El Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico en un Condensador de

El Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico en un Condensador de Placas
Paralelas
Prof. Sergio Guerra
A
d
A
Fig1. Placas paralelas metálicas separadas una distancia “d” y con áreas A.
Un sistena de placas metálicas paralelas con algún material entre ellas (dieléctrico)
constituye en condensador. Dicho sistema tiene la característica que si lo
conectamos a una batería cuyo voltaje llamaremos V, entonces el mismo llega a
acumular carga de una forma lineal con el voltaje aplicado, como indica el gráfico
abajo
Q
Fig.2
V
Carga Vs Voltaje en la región lineal de un condensador
Dicho comportamiento es lineal, hasta cierto punto (por eso hay que ver las
especificaciones de trabajo que traen dichos elementos al comprarlos) y luego deja
de ser lineal. En la región lineal podemos escribir para dichos componentes:
Q  CV
(1)
siendo C la CAPACITANCIA del condensador e igual al valor de la pendiente del
gráfico Q vs V de la figura 2 anterior. La unidad de capacitancia es el FARADIO.
Pero se usan las unidades F=0,000001F y pF=0,000000000001F muy
corrientemente.
En general la capacitancia depende del material que esté entre las placas o
dieléctrico de permitividad  y de propiedades geométricas del condensador como
son el área “A” de cada placa y su separación “d”. Podemos demostrar que la
capacitancia en el caso de placas paralelas es de la forma:
C= A/d
(2)
Para el vacío (o aire) como dieléctrico el valor de
o =8,854187817 10^(-12)Fm^(-1)
y para el vacío entre las placas del condensador:
Co= oA/d
(3)
De hecho si colocamos en el mismo condensador (sin cambiar sus propiedades
geométricas) otro dieléctrico distinto del aire o el vacío entonces su capacitancia
C sería:
C = A/d
Y dividiéndola por la ecuación (3)
Tendríamos :
C/Co = /o
(4)
Que nos permite encontrar la permitividad  de un material cualquiera midiendo
las capacitancias con dieléctrico y sin él.
La ecuación (4) permite definir un coeficiente sin unidades que llamaremos
CONSTANTE DIELÉCTRICA del material y la designaremos por K, es decir
/o = K
(5)
La constante dieléctrica del vacío o aire es la unidad (1).
El campo eléctrico entre las placas es homogéneo y mucho más homogéneo cuando
“L” largo de las placas sea mucho mayor que la distancia de separación “d”.
Como ya hemos visto en la teoría, existe una relación entre el campo eléctrico y el
potencial eléctrico que podemos escribir:
 
dV   E  dr
(6)
o que podemos escribir en forma inversa:


E  V ( x, y, z)
(7)
donde hemos usado el operador “NABLA”(escrito en coordenadas cartesianas)

   / x xˆ   / y yˆ   / z zˆ
(8)
que es un operador vectorial, diferencial, lineal.
Este operador puede trabajar sobre espacios vectoriales o sobre espacios escalares
(como en (8)).
El operador (8) operando sobre un espacio escalar se lee” La gradiente del campo
escalar considerado”. Entonces (7) debe leerse “menos la gradiente del potencial
eléctrico”
La ecuación (7) corresponde a 3 ecuaciones escalares del tipo:
Ex  V ( x, y, z) / x (9)
con ecuaciones análogas para los otros ejes.
La derivada parcial en (9) debe efectuarse “manteniendo constante las otras
coordenadas”. De hecho si uno grafica V vs x (manteniendo constante y e z),
entonces la derivada en un punto con signo negativo nos da el componente del
campo en la coordenada x utilizada para la derivada (la pendiente de la tangente)
y en las otras dos coordenadas fijas.
V
y e z constantes
x
X
Figura3. gráfico V vs x (línea roja,manteniendo y e z constante), y tangente (línea
verde), indicando valores para pendiente (trazos chocolates).
Experiencia : I- Parte
Arme el sistema siguiente colocando las placas metálicas (de aluminio) paralelas
para el condensador en una cubeta de ondas . No deje que sus cables toquen el
agua que es el dieléctrico.
Fig.4. Fuente, placas metálicas y voltímetro
V
10V
Use un papel cuadriculado en la parte inferior del vidrio de la cubeta de ondas y
coloque un par de ejes de coordenadas con el eje x paralelo a las placas por
ejemplo y su origen en el centro de la hoja cuadriculada.
Mida los potenciales eléctricos para las coordenada x cada medio centímetro,
manteniendo fijos los valores de y e z.
Llene una tabla como la siguiente:
V(voltios)
X(cm) Y=_____ z=______
Tabla1 de Potenciales V vs las coordenadas x (manteniendo y e z constantes)
Mida para otros 15 o 20 valores de Y constantes (a cada 0,5 cm).
Encuentre el campo para x=5 cm ,y= 4cm y z=0 cm. Y para x=-2 cm y y=-2cm z=0
Mida para observar el comportamiento de V con Y (manteniendo x xonstante y
z=0) de forma sistemática, como hizo en el primer caso.
Determine el campo en el punto x=6cm, y=-3,5cm y z=0.
II Parte: Determine con ayuda del voltímetro varias líneas equipotenciales entre
las placas. Trate de estudiar dichas líneas en las regiones cerca de los bordes de las
placas. Trace unas 5 o 6 líneas equipotenciales separadas 0,5 Voltios, dentro de las
placas. ¿Cómo son respecto a la geometría de las placas? La dirección del campo
eléctrico siempre es PERPENDICULAR a las líneas equipotenciales y su sentido
es en la que el potencial disminuye lo más posible. Trate de trazar con ayuda de
las equipotenciales unas cuantas líneas de campo eléctrico asociado.
Puede usar, para esta experiencia, en vez de la cubeta de ondas y el agua , un
estarcido electrónico y usar el papel negro que servirá de material dieléctrico. O
una hoja o cartulina que haya dejado en salmuera (agua con sal) concentrada por
un día y luego secado al sol.
Sigue : Campos con otras simetrías y otros sistemas de coordenadas útiles.