CAPITULO 7 - fisicageneral3

CAPITULO 7
EL EFECTO FOTOELÉCTRICO
7.1
CUANTOS DE ELECTRICIDAD
“La ciencia avanza sobre dos pies, a saber, la teoría y el experimento”. El trabajo de
R.A. Millikan sobre la unidad eléctrica fundamental y el efecto fotoeléctrico ilustra este
avance en una dirección experimental.
Weber, en 1871, y Stoney, en 1881,
respectivamente, habían desarrollado teóricamente el concepto y el valor numérico
para la carga eléctrica fundamental, la carga del electrón. En 1897 Thomson y
Zeeman pudieron determinar la razón de la carga a la masa del electrón, pero el
experimento de la gota de aceite de Millikan constituyó la primera medición directa de
una carga aislada.
Introduciendo una gota de aceite cargada en el campo eléctrico existente entre dos
placas, Millikan pudo observar los efectos conjuntos de las fuerzas eléctricas y
gravitacionales sobre las gotas. Después de muchas y esmeradas observaciones fue
capaz de mostrar cómo aunque las velocidades para distintas gotas en el campo
eléctrico no siempre eran las mismas, siempre eran múltiplos enteros del mismo valor.
Este hecho experimental fue atribuido a la cuantización de la carga recogida por las
gotas individuales de aceite. El valor de la carga en el electrón, e = 1.602 c 10-19 C.,
puede deducirse de las constante físicas y de las ecuaciones de movimiento
implicadas. El descubrimiento del electrón de Anderson (ver referencias bibliográficas
al final del capítulo) ofrece una buena presentación del experimento de la gota de
aceite y de las cantidades físicas usadas, así como un análisis de datos típicos.
7.2
EMISION ELECTRONICA
Se ha encontrado que los electrones pueden ser extraídos de los metales por los
siguientes mecanismos:
1. Emisión termoiónica (el efecto Edison): los electrones son emitidos por la superficie
calentada de un mental.
2. Emisión secundaria: partículas energéticas, incidentes sobre algunos materiales,
liberan aún otros electrones de la superficie.
3. Emisión de campo: un campo eléctrico intenso extrae electrones de la superficie
de un metal.
4. Efecto fotoeléctrico: luz incidente sobre un metal expulsa electrones de la
superficie.
El efecto fotoeléctrico fue accidentalmente descubierto por Hertz en 1887 cuando se
encontraba investigando las ondas electromagnéticas predichas por la teoría de
Maxwell del campo electromagnético.
Después de la publicación de este
descubrimiento, numerosas investigaciones empezaron a estudiar dicho efecto. La
Figura 7-1(a) es un esquema de un efecto fotoeléctrico experimental típico. El
principal entre los primeros experimentadores fue Philipp Lenard, cuyos trabajos
mostraron lo siguiente:
1. Cuando luz de frecuencia v > 1015 Hz incide sobre una placa K metálica limpia de
un metal, como el tungsteno o el zinc, partículas cargadas negativamente son
emitidas por el metal y viajan hacia el electrodo positivo P.
2. Esta emisión ocurre cuando el tubo es altamente evacuado, de manera que los
portadores de la carga no son iones gaseosos.
3. Un campo magnético aplicado en la región entre K y P desvía los portadores
cargados como si fueran negativos.
4. La razón medida de la carga a la masa efm para los portadores cargados fue:
1.60x1019
 1.76x1011 C.kg
31
9.10x10 kg
que coincide con el valor encontrado por Millikan y Thomson para el electrón.
La anterior evidencia experimental identificó a los portadores como tofoelectrones.
Lenard, usando radiación monocromática de intensidad constante, graficó el número
de electrones emitidos por el metal (la corriente fotoeléctrica ip) que llegaban a P
contra el potencial acelerador entre K y P para obtener una serie de curvas como las
de la figura 7-1(b). la corriente de saturación ip(max) para una intensidad I dada es
alcanzada cuando todos los electrones emitidos por la superficie del metal llegan a P.
note que cuando V = 0 hay todavía una corriente fotoeléctrica ipo, lo que significa que
algunos de los electrones deben haber sido emitidos con una velocidad finita. El
potencial de frenado suministra una indicación de la energía cinética de los electrones
emitidos. El potencial entre K y P puede hacerse negativo (V = -V0) hasta que sólo los
electrones más energéticos puedan llegar a P. En este punto
K max  eV0
(7-1)
Con V0 definido como el potencial de frenado (o de corte) y K(max) es la energía cinética
máxima de los electrones emitidos.
Cuando la intensidad de la radiación incidente es aumentada, la corriente de
saturación ip(max) aumenta (se emiten más electrones) pero ninguno de los electrones
es más energético ya que el potencial de frenado permanece igual. El potencial de
frenado es independiente de la intensidad de la luz incidente.
Cuando se usa luz incidente de diferente frecuencia pero de la misma intensidad, el
número de electrones emitidos en cada caso es el mismo, pero los electrones más
energéticos son los emitidos por la luz de mayor frecuencia. Esto se ilustra en la figura
7-1(c), en que la corriente de saturación depende de la intensidad y no de la
frecuencia, pero el potencial de frenado se hace mayor (más negativo) a medida que
aumenta la frecuencia incidente.
7.3
EFECTO FOTOELECTRICO
Se espera que a mayor intensidad de la luz incidente, sea mayor el número de
electrones emitidos por la superficie de un metal. Sin embargo, la teoría clásica es
inadecuada para la explicación de otros aspectos del fenómeno fotoeléctrico.
La teoría clásica predice que a mayor intensidad de la radiación incidente, más
energéticos serán los electrones emitidos por el metal. También, si la intensidad de la
radiación incidente es muy débil, se espera clásicamente que pase cierto tiempo hasta
que el metal almacene suficiente energía para expulsar electrones. Sin embargo, los
experimentos han mostrado que la energía cinética de los fotoelectrones no depende
de la intensidad sino que aumenta al aumentar la frecuencia incidente, y que no hay
demora apreciable para que los electrones sean expulsados aún para luz de
intensidad muy débil.
Figura 7-1
(a) Esquema del experimento fotoeléctrico. (b) Corriente fotoeléctrica contra el
potencial acelerador V para luz monocromática incidente de longitud de
onda λ. (c) Corriente fotoeléctrica contra potencial acelerador para mostrar
la dependencia de la frecuencia.
En 1905, usando los nuevos conceptos de la mecánica cuántica, Einstein supuso que
la radiación incidente consistía de paquetes de energía localizada E = hv que viajan
con la velocidad de la luz. Desarrolló correctamente la teoría del efecto fotoeléctrico.
Cuando los fotones caen sobre una superficie metálica, puede pasar lo siguiente:
1. Los fotones pueden ser reflejados de acuerdo con las leyes de la óptica.
2. Los fotones pueden desaparecer, cediendo toda su energía para expulsar los
electrones.
En la figura 7-1(c), la corriente fotoeléctrica se grafica de nuevo contra el potencial,
pero esto se hace para diferentes fuentes de frecuencia creciente. Note que con la
frecuencia creciente se requiere un potencial de frenado aún mayor para reducir la
corriente fotoeléctrica a cero. De una gráfica como la de la figura 7-1(c) se pueden
obtener datos para graficar Kmax(=eV0) contra la frecuencia incidente V como se ve en
la figura 7-2 para tres diferentes metales. Dos características interesantes se pueden
observar en la gráfica de la figura 7-2. Primero, la relación entre Kmax y V es lineal, y
segundo, para distintos metales las rectas no son las mismas aunque son paralelas.
La ecuación lineal de las recetas graficadas en la figura 7-2 se conoce como la
ecuación fotoeléctrica de Einstein:
K max  eV0  hv  
(7-2)
La pendiente h de la línea en la constante de Planck, y la intersección  es llamada
función de trabajo. La función de trabajo es la cantidad mínima de energía requerida
para extraer un electrón de la superficie del metal y depende del metal usado, la
ecuación 7-2 aclara por qué están separadas (cada una tiene su propia función de
trabajo  característica). Cuando Kmax = 0,  =  0, es la frecuencia umbral. Esta es
la frecuencia mínima de la luz incidente que empezará a extraer a los electrones de la
