TP capacitor - Universidad de Buenos Aires

FISICA II A/B
Primer Cuatrimestre 2006
Trabajo Práctico de Laboratorio No3
Capacitor variable de placas plano paralelas
En esta experiencia se quiere determinar la variación de la capacidad de un condensador de placas
paralelas circulares con la separación entre placas. Se compararán para ello los valores experimentales con
los obtenidos teóricamente a través de distintos modelos. Se determinará la influencia de la geometría y del
instrumento de medición en los resultados obtenidos. Además, se resolverá numéricamente el problema de
un capacitor con las características indicadas.
Para determinar la variación de la capacidad de un capacitor de aluminio de placas circulares de
radio R=10 cm y espesor =6 mm se dispone de un electrómetro (Apéndice I) con 4 rangos de voltaje
(3V, 10V, 30 V y 100V) y una fuente de tensión variable de 0V a 30V.
Nota: Es una experiencia donde se debe hacer procesamiento de datos
1.
Introducción
En la electrostática elemental se calcula la capacidad de un capacitor plano despreciando los efectos de
borde, es decir, suponiendo que las líneas de campo se encuentran confinadas entre las placas del
capacitor. Además, se supone que el campo es uniforme y sus líneas son rectas, como se ha visto en las
clases teóricas y/o de problemas. En este modelo, si A es el área de cada placa, d la separación entre ellas y
 la permitividad del dieléctrico, la capacidad del capacitar plano está dada por C   A , donde
d
  0  r
Problema 1: a) Un capacitor plano vacío de C = 0.2 F tiene sus placas separadas 1 mm y está conectado
a una batería de 10 V.
a) Calcular la carga sobre las placas, el valor del campo eléctrico y la energía eléctrica almacenada
dentro del capacitor.
b) Repetir los cálculos de a) si se duplica la separación entre placas con la batería conectada.
c) Repetir los cálculos de a) si se duplica la separación entre placas, con la batería desconectada.
Problema 2: ¿Cuál es el significado de cada una de las cantidades en V  Q C ?. Si se conecta un
capacitor plano a una tensión constante de 10V y se varía la separación entre placas, ¿cambia Q?.
Problema 3: ¿Qué ocurre si, en cambio, se conecta sólo por un instante la fuente de 10V y después de
desconectarla se varía la separación entre placas? Justificar.
Este modelo no es exacto, ya que habrá líneas de campo en el espacio exterior del capacitor y por lo
tanto la capacidad real del dispositivo será diferente del valor teórico. En el caso del capacitor plano, existe
un modelo teórico debido a Kirchhoff[1] para estimar las correcciones a las equipotenciales y las líneas de
campo en el borde. La fórmula aproximada de la capacidad de un capacitor de placas circulares planoparalelas de radio R y espesor  resulta[2]


 d


   
1  

4

.
R
.

ln

 1 
 
 R2



*
d  
C   
R
 R . ln16R 
(1)


d
d  
 d


 



 



El primer término de la ecuación corresponde a la capacidad de un capacitor de placas planoparalelas sin considerar efectos de borde debidos a la finitud de las placas y al espesor no nulo de las
Nota: Las secciones en itálica son trabajo previo al día de la práctica
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mismas. El segundo término corresponde a una corrección considerando sólo el tamaño finito de las
placas, el tercero a la consideración sólo del espesor no nulo de las mismas y el cuarto tiene en cuenta
ambas correcciones. Si sólo se considera el efecto de finitud de las placas, de la ec.(1) la relación entre la
capacidad corregida C y la capacidad sin corrección alguna C0 resulta






C&
1d
1 
&

 f  1
 1  ln 16 
(2)

d 
C0
R



R  


En cambio, si se tienen en cuentas ambas correcciones, la capacidad corregida C* en función de
C0 resulta








(1   / d ) 

C*
1d

*

d
(3)
 f 1
 4
ln(1 
)

 1  ln16 
d

d
C0
R







R




Problema 4: Demostrar a partir de la ec.(1) las ecuaciones (2) y (3). ¿Cuáles son las unidades de cada
cantidad? Hacer un esquema cualitativo del campo eléctrico y las líneas equipotenciales en un capacitor
real.
Problema 5: Se tiene un capacitor en aire de placas plano-paralelas circulares de radio 10cm y espesor
6mm. Calcular la capacidad a) sin considerar efectos de borde, b) considerando el radio finito de las
placas y c) considerando el radio finito y el espesor de las placas, para distintas separaciones entre las

 paso  0 ,5m m si 1,5 m m  d  10m m
placas con el siguiente paso: 
. Confeccionar una tabla. (0 = 8.85
paso

