PRÁCTICA DE CIERRES CONVEXOS Y DIAGRAMAS DE

Técnicas gráficas y de modelización geométrica
PRÁCTICA DE CIERRES CONVEXOS Y DIAGRAMAS DE VORONOI
USANDO DISTINTOS PROGRAMAS QUE HAY EN LA RED
Existen varios sitios en la red donde se pueden encontrar algoritmos de cálculo de
cierres convexos y de diagramas de Voronoi (y de triangulaciones de Delaunay).
http://wwwpi6.fernuni-hagen.de/Geometrie-Labor/VoroGlide
http://www.dma.fi.upm.es/docencia/trabajosfindecarrera/programas/geometriacomputacional/
La primera página web que proponemos contiene un programa (que hemos visto
funcionando en clase) que calcula tanto la envolvente convexa como el diagrama de
Voronoi (también la triangulación de Delaunay que veremos más adelante.)
La segunda página es de la Politécnica de Madrid puedes encontrar distintos recursos,
programas, bibliografía...
Visita las distintas páginas y prueba los programas que se proponen para hacer la
envolvente convexa y el diagrama de Voronoi.
La envolvente convexa de un conjunto finito de puntos está delimitada por una línea
poligonal cerrada como se demostró en clase en el Teorema de Estructura. Hablaremos
de vértices y aristas de la envolvente convexa entendiendo vértices y aristas de la línea
poligonal. Debemos recordar que si tres vértices están alineados p, q, r y q está en el
segmento que une p y r, entonces se consideran las aristas pq y qr (pero no pr).
1.) (2 puntos) Construye, si es posible, (si no es posible indica por qué) un ejemplo
de un conjunto de 10 puntos cuya envolvente convexa tenga
2 vértices
3 vértices
5 vértices
10 vértices
Determina en cada caso el número de aristas ¿Hay alguna fórmula que relacione el
número de vértices y el de aristas?
¿Cuál es el máximo (respectivamente el mínimo) número de vértices que puede
tener C(P) con P un conjunto con n puntos?
Un conjunto A del plano se dice conexo si para cada par de puntos p, q de A existe un
camino que los une, es decir una aplicación continua
t : 0,1 
 A
de modo que t(0)=p y t(1)=q.
Esto geométricamente quiere decir que siempre podemos encontrar una curva continua
que parte de p y llega a q.
2.) ¿Puede la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos ser no conexa?
¿Puede la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos ser no acotada, es
decir, no estar contenida en ninguna bola?
Supongamos que P es un conjunto no finito de puntos. ¿Podría ser no acotada la
envolvente convexa? ¿Podría ser no conexa?
3.) (2 puntos) Pon un ejemplo de un conjunto finito de puntos P y un punto q de
modo que, siendo P’ la unión de P y el punto q:
El número de vértices de C(P) sea igual al de C(P’).
El número de vértices de C(P’) aumente en una unidad con respecto
al de C(P).
El número de aristas de C(P’) aumente en dos unidades con respecto
al de C(P).
¿Se puede conseguir que el número de vértices de C(P’) aumente en
más de dos unidades con respecto al de C(P)?
El número de aristas de C(P’) no aumente con respecto al de C(P).
Sea en general un subconjunto P de P’. ¿Dónde deben estar los
puntos de P’-P para que el número de vértices de C(P’) coincida con
el número de vértices de C(P)? ¿Se tiene que necesariamente C(P) es
un subconjunto de C(P’)?
El teorema de estructura de los diagramas de Voronoi establece que el diagrama de
Voronoi de un conjunto finito de puntos es un grafo plano con algunas de sus aristas no
acotadas, que son semirrectas. Habláremos de vértices, aristas y caras de la partición del
plano que da este grafo.
4.) Construye un ejemplo de un conjunto de 10 puntos en cuyo diagrama de
Voronoi uno de los puntos tenga su celda de Voronoi delimitada por una línea
poligonal cerrada con 9 vértices. ¿Cuántos vértices tienen las celdas de Voronoi
restantes? Observa que se sigue verificando la cota por la cual el número de
vértices es menor que 2n-5 (n es el número de puntos de P).
5.) Construye un ejemplo de un diagrama de Voronoi de un conjunto P de modo
que al añadir un punto al conjunto el número de vértices del diagrama se triplique.
6.) Construye un ejemplo de un diagrama de Voronoi con 10 vértices y 4 regiones
no acotadas.
7.) Construye un ejemplo de un conjunto P y un punto q de modo que el diagrama
de Voronoi de P tenga, con respecto al diagrama de Voronoi de P unión q
Una arista menos
Tres aristas menos
8.) ¿Puede un diagrama de Voronoi de un conjunto finito de puntos no tener
ninguna celda no acotada? ¿Puede tener una única celda no acotada? Si las
respuesta anteriores son negativas, ¿cuál es el mínimo número de celdas no
acotadas que debe tener?