superficie del metal. Esto da ahora a partir de la ecuación 7-2
h 0 = 
(7-3)
lo que resulta conveniente para determinar la función de trabajo. La ecuación (7-2) se
puede escribir ahora en la forma
Kmax = hv – h
0
(7-4)
Para una frecuencia  <  0 o una longitud de onda λ0 > c/ 0 (longitud de onda
umbral), no hay suficiente energía incidente para remover electrones de la superficie
del metal y no se puede observar ningún efecto fotoeléctrico. Una extrapolación de las
rectas hasta intersectar el eje de la energía dará la función de trabajo  directamente
de la gráfica.
En 1914 Millikan produjo la primera prueba experimental directa de la ecuación
desarrollada por Einstein, la ecuación (7-2), y al mismo tiempo efectuó la primera
determinación fotoeléctrica directa de la constante h de Planck. El valor aceptado de
la constante de Planck es:
h = 6.625 x 10-34 J-seg
El siguiente es un breve resumen del efecto fotoeléctrico:
1. El número de electrones liberados es proporcional a la intensidad de las
radiaciones incidentes.
2. La energía cinética máxima de los fotoelectrones depende de la frecuencia, no de
la intensidad de la luz incidente.
3. Kmax está relacionada linealmente con  a través de la ecuación (7-2).
4. El potencial de frenado V0 depende de la función de trabajo  .
5. Existe una frecuencia umbral  0 por debajo de la cual no ocurre el efecto
fotoeléctrico.
6. La emisión empieza, sin demora observable de tiempo, en  >  0 aún para luz
incidente de intensidad muy baja.
PROBLEMAS
7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
7-6
Si la función de trabajo para el zinc es 4.3 eV, ¿cuál es la energía cinética
máxima de los electrones expulsados de una superficie pulida de zinc por la
línea ultravioleta de 2537-Ǻ del mercurio?
El níquel tiene una función de trabajo de 5.0 eV. (a) ¿cuál es la energía cinética
máxima de los fotoelectrones expulsados de una superficie de níquel por una
fuente de luz ultravioleta de 1.0mW a 2000 A? (b) ¿cuál es la energía cinética
máxima de los fotoelectrones expulsados por una fuente láser de argón de
15W a una longitud de onda de 4658 Ǻ?
Se requiere una longitud de onda máxima de 5450 Ǻ para expulsar
fotoelectrones de un metal de sodio. (a) determine la máxima velocidad de los
electrones expulsados por una luz de longitud de onda igual a 2000 Ǻ? (b)
¿cuál es la potencial de frenado para los fotoelectrones expulsados del sodio
por luz de longitud de onda de 2000 Ǻ?
El potencial de frenado para los electrones expulsados de una superficie de
zinc es de 2.42 V para la línea ultravioleta del mercurio de 1849 Ǻ. ¿cuál es la
potencial de frenado para la línea de 2537 Ǻ del mercurio?
La radiación de un láser de helio-cadmio de 5.0mW(λ = 3250 Ǻ expulsa
electrones de una superficie de cesio que tiene un potencial de frenado de 1.91
V. (a) ¿cuál es la función de trabajo en electrón-volts para el cesio? (b) ¿cuál
será el potencial de frenado cuando la radiación incidente sea de 10.0mW?
En un experimento se recolectaron los siguientes datos sobre potenciales de
frenado de los fotoelectrones producidos por prominentes longitudes de onda
del espectro de mercurio:
LONGITUD DE ONDA (Ǻ)
5460
4920
4360
4050
3690
3130
POTENCIAL DE FRENADO (V)
0.40
0.60
0.90
1.20
1.50
2.10
Use estos datos para hacer una gráfica, y en base a ella determine los valores para la
constante de Planck y la función de trabajo del metal usado en este experimento.
CAPITULO 8
RAYOS X
8.1 ROENTGEN
En un experimento diseñado para estudiar los rayos catódicos, el profesor Wilhelm
Roentgen cubrió cuidadosamente un tubo de descarga con cartulina negra. Cuando
oscureció el cuarto e hizo pasar una descarga a través del tubo, Roentgen se
sorprendió al ver un débil resplandor a través del cuarto en la velocidad de una mesa
de trabajo. Como sabía que los rayos catódicos sólo pueden viajar unos cuantos
centímetros en el aire, repitió el procedimiento encontrado de nuevo el mismo
resplandor. Encendió un cerillo y descubrió que la fuente de la misteriosa luz era la
fluorescencia de una pequeña pantalla de platinocianuro de bario sobre la mesa.
Se dio cuenta de que estaba presenciando un nuevo fenómeno de radiación. Después
de ulteriores observaciones, denominó rayos x a esta nueva radiación y resumió sus
propiedades:
1. Hay muchas substancias bastante transparentes a los rayos x.
2. Los rayos x no pueden ser reflejados ni refractados y no muestran efectos de
interferencia. Estos fenómenos estaban presentes pero eran demasiados sutiles
para que Roentgen los observara en aquel tiempo)
3. Las placas fotográficas pueden ser reveladas por los rayos x.
4. Los rayos x no pueden ser desviados ni por campos eléctricos ni por campos
magnéticos.
5. Los cuerpos electrificados, positiva o negativamente, son descargados por los
rayos x.
6. Los rayos x provocan fluorescencia en muchas substancias.
Los descubrimientos de los rayos x en noviembre de 1865 y de la radiactividad natural
poco después radiaciones que penetraban fácilmente la materia abrieron una nueva
era en la física, un período poco usual de crecimiento y actividad. El tiempo para los
rayos x estaba maduro: los físicos no habrían estado preparados para este
descubrimiento algunos antes, y sin embargo, parece poco probable que en este
período de gran actividad científica hubiera pasado mucho tiempo antes de que
alguien más hubiera dado con el mismo evento.
8.2
RAYOS X
Los rayos x de Roentgen era radiaciones electromagnéticas de muy corta longitud de
onda producidas por la colisión de electrones de alta velocidad sobre las paredes de
vidrio del tubo de cristal. Ver la tabla 8-1 para comparar la longitud de onda de los
rayos x con el resto del espectro electromagnético. La figura 8-1(a) muestra un
moderno y típico tubo de rayos x, en el cual
Tabla 8-1
Espectro electromagnético
Figura 8-1
(a) esquema del espectrómetro de cristal de Braga para la investigación del
espectro de los rayos x.
(b) Bremastrahlung producida por la aceleración de un electrón en un campo
coulombiano.
Los electrones termoiónicos producidos en el cátodo son acelerados a altas
velocidades a través de una diferencia de potencial y después detenidos al chocar
contra un blanco de metal. Cuando estos electrones interaccionan con el campo
coulombiano, como se ve en la figura 8-1(b), son desacelerados y la radiación
producida es la predicha por la teoría electromagnética clásica para una carga
acelerada. A medida que el electrón incidente frena y pierda energía cinética, la
energía perdida es usada para crear un fotón con una energía dada por:
h = K1 – K2
(8-1)
en donde se ha despreciado la energía cinética del pesado electrón en retroceso. La
radiación producida por la aceleración de una partícula cargada es llamada
Bremsstrahlung (palabra alemana que significa “radiación por frenamiento”). La
Bremsstrahlung también es producida en los grandes acelerados, en donde las
partículas cargadas son aceleradas a altas velocidades. Hay diferencia en la forma
como abordan el problema de la Bremsstrahlung la teoría electromagnética y la
mecánica cuántica: la teoría electromagnética predice una radiación continua de cada
colisión, mientras que el electrón es desacelerado, pero la mecánica cuántica predice
la creación de un solo fotón de energía h que es, en general, diferente para cada
colisión. El espectro continuo de rayos x de la figura 8-28(a) es producido por la
Bremsstrahlung. Además de este espectro continuo, esta figura muestra un espectro
caracterizado por líneas agudas, supuesto sobre el espectro continuo, y que depende
del material que actúa como blanco.
Aunque la intensidad del espectro
Bremsstrahlung continuo para un potencial dado depende de las características físicas
del blanco, los agudos saltos de longitud de onda en los puntos a, b, c y d de la figura
son independientes del material del blanco.
La figura 8-2(b) muestra que cuando la frecuencia de corte máxima  max se grafica
contra el potencial acelerador V, existe una simple relación lineal entre estos:
 max
 c 1
  constante
 