10
m
m
si
10
m
m

d

100
m
m


10-12 F/m.). Analizar las diferencias entre los distintos valores teóricos obtenidos para una dada
separación d. Volcar los datos en una tabla como la siguiente:
d (m)
...........
0,005
.....
0,100
C0(pF)
.....
55,60
.....
2,78
f&
f*
.....
1,094
.....
1,929
.....
1,252
.....
2,636
C&(pF)
.....
60,84
.....
5,36
C*(pF)
.....
69,62
.....
7,33
C0(5mm)/C0(d) C&(5mm)/C&(d) C*(5mm)/C*(d)
.....
1,00
.....
20,000
.....
1,00
.....
11,346
.....
1,00
.....
9,499
Problema 6: Se tiene el capacitor cargado con una carga Q desconocida ¿Se puede determinar la
variación de su capacidad (sin necesidad de conocer su valor absoluto) con la separación entre placas a
partir de la medición de diferencias de potencial entre placas? Justificar.
2.
Diseño de la experiencia
Como el instrumento de medición disponible es un electrómetro, sólo se pueden medir en forma directa
diferencias de potencial entre las placas del capacitor, y no la capacidad del mismo. Sin embargo, si se
desea saber cómo varía una cantidad en función de otra, se pueden utilizar cantidades relativas. Por
ejemplo, si se tiene una función f(x) (Tabla I), tanto de los valores de f(x) como los valores relativos a x=5,
f(x)/f(5), indican una relación lineal entre x e y. Si la función es más compleja, también se cumple, ya que
lo que introduce la medida relativa es un factor constante que no altera la dependencia funcional. En esta
experiencia haremos uso de esta propiedad.
Nota: Las secciones en itálica son trabajo previo al día de la práctica
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x
1
2
3
4
5
6
7
9
15
f(x)
2
4
6
8
10
12
14
18
30
f(x)/f(5)
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,8
3,0
Como es bien sabido, la capacidad entre dos conductores se define
como C  Q , donde Q es el valor absoluto de la carga de cada uno
V
de los conductores que forman el capacitor y V es la diferencia de
potencial entre ellos. ¿Cuándo es válida la afirmación anterior?
¿Depende de la forma de los conductores?

Como tomaremos unas 15 separaciones diferentes y unas 10
mediciones en cada una de ellas, hacer una tabla de 16 filas por 11
columnas (una por grupo).
Las mediciones experimentales se harán para todo el curso, pero
cada grupo tomará nota de ellas para luego procesarlas.
3.
Experiencia
Primera Parte
Se carga el capacitor (con las placas separadas una cierta distancia d con la fuente de corriente
continua. Una vez cargado el capacitor, se mide la diferencia de potencial para esa distancia. Luego se
modifica la separación entre placas y se determina la nueva diferencia de potencial.

¿Qué relación hay entre las dos diferencias de potencial y las dos capacidades correspondientes?
Se tomarán medidas relativas a una separación de 5mm. Se usarán distintas diferencias de potencial
iniciales y distintas distancias iniciales entre placas. A partir de los datos obtenidos, se analizará el
procesamiento de los mismos para obtener medidas relativas de la capacidad medida. Luego se
compararán gráficamente los datos experimentales con los obtenidos con los modelos teóricos a) sin
considerar efectos de borde, b) considerando la corrección por finitud de las placas, y c) considerando la
finitud y espesor de las placas.
1) Graficar Capacidad(5mm)/Capacidad(d) en función de d para los valores obtenidos en el
Problema 5 en un papel milimetrado oficio (ideal, con corrección por finitud de las placas y
con las dos correcciones). Considerar sólo los valores comprendidos entre 1,5mm y 10mm.
2) Graficar Cexp(d=5mm) /Cexp(d) en función de d (donde el subíndice exp indica que son las
medidas experimentales) en la misma hoja que 1)
3) Comparar los resultados obtenidos. ¿Puede explicar el modelo de Kirchoff las diferencias entre
los datos experimentales y los teóricos en nuestra experiencia?
Problema 7: Se conectan dos capacitores de 10pF y 30 pF a una
batería de 15V como indica la figura. ¿Cuál es la carga almacenada y
la diferencia de potencial sobre cada capacitor cuando ha pasado un
tiempo suficientemente largo como para considerar que se ha llegado
al estado estacionario?
30 pF
15V
10 pF
Problema 8: Se tiene un capacitor de 10pF cargado con una carga Q. Se
conecta a otro capacitor de 30pF. ¿Cuál será la carga de cada capacitor?
Problema 9: Se tienen dos capacitores cargados con cargas Q1 y Q2 como C1
indica la figura. El capacitor C1 tiene una capacidad fija de 30pF mientras
que C2 es variable. E es un electrómetro. Originalmente la capacidad C2 es
Nota: Las secciones en itálica son trabajo previo al día de la práctica
E
C2
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de 10pF y en el electrómetro se mide V0. Luego se cambia la capacidad a 20pF.¿Cuál es la nueva lectura
del electrómetro?
El fabricante del electrómetro indica que tiene una capacidad de entrada de 30-35pF, si no se
consideran los cables de las puntas exploradoras, y de hasta 150pF en caso de que los cables sean
considerados.

