O...O
SI...ENTONCES
SI Y SOLO SI
Negación
Conjunción
Disyunción inclusiva
Disyunción exclusiva
Condicional
Bicondicional
Símbolos de puntuación: ( , ), para evitar ambigüedades.
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Reglas de formación
Las clases de sentencias bien formadas se definen por reglas puramente sintácticas, llamadas reglas de
formación, y que son:






Una variable proposicional es una sentencia bien formada.
Una sentencia bien formada precedida de la negación es una sentencia bien formada.
Dos sentencias bien formadas unidas por una de las partículas conectivas binarias constituye una
sentencia bien formada.
Se pueden omitir los paréntesis que encierran una sentencia completa.
El estilo tipográfico de los paréntesis se puede variar para hacerlos más evidentes usando corchetes y
llaves.
A las conjunciones y disyunciones se les puede permitir tener más de dos argumentos.
Conectivas
Las conectivas se dividen por su aplicación en:


Singulares: se aplican a una única sentencia.
Binarias: se aplican a dos sentencias.
Por su definición, también se pueden dividir en:


Primitivas: las variables proposicionales, los paréntesis y las conectivas NO y O.
Definidas: las conectivas Y, SI... ENTONCES,... SI Y SOLO SI... y O... O.
Tablas de verdad
La tabla de verdad de una sentencia es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones
de las variables proposicionales que constituyen la sentencia y el valor de verdad de la sentencia para cada
interpretación.
Semántica
Negación (NO)
Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional.
p
p
========
V
F
F
V
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Disyunción inclusiva (O)
La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.
p q pq
=============
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
Conjunción (Y)
Es una conectiva definida por:
p  q   ( p  q )
La sentencia será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.
p q pq
=============
V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
Condicional (SI... ENTONCES)
Es una conectiva definida por:
pq ¬pq
La sentencia será verdadera cuando se cumpla si es válido p entonces lo es q.
p
q
p q
=====================
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
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Bicondicional (... SI Y SOLO SI...)
Es una conectiva definida por:
p  q  ((p  q) (q  p))
La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales.
p
q p q
==================
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Disyunción exclusiva (O... O)
Es una conectiva definida por:
p  q  (p q)
La sentencia será verdadera sólo cuando una de las dos variables proposicionales sea verdadera.
p q
pq
=============
V V
F
V F
V
F V
V
F F
F
Axiomas y reglas
Los axiomas para el cálculo proposicional son:




(pp)p
q  ( p q )
(pq)(qp)
(pq)[(rp)(rq)]
A partir de estos axiomas y aplicando las dos reglas de transformación siguientes se puede demostrar
cualquier teorema:
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

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Regla de sustitución: el resultado de reemplazar cualquier variable en un teorema por una sentencia
bien formada es un teorema.
Regla de separación: si S y (S  R) son teoremas, entonces R es un teorema.
Relativo a un criterio de validación, un sistema axiomático debe cumplir las siguientes propiedades:




Debe ser lógico o razonable: en el sentido de que todo teorema es una tautología.
Completo: toda sentencia bien formada v lida es un teorema y se debe poder demostrar a partir de los
axiomas.
Consistente: no se pueden demostrar como teoremas, sentencias bien formadas que no sean
tautologías.
Deben ser independientes: ningún axioma debe ser derivable a partir de los otros.
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Ejercicios propuestos
1. En cada uno de los problemas siguientes, tradúzcase a la forma simbólica y empleando
las reglas de inferencia y de validez, establézcase para cada argumento si es o no válido.
Intente inicialmente analizar el razonamiento sin recurrir a la representación simbólica.
a) Si llueve, entonces iré al cine. Llueve. Luego, iré al cine.
b) Si llueve, entonces iré al cine. No llueve. Luego, no iré al cine.
c) Si me caigo de la bicicleta, me golpearé. Estoy golpeado; luego, me caí de la bicicleta.
d) Si voy al colegio pasaré por la biblioteca. Si paso por la biblioteca consultaré el diccionario
de sinónimos. Voy al colegio; luego, consulté el diccionario de sinónimos.
e) Para que valga la pena tomarlo, es suficiente que sea un excelente curso. O las
calificaciones son justas o no vale la pena tomar el curso. Las calificaciones no son justas.
Luego, no es un excelente curso.
f) Para que el candidato llegue a la presidencia es necesario que gane las elecciones en el
departamento. El ganará las elecciones en el departamento únicamente si defiende los
derechos civiles. El no defenderá los derechos civiles. Por tanto, el candidato no llegará a la
presidencia.
g) Si los precios son bajos, entonces los salarios son bajos. Los precios son bajos o no hay
control de precios. Si no hay control de precios, entonces hay inflación. No hay inflación;
por tanto los salarios son bajos.
h) La lógica es fácil o les gusta a los estudiantes. Si las matemáticas son difíciles entonces la
lógica no es fácil. Por tanto, si a los estudiantes no les gusta la lógica, las matemáticas no
son difíciles.
i) Si no me motilo, entonces me quedaré en casa. Voy al cine. Por tanto, me motilé.
j) Si trabajo, entonces no estudio. Estudio o repruebo el curso de matemáticas. Aprobé el
curso de matemáticas; luego, trabajo.
2. Analizar, desde las reglas de inferencia, la validez o no validez de los siguientes
razonamientos:
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k) Si asisto al colegio conversaré con mis amigos. Luego: Si no voy al colegio entonces no
conversaré con mis amigos. Voy al estadio o me quedo en casa.
l) Si voy al estadio entonces dormiré en la casa de mi hermano. No me quedé en casa. Luego:
dormí en la casa de mi hermano.
m) Carlos aprobó el examen de matemáticas y ocupó el primer puesto en biología. Si Felipe no
aprobó el examen de matemáticas entonces Carlos no ocupó el primer puesto en biología.
Si Felipe aprobó el examen de matemáticas entonces aprobó el año. Luego: Carlos aprobó
el examen de matemáticas y Felipe aprobó el año.
n) Si Nacional ganó el campeonato, entonces Junior fue el segundo o América fue el segundo.
Si Junior fue el segundo, entonces Nacional no ganó el campeonato. Si Tolima fue el
segundo, entonces América no fue el segundo.
Nacional ganó el campeonato. Luego Tolima no fue el segundo.
o) Consideremos todos los números de dos dígitos comprendidos entre 10 y 30 incluyendo
ambos números.
3. Definimos una colección formada así: De los números anteriores tomemos aquellos
que son múltiplos de 3 o múltiplos de 5 y únicamente éstos.
Responder sí o no a las siguientes preguntas:
p) Es necesario que el número sea múltiplo de 3 para estar en la colección?
Es suficiente con ser múltiplo de 5 para estar en la colección?
Un número puede no ser múltiplo de 3 y estar en la colección?
Necesariamente el número tiene que ser múltiplo de 3 y múltiplo de 5 para estar en la
colección?
q) Para los elementos que están en la colección, cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas.
Si no es múltiplo de 3 entonces es múltiplo de 5.
Si no es múltiplo de 5 entonces es múltiplo de 3.
Si no es múltiplo de 3 entonces no es múltiplo de 5.
Si no es múltiplo de 5 entonces no es múltiplo de 3.
Si es múltiplo de 5 entonces no es múltiplo de 3.
Si es múltiplo de 3 entonces no es múltiplo de 5.
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Con la siguiente asignación de significados para las variables proposicionales:
p: necesita un doctor
q: necesita un abogado
r: tiene un accidente
s: está enfermo
u: es injuriado
Expresar en español las siguientes sentencias:
a)
b)
c)
d)
e)
(sp)(rq)
p(su)
( p q )  r
(pq)(su)
(su)p
TEORIA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos se considera una de los elementos principales de las matemáticas en donde
tiene una fuerte y estrecha relación con la lógica. Es por esto que en el presente documento se
utiliza un lenguaje apropiado y de esta manera preste al lector una mejor interpretación de su
contenido, Tomado del Departamento de Matemáticas de la Universidad De Antioquia.
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DIFERENCIA SIMETRICA
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A,
Pero no pertenecen a B unido con los elementos que pertenecen a B, pero no pertenecen a A, se
denota así:
AB
A  B= {x/(x A  x B) U (x B  x A)}
Relación entre la teoría de conjuntos y la lógica proposicional
Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional.
Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A, B... los conjuntos y
por las correspondientes minúsculas a, b... sus propiedades características
(es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto)
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conjuntos
AB
A=B
AB
AB
A'
AB
AB
proposiciones
ab
a b
ab
ab
a'
a  b'
ab
Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal
con una tautología.
Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir
en términos de lógica
proposicional y viceversa; a modo de ejemplo:
A(AB)=A
a(bc)a
A(BC)=(AB)(AC)
a(bc)(ab)(ac)
( A  B )' = A'  B'
( a  b )'  a'  b'
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Ejercicios propuestos
1. Hacer un diagrama de Ven non tres conjuntos no vacios A, B, y C de modo que A, B y C
tengan las siguientes características:
a.
b.
c.
d.
A B=
C B=
A  C=
A  (A C)
2. Dados los siguientes conjuntos realizar las indicadas.
A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15}
D= {x/x >10, “”, x<20}
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
AUB
AC
B–D
CE
B U (C  A)
(A U B)  (C U D)
(C – D) U (E – A)
A  (B U (C  E))
BDA
B= { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} C= {x/ -10<x<10}
E= {-9,-7,-5,-3,-1, 0, 1, 3, 5, 7,9}
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ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN
A partir de la entrega de la guía de lógica y la teoría de conjuntos, el estudiante
genera un plan de acción con estrategias claras para mejorar y aclarar dudas sobre
los conceptos relacionados.
CRITERIO E INSTRUMENTO DE EVALUACION
5.
Desarrollo de la actividad presentada a partir de los siguientes criterios:
. Coherencia de la temática determinada.
. Participación de los estudiantes.
. Desarrollo de la prueba escrita.
. Desarrollo de guía para tiempo extra clase.
6. BIBLIOGRAFIA
-
José M. Muñoz Q. , Introducción a la Teoría de Conjuntos, Cuarta Edición, Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional de Colombia, 2002
-
cherokee.iespana.es/cherokee/logica.htm - 4k
-
Nidditch Desarrollo de la lógica matemática
Escrito
Lic. Diego Armando Sierra Ramírez
[email protected]