V

 min  V
(8-2)
La teoría clásica no previó este corte bien definido, que la evidencia experimental
muestra tan claramente. La trayectoria del electrón incidente de alta velocidad
cambia, cuando se dispersa por el campo coulombiano de los átomos del material que
hace las veces de blanco. De acuerdo con la hipótesis cuántica de Planck, la
radiación de los electrones acelerados debe desprenderse en cuantos de valor h .
Sin embargo, la energía máxima de cualquiera de los cuantos no puede ser mayor que
la energía del electrón incidente más energético,
h
max =
Kmax = eV
(8-3)
donde Kmax es la máxima energía cinética que un electrón puede alcanzar, o
hc
min
 eV
(8-4)
donde V es el potencial acelerador a través del tubo de rayos x. El potencial
acelerador es del orden de varios miles de volts, pero cerca del 98% de la energía
cedida por los electrones cuando chocan con el blanco se transforma en energía
calorífica, y la temperatura del blanco se eleva. Debido a que las frecuencias de corte
son bien definidas, y a que las longitudes de onda pueden determinarse con exactitud,
los espectros de rayos x constituyen un buen método experimental para determinar el
valor de la constante h de Planck.
El espectro característico de líneas agudas es una función del material del blanco,
aunque su intensidad para un blanco dado depende del potencial acelerador. Los
electrones en un átomo están ordenados en capas alrededor del núcleo. Los
electrones más cercanos al núcleo, los más fuertemente ligados, están en la capa K.
aquellos en la siguiente posición de mayor enlace están en la capa L, y después en la
capa M, luego en la N, y así sucesivamente. Cuando electrones incidentes altamente
energéticos botan un electrón de la capa K, un electrón en la capa L cede energía en
la forma de un rayo x cuando pasa a llenar la vacante dejada en la capa K. Esta
radiación, característica del material del blanco, se denomina línea Kα. El electrón de
la capa M que llena la vacante en la capa K cede energía en la forma de otro rayo x
llamado línea Kβ. Estas transiciones de las capas L, M, N, etc. a la capa K dan lugar a
la serie de líneas Kα, Kβ, Kγ, etc. llamadas la serie K.
Figura 8-3
Transiciones electrónicas para las capas cercanas al núcleo, que dan lugar a los
espectros característicos de los rayos x.
Cuando los electrones incidentes desalojan electrones de la capa L y los huecos son
llenados por electrones de las restantes capas M, N, O, estas transiciones dan lugar a
la serie L, la primera línea de la cual es Lα. La nomenclatura para estas transiciones
se ilustra en la figura 8-3.
A medida que aumenta el voltaje acelerador en el tubo de rayos x, los electrones
incidentes producen un espectro continuo de Bremsstrahulung hasta que, a cierto
voltaje “crítico”, los electrones adquieren suficiente energía para desalojar electrones
de las capas interiores, o sea, de las capas K, L, o M. Sólo cuando sea alcanzado el
potencial crítico Vc serán suficientemente energéticos los electrones incidentes para
que ocurran las transiciones K. Así
eVc  Ek
(8-5)
donde Ek es la energía necesaria para liberar del átomo un electrón K. Los rayos x
asociados con la serie K más energéticos son llamados “rayos x duros” y los
asociados con las series menos energéticas L, M, N, son llamados “rayos x suaves”.
Los rayos x duros son más penetrantes.
8-3
DIFRACCIONES DE RAYOS X
Los primeros intentos de Roentgen para verificar experimentalmente la naturaleza
ondulatoria de los rayos x fueron infructuosos. La longitud de onda desusualmente
corta de los rayos x hacía que los efectos de interferencia y difracción fueran muy
difíciles de observar. Los primeros experimentos indicaron que la longitud de onda de
los rayos x era del orden de 10-8 cm. Calculando para un cristal el número de
moléculas por unidad de volumen, Von Laue encontró que la distancia media entre los
átomos de un sólido estaba entre 10-7 y 10-8 cm. Von Laue sugirió que el arreglo
regular de los átomos en los cristales podía usarse como una especie de red de
difracción para los rayos x, y en 1914 recibió el premio Nobel por establecer el carácter
ondulatorio de los rayos x al difractarlos por medio de cristales. W.H. Braga y su hijo
Lawrence Braga, recibieron el premio Nobel al siguiente año por perfeccionar los
conceptos de Von Laue sobre la difracción de rayos x por cristales.
Como un ejemplo, consideremos una simple cristal cúbico tal como un grano de sal
(NaCl), con un peso molecular de 58,46 y una densidad de 2.165 gm/cm3. Esto
significa que una de las moléculas del grano de sal tendrá una masa de
m