¿Cómo se explica la afirmación anterior?

¿Influye una capacidad parásita Centrada en las mediciones?
En nuestro caso, por la disposición de los cables, se puede en principio despreciar la capacidad
introducida por ellos. Así, el modelo teórico que se puede aplicar a la experiencia será un electrómetro con
un capacitor con Centrada comprendida entre 30 y 35pF en paralelo con el capacitor objeto de estudio. En
consecuencia, si Q’ y Q” son las cargas de cada capacitor.
0
Fuente
Cable Coaxil
Centr
C
V (d ) 
Q'Q"
C (d )  Centrada
(4)
Tomando como referencia V(5mm)
55.6 pF  C entrada
(5)
A
V ( 5 mm )
C( d )  C entrada
 0  C entrada
d
con d expresado en mm y siendo C(d) y C(5mm) los valores teóricos. ¿Qué valores teóricos utilizará?
V( d )

C( 5 mm )  C entrada

Problema 10: Justificar las ecs.(4) y (5).

Tabular los valores obtenidos teniendo en cuenta que la capacidad de entrada es 30 pF y 35pF.
Comparar los valores obtenidos.¿Cuál es la Centrada más adecuada?.Graficar (en la misma hoja donde ya
se ha graficado)

Discutir los resultados obtenidos.
Segunda Parte
En esta parte del Trabajo Práctico, fijaremos nuestra atención no en los problemas experimentales
de medición sino en el problema (también experimental) de que los capacitores reales tienen dimensiones
finitas.
Se puede determinar el apartamiento del comportamiento ideal de un capacitor teniendo en cuenta
que la capacidad de cualquier capacitor se puede obtener a partir de la energía electrostática acumulada en
el sistema U  1 2 CV 2 , (donde V es la diferencia de potencial entre las placas) si se conociera la energía
total distribuida dentro y fuera del dispositivo.
Por la dificultad que presentan, este tipo de problemas suele resolverse apelando a métodos
numéricos para resolver la ecuación de Laplace. Actualmente el método más utilizado es el llamado
Nota: Las secciones en itálica son trabajo previo al día de la práctica
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método de elementos finitos. En este método se divide el recinto de análisis (supuesto bidimensional) en
pequeños triángulos. Dentro de cada triángulo, la solución de la ecuación de Laplace se puede expresar
sencillamente en función de los valores del potencial en los vértices. El núcleo del método consiste en
hacer satisfacer las condiciones de contorno del potencial (continuidad del potencial y de su derivada
normal) en las aristas de los triángulos. Esto lleva a un conjunto (muy grande) de ecuaciones lineales que
se resuelven por métodos especiales del álgebra lineal. Dado que escribir un programa de elementos finitos
es una tarea difícil, vamos a utilizar una versión estudiantil shareware del programa Quickfield, que
permite resolver problemas electrostáticos, magnetostáticos, de transmisión del calor y de tensiones y
deformaciones (el propósito original con que se desarrolló la técnica de elementos finitos).
Se supondrá un capacitar plano de placas circulares de radio R y espesor , separadas en d y con un
dieléctrico de permitividad . La diferencia de potencial entre placas es V. Elegimos placas circulares
porque el programa admite recintos con simetría cilíndrica (bidimensional) y eso nos evita los problemas
que surgen para definir el campo eléctrico en los vértices de las placas. Con estos datos se crearán los
archivos necesarios para resolver el problema en las siguientes etapas:

el tipo de problema: electrostático axial-simétrico. Elegimos el eje de simetría cilíndrica
coincidente con el eje z del capacitor. Esta información le dice al programa qué ecuación diferencial
debe utilizar (en este caso, la de Laplace) y con qué coordenadas operar.

La geometría del problema. En esta etapa debe definirse la posición de los electrodos, en este caso,
las placas del capacitor. Como se ha elegido en el paso previo un modelo axial- simétrico, debe
interpretarse que el plano de resolución es un plano de simetría del capacitor, como el que se indica en
líneas de puntos en la figura. El programa presenta un cuadro donde el eje horizontal es z y el eje
vertical la coordenada radial r. En esta etapa también se identifican con rótulos los distintos elementos
(vértices, líneas o recintos) cuyas propiedades, a definir en el próximo paso, determinan el problema
físico a resolver. En nuestro caso debemos dar rótulos a las líneas que definen las placas, a las que se
les asignará un potencial fijo, y las regiones interior y exterior del capacitor, cuyas permitividades son
diferentes. Estas regiones cerradas se denominan "bloques" y deben cerrarse entre líneas ya que el
método sólo trabaja con recintos cerrados. A su vez, las líneas se trazan entre vértices. Finalmente, en
esta etapa se crea la malla de triángulos que se usará para resolver el problema. Es posible definir una
malla con densidades diferentes en distintos puntos, de manera de tener una malla densa donde el
campo varía rápidamente, como por ejemplo cerca de una punta metálica cargada, y una malla abierta
donde las variaciones son lentas, por ejemplo, lejos de las placas. La limitación de esta versión (para
DOS) estudiantil del programa es que admite 500 nodos o vértices en la malla (la versión comercial
permite 100.000 nodos). La versión para Windows admite 200 nodos.