M
NA
58.45 g / g  m ol
6.023x1023 m oléculas/ g  m ol
 9.705x1023 g / m olécula
(8-6)
donde NA es el número de Avogadro. El número de moléculas por unidad de volumen
N

m

2.165g / cm3

9.705x1023 g / m olécula
toma la forma
 2.24x1022 m oléculas/ cm3
(8-7)
En realidad, si cada molécula de sal contiene dos átomos (uno de Na y uno de Cl), el
número de átomos por centímetro cúbico es:
2N = 4.48 x 1022 átomo/cm3
Si hay n átomos a lo largo de uno de los bordes de un cubo de sal de 1 cm. De lado,
entonces
n3 = 4.48 x 1022 átomos/cm3
Y
n = 3.55 x 107 átomos/cm
Así, la distancia entre los átomos es
d
l
 2.82 x10 8 cm  2.82 
n
Este cálculo para la distancia media entre los átomos de una simple estructura cúbica
de sal se resume por medio de la fórmula
d 3
M
2N A
(8-8)
Von Laue reconoció que la simetría de un cristal se debe a una unidad de tamaño
molecular o atómico que está arreglada en un orden regular repetitivo. Las capas de
unidades están separadas por distancias uniformes sucesivas, que son del orden de la
longitud de onda de los rayos x. Estas discontinuidades espaciadas regularmente
forman la base de una red de difracción, similar a la usada para la luz visible, con la
diferencia de que el cristal forma una red tridimensional. También, a diferencia de la
red bidimensional, la tridimensional no difractará a la luz monocromática que incida
sobre ella, a cualquier ángulo arbitrario. El haz difractado de rayos x se verá reforzado
constructivamente sólo cuando una longitud de onda λ encuentre planos de átomos
separados una distancia d y los encuentre a un cierto ángulo θ.
Brang usó esta idea para analizar los patrones de difracción de los rayos x reflejados
por los planos del cristal. La figura 8-4 muestra un haz incidente a un ángulo θ con
respecto a un plano rico en átomos, de un cristal. Cuando los rayos 1 y 2 son
reflejados por los puntos P y q, respectivamente, la diferencia de trayectoria entre los
rayos es
δ = RQ + Qs = 2RQ
Ya que
RQ = PQ sen θ
= d sen θ
Esto da
Figura 8-4
Vista exagerada de las reflexiones de Braga por varios planos en un cristal.
δ = 2d sen θ
Nótese que en la reflexión de Braga, los ángulos θ de incidencia y reflexión son los
ángulos que los rayos incidente y reflejado hacen con los planos de cristal y no con la
normal como se acostumbre en óptica. Así, las condiciones para refuerzo, conocidas
como leyes de reflexión de Braga, son
1. El ángulo de incidencia debe ser igual al ángulo de reflexión.
2. δ = 2d sen θ = nλ para n = 1, 2, 3, … donde n es el orden de reflexión
La figura 8-4 muestra que hay muchos planos dentro del cristal, por los cuales los
rayos procedentes de varios ángulos de incidencia podrían ser reflejados para interferir
constructivamente. Dependiendo del plano escogido, algunos planos contendrán más
átomos que actúen como agentes reflectores que otros. En general, los rayos
reflejados por estos planos serán los de mayor intensidad.
Un patrón de difracción puede asimismo, obtenerse con rayos x incidentes sobre una
muestra granulada de cristal. Cada fragmento de cristal dentro de los gránulos
contiene planos atómicos, que reflejarán los rayos x incidentes sobre ellos a un ángulo
dado. Ya que los fragmentos pueden estar orientados a cualquier ángulo azimutal
alrededor de los rayos x incidentes, habrá algunos que reflejarán luz de una longitud
de onda dada a un ángulo particular, para formar un patrón circular alrededor de haz
incidente. Aquellos orientados apropiadamente a otros ángulos diferentes formarán
otros círculos concéntricos. Los patrones de difracción resultantes son llamados
patrones de Laue. De la figura 8-5, la condición para que ocurra un máximo es
nλ = 2d sen θ
donde θ es el ángulo identificado en la figura y es de hecho el ángulo de incidencia
para algunos de los fragmentos granulados. Muchas de las propiedades físicas de los
cristales pueden ahora ser investigadas con gran exactitud, con técnicas de rayos x.
Figura 8-5
Patrón de rayos x de Laue, a partir de fragmentos de cristal granulado
8-4
DIFRACCION DE RAYOS X POR UNA RED DE DIFRACCION
Debido a que la longitud de onda de los rayos x es tan corta y a que estos son tan
penetrantes, los esfuerzos iniciales para difractar los rayos x con una red de difracción
ranurada no tuvieron mucho éxito. No era posible mecánicamente construir redes
ranuradas con un esparcimiento entre ranuras del orden de 1 Ǻ, longitud de onda
típica de los rayos x. También la mayor parte de los espejos no reflejan bien los rayos
x ya que estos son tan penetrantes. Sin embargo, en 1925 Compton y Doan lograron
medir la longitud de onda de los rayos x usando una red de difracción ranurada
ordinaria, a ángulos rasantes muy pequeños (del orden de 0.001 rad).
Cuando los rayos 1 y 2 en la figura 8-6 son difractados por la superficie de la red
ranurada, la diferencia de trayectoria entre los rayos es
δ = CB – AD
= d cos θ- d cos(θ+φ)
(8-10)
Entonces, para que estos rayos interfieren constructivamente,
d cos θ – d cos (θ+φ) = nλ
(8-11)
donde n es el orden de la difracción. Escrita en términos de una aproximación para
pequeños ángulos, cos x = 1 – x2/2 + ….
Figura 8-6
Difracción de rayos x incidentes a ángulos rasantes sobre una red de difracción
ranurada
La ecuación (8-11) toma la forma


n  d   
2

(8-12)
Resulta interesante saber que, cuando las longitudes de onda de los rayos x fueron
medidas por primera vez por medio de la red ranurada, se encontraron valores
mayores que los que daba la difracción a partir de cristales. Después de examinar las
ecuaciones se encontró que el número de Avogadro en la ecuación (8-8) no era
preciso, debido a un error en el valor aceptado de la carga electrónica que se usaba
en la determinación de NA.
8-5
EFECTO COMPTON
los primeros experimentos mostraron que cuando los rayos x eran dispersados, los
rayos x secundarios implicados eran menos penetrantes que los rayos x primarios. Al
principio se pensó que estos rayos x secundarios consistían de la radiación
fluorescente característica del elemento radiante. Aunque la fluorescencia es
característica de los elementos más pesados, experimentos ulteriores mostraron una
diferencia en la penetración de los rayos x secundarios de los elementos más ligeros,
tales como el carbón, de los cuales no puede aparecer ninguna radiación
fluorescentes del tipo observado. Esto condujo a la especulación, por parte de
algunos físicos, de que se había encontrado una nueva radiación, a la que denominó
radiación “J”. Sin embargo, después de un cuidadoso análisis espectroscópico, esta
idea de la radiación J no pudo sostenerse.
Una cuidadosa evidencia experimental determinó las siguientes propiedades de los
rayos x secundarios del proceso dispersor:
1. La radiación dispersada consiste de dos longitudes de onda, la original λo y una
longitud de onda adicional λB que tiene casi el mismo valor que λo.
2. λB es siempre mayor que λo
3. λB depende de θ el ángulo de dispersión y no del medio dispersor.
Siguiendo un análisis matemático de esta situación hecho por g.E.M. Jauncey, en
1923 A.H. Compton propuso audazmente que los fotones de rayos x tienen momento,
en la misma forma en que lo tiene una partícula, y que el proceso dispersor es una
colisión elástica entre un fotón y un electrón. El cambio en la longitud de onda de los
fotones de rayos x, debido a la dispersión elástica con los electrones, se conoce como
efecto Compton.
Según la ecuación (6-34), la energía de un fotón, partícula de masa cero, es E = pc,
pero la energía de un fotón es también E = hv, donde v es la frecuencia. Así, el
momento del fotón es
p
hv h

c

(8-13)
Figura 8-7
Dispersión Compton de un fotón por un electrón en reposo. Las gráficas de la derecha
muestran el corrimiento en la radiación Kα proveniente del molibdeno, dispersada por
el carbón.
El fotón de rayos x de la figura 8-7 es dispersado elásticamente por un electrón libre
estacionario. La conservación del momento para este evento se puede escribir como
p0 = pS cos θ + pe cos γ (eje horizontal)
(8-14)
y
ps sen θ = pe sen γ (eje vertical)
(8-15)
donde ps es el momento del fotón dispersado y pe el momento del electrón dispersado.
De la conservación de la energía
Ep
Energía del fotón
Incidente, hv0
+
moc3
masa de reposo
del electrón
=
Es
+
energía del fotón
dispersado, hvs
moc2
+
K
energía total del
electrón dispersado
(8-16)
K = E0 – Es = h(v0 – vs)
(8-17)
Luego ponemos la ecuación (8-14) en la forma p0 – pS cos θ = pe cos γ
elevando el cuadro y sumando esta ecuación a la ecuación (8-15), obtenemos
p02 – 2p0pS cos θ + pS2 = pe2
(8-18)
Ya que E0 = h 0 = p0c y ES = h
S
= pSc, la ecuación (8-17) toma la forma
K = (p0 – ps)c
(8-19)
Para un electrón
E2 = (m0c2)2 + pe2c2
= K + m0c2
(8-20)
Eliminando E de las ecuaciones (8-20) se obtiene
K2
 2 Km0  p e2
c2
(8-21)
Usando K de la ecuación (8-19) y pe de la ecuación de la ecuación (8-18) y
multiplicando todo por h, la ecuación (8-21) toma la forma
h
h
h


(1  cos )
p S p 0 m0 c
(8-22)
Cuando h/p se reemplaza por la longitud de onda dispersa λS y h/p0 por λ0, esta
ecuación toma una forma más útil:
 S  0 
h
(1  cos )
m0 c
  C (1  cos )
(8-23)
donde λC = h/moc = 0.024 Ǻ se define como la longitud de onda Compton (para el
electrón).
Los resultados experimentales que fundamentan la ecuación (8-23) como explicación
del corrimiento en los rayos x dispersados, pueden reseñarse brevemente:
1. En 1923 Compton confirmó los resultados de la ecuación (8-23)
experimentalmente.
2. A Finales de 1923 Bothel y Wilson observaron los electrones en retroceso.
3. En 1925 Bothel y Geiger mostraron que el fotón dispersado ES = h S y el electrón
en retroceso aparecen simultáneamente.
4. En 1927 Bless comprobó experimentalmente la energía del electrón en retroceso.
La figura 8-7 muestra que la longitud de onda dispersada así como la incidencia se
detectan al ángulo θ. Algunos fotones son dispersados por electrones que son libres
sino que están ligados al átomo. Así, la masa m0 en la ecuación (8-23) debe ser
reemplazada por la masa de todo el átomo que retrocede. El gran valor de esta masa,
comparada con la del electrón, hará muy pequeña a ∆λ, y las longitudes de onda de
los fotones dispersados serán casi las mismas de los fotones incidentes. Un cálculo
para dispersión por un protón mostrará que éste es el caso.
PROBLEMAS
8-1
8-2
8-3
8-4
8-5
8-6
Para comprender la dificultad de Roentgen para observar efectos de
interferencia con los rayos x, diseñe un arreglo de doble rendija de Young que
produzca bandas separas 10 sobre una pantalla distante. Suponga que los
rayos x incidentes tienen una longitud de onda λ = 5.0Ǻ. Discuta algunas de
las dificultades que se podrían encontrar al tratar de construir al dispositivo.
Compare la energía de la línea Kα del tungsteno (W-74) a 0.0210Ǻ con la línea
pulsante de un láser infrarrojo de CO2 a 10.6µ.
La línea Kα del tulio (Tm-269) tiene una longitud de onda de 0.246Ǻ. Compare
la energía de este fotón Kα con la energía de la masa de reposo de un electrón.
De la figura 8-2(a), determine el potencial acelerador para la curva que termina
en el punto c.
Determine el voltaje aplicado a un tubo de rayos x que dará un límite de 1.0Ǻ a
las longitudes de onda corta.
(a) Cuál es el rayo x más energético emitido cuando un blanco de metal es
bombardeado por electrones de 40 KeV? (b) Cuál es la máxima frecuencia de
8-7
8-8
8-9
8-10
8-11
8-12
8-13
8-14
8-15
8-16
8-17
8-18
8-19
8-20
los rayos x producidos por electrones acelerados a través de una diferencia de
potencial de 20.000V?
De la figura 8-2(a), determine la máxima energía cinética de los electrones que
producen espectros de rayos x que terminen en los puntos a, b, c y d.
La gráfica de la figura 8-8 representa un espectro de rayos x de un metal
hipotético. Si la energía requerida para desalojar un electrón de la capa K es
20.0 KeV, determine de esta gráfica 8(a) la energía requerida para desalojar un
electrón de la capa L, y (b) la máxima energía cinética de los electrones
incidentes sobre este blanco.
Una reflexión de Braga de primer orden ocurre cuando un rayo x
monocromático incidente, a un ángulo de 30°, es reflejado por un terrón de sal
(NaCl). Determine la longitud de onda del rayo x incidente.
Encuentre los ángulos rasantes sobre la cara de un cristal de cloruro de potasio
(KCl), d = 2.82Ǻ, que corresponden a los máximos de primero y segundo orden
de la reflexión de Braga, para rayos x de longitud de onda λ = 0.58Ǻ.
Los cristales de NiO con un peso molecular M = 74.69 y una densidad ρ = 7.45
gm/cm3 tienen una estructura cúbica simple como lo del NaCl. Determine el
ángulo a que debe estar orientado un cristal de NiO con respecto a un rayo x
incidente cuya longitud de onda es λ = 2.00Ǻ para producir una reflexión de
Braga de primer orden.
Los electrones acelerados a través de una diferencia de potencial de 35.0 kV
producen rayos x que son analizados por un espectrómetro de cristal de Braga
usando un cristal de calcita (CaCO3). Si el espacimiento es de 3.03 Ǻ entre los
planos de la calcita, cuál es el ángulo más pequeño entre el haz incidente y el
plano de cristal para el cual se encontrará un intenso haz reflejado.
Rayos x de longitud de onda 1.0Ǻ inciden sobre una red de difracción ranurada
a un ángulo de θ = 0.0010 rad como se muestra en la figura 8-7, y se observa
un máximo a un ángulo de θ = 0.0020 rad. Cuántas líneas por milímetro debe
tener la red de difracción? Por qué deben ser muy pequeños los ángulos
rasantes de incidencia a que se usan las redes de difracción?
Un haz de radiacón Kβ del potasio de λ = 3.44Ǻ incide sobre una red de
difracción con 200 líneas/mm a un ángulo de 20`con respecto a su superficie.
Cuál es el ángulo entre los haces de primer y segundo orden?
Complete las manipulaciones algebráicas necesarias para llegar a la ecuación
(8-22).
Rayos x de longitud de onda 0.040Ǻ son dispersados por un bloque de carbón.
Determine (a) el momento de un fotón dispersado a un ángulo de 30° y (b) la
energía cinética del electrón en retroceso.
Cuando fotones de longitud de onda 0.024Ǻ inciden sobre un blanco, los
fotones dispersados son detectados a un ángulo de 60°. Calcular (a) la
longitud de onda de los fotones dispersados, y (b) el ángulo a que es
dispersado el electrón.
En un experimento de dispersión, fotones incidentes de 0.200 Mev producen
fotones dispersados a un ángulo de 60° con respecto al luz incidente. Cuál es
la energía con MeV de los fotones dispersados y de los electrones en
retroceso? Muestre si la energía se ha conservado.
Cuál es la diferencia entre los fotones dispersados por electrones y los
dispersados por protones? Cuál sería el corrimiento en longitud de onda de un
rayo  de 0.00200Ǻ dispersado por un protón a un ángulo de 90248? Qué
dificultades experimentales implicaría la medición de la longitud de onda del
fotón dispersado?
Use el programa BASIC (o el suyo propio) para mostrar la diferencia en
longitud de onda (D) entre el fotón incidente y el que resulta de una dispersión
Compton. En el programa, MO es el agente dispersor, L en la longitud de onda
incidente en agnstroms, y A es el ángulo de dispersión en grados.
(a)
(b)
(c)
Para un rayo x incidente de longitud de onda L = 1.0Ǻ dispersado por un
electrón MO = 9.1091E-31 (kg), determine el corrimiento en longitud de
onda para los siguientes ángulos de dispersión A = 0°, 45°, 90°, 135°,
180°.
Para un ángulo de dispersión a = 90248, y una longitud de onda
incidente de L = 1.0Ǻ determine el corrimiento en longitud de onda para
protones dispersados por un electrón [MO = 9.1091 E – 31(kg)], y por un
átomo de carbón [MO = 19.9OE – 27 (Kg)].
Para dispersión por un electrón libre MO = 9.1091 E-31(kg) a un ángulo
de 90°, determine el corrimiento en longitud de onda cuando la radiación
incidente consiste de rayos x duros (L = 0.01Ǻ), rayos ultravioleta (L =
1.800Ǻ), luz visible (L = 6000 Ǻ), y radiación infrarroja (L = 100.000Ǻ).
CAPITULO 9
PRODUCCIÓN DE PARES
9.1
INTERACCION DE LA RADIACIÓN CON LA MATERIA
En los capítulos anteriores, la interacción de la radiación con la materia se estudió por
medio de la bremsstrahlung, el efecto Compton, y el efecto fotoeléctrico. Recuérdese
que la bremsstrahlung es la radiación producida cuando un electrón energético es
desacelerado a medida que interacciona con la materia para crear fotones, cuyas
energías están dadas por
h = K1 – K2
(9-1)
donde K1 – K2 representa la pérdida de energía cinética del electrón en cada una de
muchas colisiones. Otro ejemplo de la interacción de la radiación con la materia es el
efecto Compton, en el cual un fotón de energía h 0 interacciona con un electrón libre.
El fotón incidente desaparece, y se crea un segundo fotón de energía h S < h 0. La
energía del electrón en retroceso es:
K = h 0 - h
S
(9-2)
En el efecto fotoeléctrico, un fotón de energía h interacciona con un electrón ligado.
El fotón desaparece y el electrón es expulsado del átomo. La energía cinética máxima
de los electrones liberados K = h - ø (9-3)
Donde ø es la energía que ata el electrón al átomo. Estos efectos sugieren la
interesante pregunta de si la energía total de los fotones se puede convertir en masa
de reposo.
9.2
PRODUCCIÓN DE PARES
En un artículo publicado en 1929, P.A.M Dirac notó que había dos veces más
soluciones para la ecuación relativista del electrón que las esperadas. Declaró que la
mitad de éstas deberían referirse a estados electrónicos con valores negativos de la
energía. Debido a que la teoría cuántica permite que tengan lugar transiciones
discontinuas, los estados negativos de la energía no pueden ser ignorados como si
fueran soluciones sin sentido. Dirac asoció la solución no “deseada” con un electrón
de carga +e y lo denominó positrón. El enigmático positrón permaneció como una
hipótesis teórica hasta 1932, año en que Carl David Anderson encontró trazas de
partículas similares a la mostrada en la figura 9-1. Anderson no se había propuesto
encontrar el positrón de Dirac. El y Millikan habían construido una cámara de nubes
dentro de un intenso campo magnético para estudiar los rayos cósmicos, y las huellas
de los positrones aparecieron en la cámara. En realidad los positrones ya habían sido
“vistos” por otros, pero fue Andreson quien los identificó correctamente por primera
vez.
En muchas fotografías de la cámara de nubes, Anderson observó rastros típicos de
partículas cargadas tales como los electrones, sólo que la trayectoria se curvaba en la
dirección “equivocada” en la presencia de un campo magnético. Podían identificarse
como “partículas semejantes a los electrones” por el tipo de rastro de condensación
que dejaban en la cámara. Las partículas alfa tienen dos cargas y son sumamente
masivas comparadas con los electrones, y por estas razones dejan un rastro corto y
grueso, comparado con el largo y delgado que producen los electrones. Para
determinar la dirección de viaje de las partículas, se colocó una placa de plomo en la
cámara. La figura 9-1 muestra el rastro de una partícula en una cámara de nubes
situada en un campo magnético. Note que el radio de curvatura de la trayectoria es
menor en la porción superior de la cámara de nubes. A medida que la partícula pasa a
través de la placa de plomo pierde algo de momento y así se reduce su radio de
curvatura en el campo magnético. Esto da la dirección en que viaja la partícula y
conociendo la dirección del campo magnético podemos saber el signo de la carga de
la partícula. El electrón y positrón tienen cargas de igual magnitud, pero la carga del
positrón es positiva mientras que la del electrón es negativa. El positrón es la
antipartícula del electrón, es un antielectrón.
Los positrones son formados en la producción de pares de electrones por rayos  . En
este caso, la energía de un fotón se transforma en energía de reposo y cinética. La
producción de pares no ocurre en el vacío, porque la energía y el momento de un solo
fotón no pueden conservarse simultáneamente produciendo dos electrones, a menos
que el fotón pase cerca de un núcleo pesado. El núcleo toma algo del momento y de
la energía en la interacción. Para que ocurra esta interacción mostrada en la figura 92 (a), la energía, el momento, y la carga eléctrica deben conservarse. A medida que
un fotón de energía E = h interacciona con un núcleo, se forma un par electrónpositrón. Por la conservación de la energía, la energía mínima del fotón incidente es
h
min
= m0-c2 + m0c2 = 2m0c2
(9-4)
Figura 9-1
Esquema de la trayectoria del positrón en una cámara de nubes situada en un campo
magnético de intensidad b. En base a la dirección del campo magnético, el tipo de
rastros dejados, y la disminución en el radio de curvatura, Anderson pudo identificar al
positrón.
Figura 9-2
(a) la producción de pares ocurre en la vecindad de un núcleo pesado, el momento
y la energía se conservan. (b) En un campo magnético, el electrón y el positrón
tienen trayectorias de curvatura opuesta.
o
h
min
= 1.02 MeV
la longitud de onda de este fotón es
h min 
hc
max
 1.02 MeV
λmax = 0.0122Ǻ
Este es un fotón de rayos  altamente energéticos. La figura 9-2(b) muestra un par
electrón-positrón formado en la presencia de un campo magnético uniforme. En este
caso, las partículas se mueven en trayectorias circulares opuestas de acuerdo al signo
de su carga. En general, para fotones  incidentes de energía mayor que 1.02 Mev.
h
Energía del fotón
Incidente,
M0c2
energía de
reposo del núcleo
=
(m0- c2+K-)
energía total
del electrón
+
(m0+ c2+K-)
energía total del
positrón
con la energía en exceso apareciendo ahora como las energías cinéticas K- y K+ del
electrón y del positrón, respectivamente y con Kn, como la energía cinética del núcleo.
Ya que el núcleo es sumamente masivo y tiene una velocidad mucho menor que la de
los ligeros electrón y positrón Kn  0.
La ecuación (9-5) se escribe entonces como:
h = (m0-c2 + K-) + (m0+c2 + K+)
(9-6)
De la figura 9-2(b), la intensidad B del campo magnético es conocida y el radio r de las
trayectorias circulares se puede medir. El momento de una de las partículas del par
electrón positrón se determina entonces de:
P = m = eBr
(9-7)
donde e es la carga del electrón o del positrón. Por lo tanto, la energía total de una
partícula, de la ecuación (6-25), es
E  E0  p 2 c 2
2
(9-8)
La energía de una de las partículas, ya sea el electrón o el positrón, está dada por
E  ( m0c 2 ) 2  (eBr ) 2 c 2
(9-9)
El positrón es una antipartícula del electrón. En 1955 Chamberlain, Segré e Ypsilantis
observaron la producción de pares para la combinación protón antiprotón en la
Universidad de California, en el mismo año también fueron verificados
experimentalmente pares de neutrón antineutrón. Las antipartículas serán discutidas
en detalle en los capítulos 37, 38 y 39.
9-3
ANIQUILACION DE PARES
También ocurre el efecto inverso de la producción de pares, se conoce como
aniquilación de pares. En la aniquilación de pares, al juntarse una partícula y su
antipartícula se convierten completamente en energía radiante. Cuando se forma un
positrón, tiene una vida muy corta. Después de perder la mayor parte de su energía
cinética en colisiones, forma una especie de átomo con un electrón. A este átomo se
le llama positronio (figura 9-3(a), y existe hasta que el electrón y el positrón se
aniquilan mutuamente.
La energía total, incluyendo la masa de reposo del par electrón positrón, es cambiada
en energía de fotones. De nuevo, igual que en la producción de pares, el momento
debe conservarse. Sucede algunas veces que las dos partículas están esencialmente
en reposo y por lo tanto tienen un momento igual a cero, antes de la aniquilación. El
momento se conserva cuando se crean dos fotones de momento igual en magnitud y
opuesto en dirección (figura 9-3(b)) en la aniquilación de las dos partículas. Para un
electrón y un positrón esencialmente en reposo antes de la interacción,
m0-c2 + m0+c2 = 2 h
min
o
2m0 c 2  2h min 
2hc
max
(9-10)
de la cual λmax = 0.0244Ǻ, es la máxima longitud de onda del fotón creado. Para
partículas que tienen una energía cinética inicial antes de la colisión, la ecuación (910) toma la forma
(m0-c2 + K-) + (m0+c2+K+) = 2 h
(9-11)
Figura 9-3
Los fotones son creados por la aniquilación de un par electrón positrón en colisión
9-4
ABSORCIÓN DE FOTONES
En términos de los fotones, la intensidad de la radiación electromagnética se define
como