Los datos del problema son las propiedades de las diversas regiones o "bloques" y las condiciones de
borde del problema, es decir la distribución de cargas y/o potenciales que generan el campo eléctrico.
En nuestro caso, las placas estarán a potenciales constantes V y 0, respectivamente, y las otras líneas
que definen los recintos tendrán carga nula (se trata de líneas geométricas que no son bordes de
electrodos) y estarán a "potencial flotante", es decir, no se conoce a priori su valor sino que surge del
cálculo.
Finalmente, se resuelve el problema y se corre el “post-procesador” que permite visualizar los
resultados y realizar otros cálculos a partir de los mismos.
En nuestro caso vamos a calcular para tres separaciones entre las placas: a) la energía almacenada
en "todo el espacio” y b) la energía almacenada entre las placas del capacitor. A partir de ellas
calcularemos la capacidad efectiva del capacitor para compararla con las que surgen de los modelos
teóricos y los valores experimentales. Es decir:

Calcule los valores de capacidad a partir de la energía obtenida utilizando el programa Quickfield
(integrando ½.E.D en todo el espacio). Compare los resultados con los obtenidos en el Problema 5.¿ A
qué se deben las diferencias? Justifique su respuesta.

Compare los valores obtenidos con los experimentales. Piense qué puede comparar.
Nota: Las secciones en itálica son trabajo previo al día de la práctica
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
A partir de los valores obtenidos con el programa Q-Field, grafique cualitativamente la energía
total y la almacenada en el capacitor en función de la relación d .
R
DATOS: Usaremos los datos del capacitor de placas plano paralelas circulares usado en el trabajo de
Laboratorio: R=10cm ; =0.6cm ; d= 0.1cm-1cm ; V=10V, 20V, 30V. Dieléctricos: aire
Apéndice I
0
Descripción del electrómetro [3]
El electrómetro del Laboratorio es el modelo ES-9054C de
PASCO Scientific. Es un voltímetro de muy alta resistencia
(104), que puede ser usado para mediciones directas de
diferencias de potencial, y mediciones indirectas de corriente,
capacidad y carga. Debido a su alta impedancia es especialmente
adecuado para la medición de carga en experimentos
electrostáticos (mide cargas de hasta 10-11 coulombs). La
capacidad del electrómetro es de 30-35 pF. Con las puntas de
prueba, la capacidad total es de 150pF.
O
utput
ND
G
nput
I
Puesta a punto del electrómetro
Antes de prender el electrómetro, ponerlo a cero : si fuera necesario girar el tornillo de ajuste
mecánico que está debajo de la escala (esta operación raramente es necesaria).
Encender el electrómetro.
El electrómetro tiene dos baterías de 9 V (B1 y B2). Para comprobar su estado, poner la perilla
FUNCTION en posición B1, comprobando que la aguja supere la posición del arco inferior del visor.
Colocar la perilla en B2 y repetir la operación. Si no supera la prueba, abrir el electrómetro y cambiar las
baterías (Observación: En algunas ocasiones sólo es necesario acomodar bien las baterías).
Poner la perilla FUNCTION en el rango de 3 V. Girar la perilla que se encuentra en la parte inferior
a la posición ZERO LOCK y ajustar la lectura a cero con ZERO ADJUST.
a)
Mover dicha perilla a la posición PUSH TO ZERO.
Conectar el borne marcado GND a tierra.
Poner en máxima escala (100 V).
1)Cuando se ajusta a cero con ZERO ADJUST siempre colocar en posición ZERO LOCK.
2)Presionar siempre el PUSH TO ZERO entre cada medición. No alcanza con cortocircuitar los
cables.
3) Elegir una buena tierra (cañería de agua)
REFERENCIAS
[1] A Sommerfeld, "Electrodynamics", p.328. Academic Press, New York (1952).
[2] American Institute of Physics Handbook, 2da Ed., pág.5-14
[3] Manual del Electrómetro ES-9054B de PASCO Scientific (1987)
Nota: Las secciones en itálica son trabajo previo al día de la práctica
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