núm erode fotones

int ensidad  
 área  a la proyecciónx tiem po
energía
x
fotón
donde el flujo de fotones es
N
núm erode fotones
área  a la proyecciónx tiem po
I  Nh
(9-12)
La intensidad de la radiación en un haz se reduce tanto por dispersión del haz como
por absorción. Un coeficiente de absorción µ se usa como medida de capacidad del
medio para atenuar el haz de radiación.
La figura 9-4(a) muestra un flujo incidente de fotones sobre un material absorbente de
espesor dx y coeficiente de absorción µ. El cambio de flujo de un haz, al pasar a
través de un material de espesor dx es negativo y proporcional al espesor del
absorbente y al flujo original. El cambio en el flujo es entonces
dN = -µN dx
donde µ actúa como constante de proporcionalidad. Esta se integra para dar
N = N0e-µx
(9-13)
Donde N0 es el flujo incidente y µ aparece como el coeficiente de absorción. Ya que
para una frecuencia da de la radiación, el flujo es directamente proporcional a la
intensidad, la intensidad de la radiación transmitida toma la forma
I = I0e-µx
(9-14)
donde I0 = N0h
El coeficiente de absorción µ depende tanto del material absorbente como de la
frecuencia  de la radiación incidente. Los procesos ya mencionados el efecto
fotoeléctrico, el efecto Compton, y la producción de pares, son los principales por su
efectividad para absorber la radiación. El coeficiente de absorción efectivo total es un
resultado de estos tres efectos:
µtotal = µCompton + µfotoeléctrico
+ µproducción de pares
(9-15)
Figura 9-4
(a) flujo de fotones absorbidos al pasar a través de un material cuyo coeficiente de
absorción es µ. (b) coeficientes de absorción para fotones  en el plomo
La gráfica de la figura 9-4(b) muestra el efecto de cada proceso individual como una
función de la energía incidente. Para fotones de energía menor que 1.0 MeV, el
proceso de absorción se debe principalmente al efecto fotoeléctrico, aunque el efecto
Compton contribuye un poco. La producción de pares, de acuerdo con la ecuación (94), empieza a 1.02 MeV, y predomina cada vez más a altas energías.
PROBLEMAS
9-1
9-2
9-3
9-4
9-5
9-6
9-7
Muestre que el radio de curvatura de un positrón, que se mueve
perpendicularmente a un campo magnético uniforme, se reduce cuando el
positrón pasa a través de una placa de plomo.
¿Cuál es la energía y la longitud de onda de un fotón qu escasamente alcanza
a crear un par protón antiprotón?
Determine la energía cinética total del electrón y del positrón formados por
producción de pares por un rayo  de longitud de onda 0.00247Å.
¿Cuál es el momento de los fotones creados en la aniquilación de un protón y
de un antiprotón, cada uno con energía cinética original de 1.00 Mev?
Un fotón crea un par electrón-positrón, cada uno con energía cinética de 0.500
Mev. Compare la longitud de onda del fotón incidente con la longitud de onda
de Broglie de una de las partículas producidas.
Un fotón entra a una cámara de nubes localizada en un campo magnético de
0.0300 teslas para producir un par electrón-positrón. Los radios de las
trayectorias curvas perpendiculares al campo magnético del electrón el positrón
son de 2.00 cm. Y 1.50 cm. Respectivamente, ¿cuál es la energía en MeV
fotón incidente?
Un electrón y un positrón, cada uno viajando a 0.40c. en direcciones
opuestas, chocan y se aniquilan en forma de radiación. Calcule (a) la longitud
de onda de Broglie electrón, (b) la longitud de onda de los fotones formados y
(c) el momento de cada uno de los fotones.
9-8
9-9
9-10
9-11
9-12
La radiación de los lásers de CO2 (10.6µ) alcanza valores típicos de 1000/cm2
normalmente a una superficie, ¿cuál es el flujo de fotones, o sea, el número de
fotones incidentes sobre un área unitaria en la unidad de tiempo? (b) ¿cuál
sería el flujo de fotones de rayos de longitudes de onda igual a 5.00 x 10-3 Å
que produciría la misma intensidad?
El coeficiente de absorción de rayos  de baja energía en el plomo es 1.50cm-1,
¿qué espesor de plomo se requiere para reducir la intensidad de los rayos (a)
a la mitad de la intensidad original y (b) a 0.0100 de su intensidad original?
Para rayos  de una longitud de onda dado el coeficiente de absorción para el
plomo 0.900 cm-1 y para el aluminio 0.280 cm-1. Para la absorción de estos
rayos , qué espesor de aluminio tendrá la misma absorción que 1.00 cm de
plomo.
¿Por qué mecanismo será absorbido un fotón de 12 Mev en una pieza de
metal)¡? Explique
Se registran datos para la intensidad de los rayos x “duros” a medida que
penetran varios espesores de cobre. De los datos dados haga una gráfica y
determine (a) el coeficiente de absorción para el cobre y (b) el espesor de
cobre que transmitirá el 37% de los rayos incidentes.
Espesor (cm)
0.10
0.20
0.30
0.35
0.38
0.40
0.45
0.50
0.62
9-13
9-14
Relativa I/I0
0.90
0.80
0.74
0.70
0.68
0.67
0.64
0.57
0.50
Un láser de rubí ( = 6983 Å) produce un pulso de 50.0 J a la razón de 96
pulsos/min. ¿cuántos fotones hay en un solo pulso?
Suponga que la producción de pares puede ocurrir sin la presencia de un
núcleo pesado y muestre que
 h 
2
2

  p  p  2 p p cos(   )
 c 
2
(ver figura 9-5). Entonces muestre que esta ecuación conduce a h < E+ + E-,
que contradice la conservación de la energía.
Figura 9-5
CAPITULO 10
NATURALEZA ONDULATORIA DE LAS PARTÍCULAS
10-1
EL DILEMA ONDA-CORPUSCULO
Desde el tiempo de los filósofos de la antigüedad hasta Isaac Newton, los científicos
pensaron que consistía en la de corpúsculos en rápido movimiento. En 1801, cuando
los experimentos sobre interferencia de Thomas Young establecieron la teoría
ondulatoria de la luz sobre una firme base experimental, pareció que los físicos
podrían rechazar la idea de una estructura atómica de la luz, sin embargo, las teorías
atómicas empezaron a responder cada vez más los interrogantes sobre las
propiedades físicas de los sólidos, líquidos y gases. A finaes del siglo XIX, los
experimentados de J.J. Thomson y H.A. Lorente sentaron el concepto del corpúsculo
de electricidad, el electrón. Finalmente, en 1900 se completó el ciclo cuando una ley
sobre la radiación del cuerpo negro fue establecida después de que Max Planck
postuló que una fuente de luz no emite radiación continuamente, sino en cantidades
iguales y finitas llamadas cuantos. En 1923 el dilema corpuscular ondulatorio se
perfiló de nuevo cuando Arthur Compton descubrió que los cuantos de rayos x tienen
momento así como energía. Por ende, la luz parecía tener dos series distintas de
propiedades, que estaban en conflicto entre sí.
Finalmente, en 1924 Louis de Broglie entregó su tesis para obtener su grado de
doctor, Recherches sur la Théorie des Quanta, en la cual sugería, ya que luz tenía
mucho de corpuscular, se podía esperar que las partículas, en particular los
electrones, por la simetría de la naturaleza mostraran propiedades ondulatorias. En
1927 sus ideas fueron verificadas independientemente por G.P. Thomson y por C.J.
Davisson y L.G. Germen, quienes mostraron que los electrones, a semejanza de la
luz, podían ser difractados.
10-2
ONDAS DE DE BROGLIE
Planck había relacionado la energía de los corpúsculos de luz (fotones) y la frecuencia
de la luz por
E = h
(10-1)
donde  es la frecuencia del fotón y la energía E es la misma expresión encontrada en
la teoría especial de la relatividad, ó sea E = E0 + K donde, para el caso del fotón, E0 =
m0c2 = 0 y la energía total E = K es enteramente cinética. Sin embargo, la frecuencia
no tenía lugar real en una teoría puramente corpuscular. De Broglie razonó que
debían existir ondas de alguna clase asociadas con estos fotones, para explicar
fenómenos tan puramente ondulatorios como la interferencia. Compton había
mostrado que las ondas de luz tienen un momento, que usualmente sólo se asociaba
a las partículas. La expresión de la energía de un fotón también puede tomar la forma
E = mc2 = pc
(10-2)
donde p es el momento asociado con el fotón. Combinando las ecuaciones (10-1) y
(10-2), obtenemos
p
h h

c

(10-3)
que relaciona el carácter ondulatorio de los fotones, la longitud de onda  y la
frecuencia , con el carácter corpuscular, el momento p.
Entonces De Broglie propuso una idea sorprende: si las ondas de luz pueden tener
una naturaleza corpuscular, las partículas, tales como los electrones, pueden poseer
características ondulatorias. Así, un electrón puede tener un momento
p  m 
h

(10-4)
donde m es la masa relativista. Esta expresión adjudica al electrón el carácter
ondulatorio de la frecuencia . Aplicando la ecuación fotónica (19-3) a la ecuación
corpuscular (10-4), la longitud de onda del electrón toma la forma

h
m
(10-5)
La longitud de onda puede escribirse en términos del momento como

h
p
2
2
donde p  (1 / c) E  E 0 de la ecuación (6-25). Ahora


h
(1 / c) E 2  E 02
h
(1 / c) (m c2 ) 2  (m0 c 2 ) 2
que toma la forma


h

m0 c 1 / 1  ( 2 / c 2 )  1
y se simplifica a

h 1  ( 2 / c 2 )
h

m0
m
Aunque el trabajo original de De Broglie trató solamente el problema del electrón, las
ecuaciones válidas para todas las partículas materiales. Una pelota oficial de béisbol
de la Liga Americana, tiene una masa 0.14 kg (5 oz), al ser lanzada adquiere una
velocidad de cerca de 40 m/seg. La longitud onda de De Broglie asociada con esta
pelota es
h
6.63x1034  10 A 


x10

m0
0.14x 40 
m
 1.2 x10 24 A
longitud de onda tan pequeña que no podría ser detectada. Un electrón que viaje con
la misma velocidad tendrá una longitud de onda

h
6.63x1034  10 A 

x10

m0 9.1x1031 x 40 
m
 1.8 x105 A
que puede medirse fácilmente en el laboratorio.
10-3
CONFIRMACION EXPERIMENTAL DE LAS PARTICULAS ONDULATORIAS
La idea de Louis de Broglie de darles características ondulatorias a las partículas dio
una ingeniosa y original solución al problema. Esta idea era tan novedosa que, de no
ser por la rápida confirmación experimental que tuvo, hubiera pasado mucho tiempo
antes de que fuera aceptada por los físicos. En 1925 se inició en los Laboratorios Bell
Telephone de los Estados Unidos una serie de experimentos sobre la emisión
secundaria de electrones, dirigidos por C.J. Davisson y C.H. Hunsman y después por
Davisson y L.H. Germen. En estos experimentos, un haz de electrones incidente
sobre un cristal de níquel hacía que otros electrones (secundarios) fueran reemitidos
por el cristal. Cuando uno de los blancos de níquel se cubrió accidentalmente con una
capa de óxido, se le calentó con el propósito de remover este óxido.
Los experimentos efectuados con este cristal dieron después resultados
experimentales muy diferentes. El calentamiento prolongado había cambiado el
blanco policristalino en un solo gran monocristal. Los electrones aún eran emitidos a
todos los ángulos, pero en ciertos ángulos se detectaban más electrones que antes.
Un haz de electrones de 54-eV producía un incremento en el número de electrones
emitidos a un ángulo de  = 50° (figura 10-1). Para los electrones K = 54 x 1.6 x 10-19
J, y
p  2 m0 K
de lo cual la hipótesis de De Broglie predice para los electrones habría una longitud de
onda de
i

h
p
6.63x1034
2 x9.11x1031 x54x1.60x1019
 1.67 A
A

x1010 
m

que es la longitud de onda de De Broglie asociada. Ahora, sobre la base de onda
difractada por los planos de Braga dentro del cristal, una difracción de primer orden
(n=1) por un cristal de níquel con un espaciamiento d = 0.91Å dará una longitud de
onda
= 2d sen = 2 x 0.91 x sen65°
= 1.65Å
que es la longitud de onda de una onda difractada. Esta es una buena comparación y
proporciona una fuerte evidencia de que, en verdad, los electrones tienen un carácter
ondulatorio así como corpuscular.
Casi al mismo tiempo que se efectuaban los dos anteriores experimentos G.P.
Thomson y algunos de sus estudiantes hacían un experimento diferente que los
llevaría a la misma conclusión. En la misma forma como se habían hecho los
experimentos de difracción de rayos x de von Laue, Thomson dispersó electrones de
alta energía por medio de hojas de metal muy delgadas, de material policristalino con
los ejes de los cristales orientados al azar. El montaje experimental se muestra en la
figura 10-2. En su experimento envío un haz colimado de electrones (con una energía
104 ev) a través de una hoja de 10-5 cm de espesor. Pudo así obtener una serie de
anillos de difracción cuyos ángulos de difracción 1, 2, 3 etc., verificaban la bien
conocida ecuación para difracción por transmisión, n = 2d sen  (n=1,2,3,…..), donde
 es el ángulo que el haz difractado forma con la dirección del haz incidente.
Entre otras interesantes verificaciones experimentales de la naturaleza ondulatoria de
las partículas figuran las siguientes:
Figura. 10-2
Patrón de difracción producido haciendo pasar electrones de alta velocidad a través de
una delgada hoja de oro.
1.
2.
3.
En Alemania, Rupp midió la longitud de onda de los electrones
directamente por la difracción de un haz de electrones incidente sobre una
red de difracción óptica a un ángulo de incidencia rasante.
En 1931, Johnson demostró los efectos de difracción de haces de
hidrógeno diractados por cristales.
En un impresionante experimento (1938), Eastermann, FRISCO, y Stern
produjeron efectos de difracción con un haz de moléculas de helio incidente
sobre cristales de LiF.
Los experimentos anteriores presentan evidencia concluyente de la naturaleza
ondulatoria de las partículas, pero surgen otras cuestiones. Por ejemplo, ya que tanto
los fotones como los electrones exhiben características corpusculares y ondulatorias,
parecería que realmente no hay que hacer distinción alguna entre las partículas y las
ondas. Sin embargo, la naturaleza ondulatoria de los fotones aún no explica
satisfactoriamente experimentos como la dispersión Compton o el efecto fotoeléctrico,
y partículas como los electrones no pueden viajar a la velocidad de la luz.
Niels Bohr sugirió el principio de complementareidad para resolver las aparentes
contradicciones ondulatorio-corpusculares.
Su principio de complementareidad
establece que ni las partículas ni las ondas exhibirán simultáneamente
sus
características ondulatorias y corpusculares en un solo experimento. Una descripción
completa de la radiación o de los electrones requiere en cualquier caso que se usen
ambos caracteres –ondulatorio y corpuscular- pero cada uno en su propia esfera de
aplicación.
10-4
PAQUETES DE ONDAS
El campo eléctrico asociado con una bolita de médula de saúco cargada, no está
localizado solamente en la bolita, sino que se extiende a través del espacio. Este
campo eléctrico y la partícula cargada no pueden ser separados como entidades
diferentes, son dos aspectos de la misma cantidad. En la misma forma, una entidad
de materia –una partícula será representada por ondas-. Por el mismo hecho de ser
representada por una onda, la partícula ha perdido algunos aspectos de ser localizada.
Tal sistema de ondas formará una evolvente que se propaga con una velocidad
diferente de la velocidad de cualquiera de las ondas componente. Esta envolvente de
ondas que representa un punto material, es llamada paquete de ondas (o grupo de
ondas).
Para representar un punto material (una partícula) se requiere una combinación de
muchas ondas individuales. Como una forma de abordar los paquetes de ondas,
consideremos un paquete compuesto por dos ondas.
1 = A cos(1t – k1x)
2 = A cos(2t – K2x)
donde 1  2 =  y k1  k2 = k. Por el principio de superposición, estas dos ondas
se pueden añadir para dar una onda resultante,
   1  2
    2   k1  k 2  
 AR cos 1
t  
 x
 2   2  
con una amplitud resultante
    2   k1  k 2  
AR  2 A cos 1
t  
 x
 2   2  
La figura 10-3(a) muestra dos ondas que se han sumado para producir una onda
resultante. Note que la adición de estas dos ondas ha producido pulsos o grupos de
ondas. Cada onda se propagará con su propia velocidad (su velocidad de fase), pero
los grupos de ondas formados se moverán con una velocidad diferente (la velocidad
de grupo). Ya que las R y las ks son aproximadamente iguales. Las velocidades de
fase de 1 y 2 son aproximadamente iguales. De las ecuaciones (10-1) y (10-3), la
velocidad de fase toma la forma
 ph   
Eh m c2 c 2


hp m

(10-6)
o
 ph   
x 2 

2xk
k
(10-7)
donde  = 2 es la frecuencia angular y k = 2/ la constante de propagación. En la
ecuación (10-6),  y  son, respectivamente, la frecuencia y longitud de onda
asociadas de De Broglie.
A continuación, el significado de las ondas de De Broglie se aclara aún más cuando se
muestra que la velocidad de una partícula es igual a la velocidad de grupo de las
ondas de De Broglie. La velocidad de la partícula se puede determinar a partir de
dE
dp

(10-8)
y la velocidad de grupo se define a partir de la teoría ondulatoria como
g 
d
dk
(10-9)
que también se puede escribir en la forma
g 
d
d
  2
d (1 /  )
d
(10-10)
de  = h/p,
d 
 h dp
p2
(10-11)
de E2 = E02 + p2c2
dE 
pc2
dp
E
(10-12)
y de  = E/h
d 
dE pc2

dp
h
Eh
(10-13)
Sustituyendo las ecuaciones (10-11) y (19-13) para d y d en la ecuación (19-19)
obtenemos
d
pc2
 g  

d
E
2
(10-14)
o
g 
mc 2
m c2
y
g = 
Vemos que la velocidad de grupo es igual a la velocidad de la partícula, o sea que las
ondas de De Broglie se mueven junto con la partícula. Cuando se reescribe la
ecuación (10-10), reemplazando  por ph/, la velocidad de grupo se vuelve
g 
d ( ph /  )
d (1 /  )
que puede tomar la forma
 g   ph  
d ph
d
(10-15)
Figura 10-3
(a) la suma de dos ondas de frecuencia casi iguales produce grupos de ondas (o
pulsos). (b) un grupo de ondas agudamente definido resultante de la superposición de
muchas ondas diferentes
donde se ha relacionado la velocidad de grupo a la velocidad de fase. Note que si las
ondas no se encuentran en un medio dispersivo, o sea si ph = constante, entonces g =
ph
¿Qué decir sobre la velocidad de grupo de los fotones? Para un fotón, E = pc y la
ecuación (10-14) toma la forma
pc2 Ec
g 

E
E
=c
ó
Este es, ahora un resultado esperado: la velocidad de grupo para los fotones es igual
a la velocidad el fotón.
La figura 10-3(b) muestra un caso más ideal, en el cual un gran número de ondas 1,
2,…..,n se han añadido. El paquete de ondas está definido con agudeza, y su
tamaño x se ha reducido considerablemente.
10-5
EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
en 1927 el físico alemán Werner Heisenberg propuso una interesante adición al
significado de los conceptos ondulatorio-corpusculares. Este es el principio de
incertidumbre o de indeterminación y expresa un límite fundamental a la determinación
simultánea de ciertos pares de variables, tales como la posición y el momento. La
figura 10-4 representa una partícula que se mueve con una velocidad , localizada
dentro de un paquete de ondas que se mueve con la velocidad g = . De las
ecuaciones (10-10) y (10-11), todavía es posible escribir la velocidad de grupo en otra
forma diferente
g  h
d
dp
(10-16)
De la figura 10-4 y de la ecuación (10-16)
g 
x

h
t
p
ó
px = h  t
(10-17)
Si va a medirse la frecuencia de la onda, el menor tiempo de medición será el tiempo
requerido para que una longitud de onda completa pase un punto de referencia. Este
tiempo, relacionado a la frecuencia, es t 1/, el tiempo de paso para un ciclo
completo.
Ahora, de
 t  1
(10-18)
La ecuación (10-18) toma la forma
p x  h
(10-19)
que es una de las expresiones del principio de incertidumbre de Heisenberg. Esto
ocasiona un impacto considerable sobre nuestras ideas acerca de las mediciones.
Este límite fundamental (>h) implica no sólo que hay un límite a la precisión de una
medición, sino que mientras más exactamente se localiza una partícula en su posición,
mayor será la incertidumbre en la medición de su momento y viceversa.
Figura 10-4
Una partícula en movimiento es representada por un paquete de ondas que se mueve
con la velocidad g
El momento en la ecuación (10-19= debe ser en realidad la componente del momento
en la dirección x, y más apropiadamente se escribe
px x  h
(10-20)
Pares de variables tales como px y x, en las cuales la incertidumbre en una de ellas fija
un límite a la exactitud de la medición de la otra, son llamadas variables conjugadas.
No hay límite en la precisión de la medición de las componentes del momento a lo
largo de los ejes y y z (py y pz) y de la posición a lo largo de la dirección x.
Debido al pequeño valor de h, esta incertidumbre no es relevante en el mundo
microscópico, a saber, con la interacción que aparece entre el instrumento de
medición y la magnitud que estamos tratando de medir. Por ejemplo, si tratamos de
medir la temperatura de un cuerpo, necesitamos un termómetro, pero cuando éste se
coloca en contacto con el objeto, modificamos la temperatura que deseamos medir, y
así sucesivamente.
El principio de incertidumbre, que es una natural, no destruye la ley de causalidad que
dada por sentada en el mundo macroscópico, relatividad especial, que ya discutimos,
está basado sólidamente sobre la distinción absoluta entre causa y efecto. Un mejor
nombre para el principio es el de principio de indeterminación. En este respecto, la
mecánica clásica de Newton y Galileo es determinística. (si conocemos la fuerza que
actúa solo en una partícula y las condiciones iniciales –posición y momento- podemos
predecir el movimiento subsiguiente de la partícula con precisión absoluta). El mundo
microscópico es esencialmente determinístico.
El problema de la incertidumbre es una consecuencia lógica del comportamiento dual
de la materia. Se puede lograr una intuición más profunda de la naturaleza del
principio de incertidumbre por medio de un experimento idealizado, el llamado
“microscopio de Heisenberg” que se muestra en la figura 10-5.
En la figura 10-5, un microscopio imaginario de gran poder resolutivo se usa para
tratar de medir simultáneamente la posición y el momento lineal de un electrón. La
óptica geométrica muestra que le poder resolutivo de un microscopio permite una
incertidumbre en la medición de la posición de
x 

2 sen
(10-21)
Figura 10-5
Microscopio de Heisenberg. Se efectúa un intento para medir simultáneamente la
posición y el momento lineal en la dirección x.
donde  es el ángulo indicado en la figura 10-5. Cuando la distancia es menor que x,
los dos puntos se verán como uno solo, y por lo tanto x representa la menor
incertidumbre en la posición del electrón que estamos tratando de medir con el
microscopio. De la ecuación (10-21), mientras más pequeña es la longitud de onda 
de la luz incidente con el que el objeto se ilumina, menor será x y consecuentemente
se podrá fijar con más precisión la posición del electrón.
Sin embargo, el fotón incidente interaccionará con el electrón a través del efecto
Compton. Para poder ver al electrón, el fotón dispersado debe entrar al microscopio
dentro del ángulo 2. Entonces, el momento (figura 10-5) del fotón tiene una
incertidumbre en la dirección x de
px  p sen
(10-22)
donde p = h/ es el momento del fotón incidente. De acuerdo con la conservación del
momento lineal, la ecuación (10-22) también debe dar la mínima incertidumbre en el
momento del electrón en retroceso. Por lo tanto, para el electrón en retroceso. Por lo
tanto, para el electrón en retroceso, las ecuaciones (10-21) y (10-22) muestran que
   h h
 
p x x  ( p sen )

2
sen


 2 2

h
2
que es el principio de incertidumbre. Un desarrollo más sofisticado mostrará que
px x  h
(10-23)
donde h = h/2 es llamada “h barra”.
EJEMPLO 10-1
Suponga que la incertidumbre en la posición de una molécula de hidrógeno, cuya
masa es cerca de 2 x 10-27 kg, es del orden de su diámetro, alrededor de 10-10. la
incertidumbre en el momento es
px 
h
6.6 x1034

x
1010
 6.6 x 10-24 kg-m/seg
El momento de esta molécula moviéndose a 2000 m/seg (velocidad termal a la
temperatura ambiente), es
px = m= 2 x 10-27 x 2 x 103
= 4 x 10-24 kg-m/seg
dará una incertidumbre fraccional
p x 6.6 x1024

 1.7
px
4 x1024
Así, el momento de esta molécula no puede ser especificado con una precisión mayor
que el 170% de su valor original. Sin embargo, una bala de 50 gm disparada con una
velocidad de 1000 m/seg, cuya posición se conoce dentro de 1.0 mm, tiene una
incertidumbre en el momento de
px 
6.6 x1034
 6.6 x1031 kg  m / seg
3
10
con un momento de
px = 0.050 x 1000 = 50 kg-m/seg
La incertidumbre fraccional es
p x 6.6 x1031
 1.3x1032
px
50
El número es tan pequeño que ningún aparato real de laboratorio se verá afectado por
él.
10-6
OTRA FORMA DEL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
Otra relación de incertidumbre entre la energía y el tiempo se deriva también de la
ecuación (10-18),
 t  1
o
E
 t  1
h
 
que toma la forma
E t  h
(10-24)
Así como el momento y el desplazamiento no pueden ser determinados
simultáneamente con precisión infinita, así tampoco la energía E y el tiempo t (que son
otro par de variables conjugadas) se pueden determinar simultáneamente con
precisión infinita. Mientras más precisos seamos en nuestra medición del tiempo (o
sea, a menor t), menos precisos seremos en la determinación de la energía. De
nuevo, una derivación más sofisticada de la ecuación (10-24) dará
E t  h
(10.25)
EJEMPLO 10-2
El tiempo de vida de un estado excitado de un átomo es alrededor de 10-8 seg. (un
estado excitado de un átomo es aquel en que la energía es mayor que la del estado
usual de mínima energía o estado base).
La mínima incertidumbre en la
determinación de la energía del estado excitado es, de la ecuación (10-25).,
h 6.6 x1034

E 
t
2x108
 1.0 x 10-26 J = 6.5 x 10-8 eV
Esta se conoce como anchura de la energía del estado excitado.
Desde luego, muchas propiedades de los sistemas microscópicos pueden ser
conocidos con certidumbre absoluta. Una de ellas, el signo de la carga eléctrica del
electrón. Podemos estar absolutamente ciertos, con mediciones, de que una partícula
tiene una carga positiva o negativa.
PROBLEMAS
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
¿cuál es la longitud de onda asociada con (a) un electrón de 100 eV? (b) una
pelota de golf (1.65 oz) con una velocidad de 60 m/seg?
¿qué velocidad tendrá un electrón con longitud de onda asociada de 2.00 Å?
Determine el momento y la energía para un fotón de rayos X, y (b) un electrón,
uno con longitud de onda de 1.00 Å.
Un acelerador Van de Graaff acelera los núcleos desnudos de los átomos de
litio a través de una diferencia de potencial de 5.000 Å 106V. ¿cuáles son la
velocidad y la longitud de onda de estos núcleos?
(a) ¿cuál es la masa relativista de un electrón con una longitud de onda 0.0420
Å? (b) de E = hc/ = mc2, se puede calcular una masa efectiva para un fotón m
= h/c. ¿cuál es la masa efectiva de un fotón con longitud de onda de 0.0420
Å?
Si un acelerador le da a un electrón una energía cinética de 0.511 Mev, ¿cuál
es su longitud de onda de De Broglie?
En la figura 10-1, si el potencial acelerador es de 100V, ¿a qué ángulo ocurrirá
el pico para los electrones dispersados?
Un haz de neutrones producidos por una reacción nuclear incide sobre un
cristal con un espaciamiento de 1.50 Å entre planos. Determine la velocidad de
estos neutrones con una reflexión de Braga de primer orden tiene lugar a un
ángulo de 30°.
(a) una red de difracción óptica (figura 10-6) fue usada por Rupp para mostrar
la difracción de los electrones. Para ángulos de incidencia rasantes, o sea para
 muy pequeño, muestre que
 2

n  d 
  0  n = 1, 2, 3, ……
 x

donde d es el espaciamiento de la red y  es el ángulo de difracción (ver
sección 10-4).
(b) ¿a qué ángulo  electrones de 100 eV incidentes a un ángulo  = 10-3 rad
sobre una red con un espaciamiento de 5.00 x 10-6 m, producirán un máximo
de difracción?
Figura 10-6
10-10 (a) para una partícula que se desplaza a una velocidad  relativista, muestre
que ph = c2/
(b) para una partícula que se mueve a una velocidad ´ no relativista, muestre
que g = ´/2
10-11 Muestre que la velocidad de grupo de una partícula se puede expresar en la
forma
g 
1 dE
h dk
donde E es la energía total y k es la constante de propagación.
10.12 Empiece con la definición de velocidad de grupo, g ¿ dE/dp y muestre que
 g   k
d
dk
donde k = 2/ es la constante de propagación y  s la velocidad de fase.
10-13 De la ecuación (10-10) pruebe que
 g   ph
d (ln  )
d (ln p)
10-14 (a) calcule la mínima incertidumbre en la determinación de la velocidad de un
camión cuya masa es de 2000 kg si se requiere determinar la posición de su
centro de masa dentro de un intervalo 2.00 Å.
(b) calcule el porcentaje de incertidumbre en el momento para el mismo caso.
10-15 La velocidad de una partícula nuclear (protón o neutrón) que marcha en la
dirección x se mide con una exactitud de 10-6 m/seg. Determine el límite de
exactitud con que puede localizarse su posición: (a) a lo largo del eje x, y (b) a
lo largo del eje y. resuelva el mismo problema siendo la partícula un positrón.
10-16 Una partícula que se mueve a lo largo del eje x tiene una incertidumbre en su
posición igual a su longitud de onda de De Broglie. Encuentre el porcentaje de
incertidumbre en su velocidad.
10-17 La incertidumbre en la posición de un electrón que se mueve en línea recta es
de 10 Å. Calcule la incertidumbre en (a) su momento (b) su velocidad y (c) su
energía cinética.
10-18 (a) el tiempo de vida de un estado excitado en un átomo es alrededor de 10-8
seg. Calcule la dispersión de la energía de los fotones emitidos (anchura de la
energía). (b) si los fotones emitidos pertenecen al espectro visible (  4000Å),
calcule la anchura de la energía en angstroms.