CAPACITANCIA

CAPACITANCIA
Supóngase que se tienen dos conductores A y B separados por un medio aislante de espesor
d (puede ser aire u otro material). Una carga +Q ha sido transferida de B a A, dejando a B
con una carga negativa – Q
A este arreglo de dos conductores en los cuales se tienen cargas de igual magnitud pero de
signo contrario se le llama CAPACITOR.
Los capacitores son dispositivos que almacenan carga, se utilizan en circuitos eléctricos
para:

Sintonizar frecuencias de radio.

Filtros en suministros de energía eléctrica.

Eliminar chispas en sistemas de encendido.

Almacenamiento de energía.
El potencial eléctrico VA en el conductor cargado positivamente es mayor que el potencial
VB en B.
La diferencia de potencial entre ambos conductores es V = VA – VB
V > 0
Si Q es la carga en uno u otro conductor de un capacitor y V es la diferencia de potencial
entre los conductores, la CAPACITANCIA C de un sistema de dos conductores se define
como
C
Q
V
La cual es una cantidad positiva ya que ambos Q y V son positivos.
La unidad de capacitancia es el FARADAY ( F )
Coulomb
 Faraday
Volt
El capacitor se representa en circuitos eléctricos mediante:
La capacitancia depende de la geometría del capacitor y del material o medio que separa a
los conductores cargados (dieléctricos).
La capacitancia de un dispositivo es una medida de su capacidad para almacenar carga y
energía potencial eléctrica.
La diferencia de potencial que se establece entre ellos depende de la carga, su geometría, de
la separación entre los conductores y de la permitividad del medio.
Capacitor de placas paralelas
El capacitor más común es el de placas paralelas en el cual la separación d entre las placas
es muy pequeña comparada con las dimensiones lineales de las mismas.
Con estas condiciones, el campo eléctrico es constante y perpendicular a cada placa,
excepto en los bordes donde varía. Sin embargo, en la práctica estos efectos pueden
despreciarse. En un capacitor, la carga en cada placa esta uniformemente distribuida sobre
sus superficies interiores.
Suponga que el campo eléctrico entre las placas está en la dirección x así E = Ex i y
suponga que V es la diferencia de potencial entre las placas, las cuales están en x = 0 y en
x = d, entonces:
d
V   E.  dl   E x dx  E x d
0
El campo eléctrico fuera de un conductor, el cual tiene una densidad de carga superficial 
es:

0
Y puesto que
 
Q
A
donde Q es la carga en la placa positiva y A es el área de cada placa, la magnitud de campo
eléctrico es:
Ex 

Q

0 0 A
Entonces la capacitancia C del capacitor de placas paralelas se puede escribir como:
C
 A
Q
Q
q


 0
Q
V E x d
d
d
0 A
Expresión que nos indica que la capacitancia depende de la geometría del capacitor y de la
separación entre los conductores: a mayor área mayor capacitancia; a mayor distancia de
separación menor capacitancia, por el contrario a menor área y mayor distancia, menor
capacitancia.
E
+
+
+
+
+
+Q
+
+
+
+
+
x=0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-
- - - - - - - Q- - - -
-
Área A
x=d
Ejemplo: Un capacitor de placas paralelas tiene un área A = 2x10-4 m2 y una separación de
placas d = 1.0 mm. Encuentre su capacitancia.
C
0 A

C 2  2 x104 m 2 

  1.77 pF
  8.85x1012
d
N m 2  1x103 m 

Si d = 3 mm
C
0 A

C 2  2 x104 m 2 

  0.59 pF
  8.85x1012
d
N m 2  3x103 m 

Capacitor esférico
Algunos capacitores tienen simetría esférica, lo cual se ilustra mediante el siguiente
ejemplo:
Ejemplo: capacitancia de dos conductores esféricos concéntricos en términos de su
geometría
Los dos conductores son mostrados en la figura. El radio de la esfera interior es rA y el
radio interior del cascarón conductor exterior es rB.
Q-
Er
Q+
rA
rB
Podemos suponer que cargas positivas de magnitud Q han sido transferidas del conductor
exterior al conductor interior. Entonces la diferencia de potencial que existe entre ellos es:
V = VA – VB
Para determinar V en términos de su geometría se debe recordar que el campo eléctrico
fuera de la esfera interior con carga neta Q es el mismo que la de una carga puntual Q
localizada en el centro de la esfera.
Er 
kQ
r2
para rA  r  rB
V  VA  VB  
r rB
r rA
Er dr
O bien, cambiando los límites de integración:
VA  VB  
r  rA
r rB
Er dr
r  rB dr
1 1
kQ
dr

kQ
r rA r 2 kQ rA  rB 
r  rB r 2
V A  VB  
V 
r  rA
kQ(rB  rA )
rB rA
Por lo que la capacitancia de dos capacitores esféricos es:
C
4 0 rA rB
rA rB
Q


V k (rB  rA )
rB  rA
Si el radio interior rB del cascarón esférico tiende al infinito, la expresión anterior se reduce
a:
C
r
Q
Q

 A  4 0 rA
V kQ k
rA
Ya que el potencial sería el de una carga puntual, originado por la esfera concéntrica. En tal
caso, la capacitancia no depende de Q ni de V, sólo de la geometría del capacitor
concéntrico y del medio que lo rodea.
Capacitor cilíndrico
Ejemplo: un capacitor cilíndrico largo consiste de un conductor interior de radio a y un
conductor coaxial exterior de radio interior b, Si la longitud de cada cilindro es L >> b
encuentre una expresión de la capacitancia de este arreglo.
L
a
b
La diferencia de potencial puede ser calculada a partir de:
V  VA  VB  
r rB
r rA
E(r )  dl
E(r )  dl  E(r ) cos dl  Er dr
Donde E(r)=Er es la magnitud del campo eléctrico a una distancia r del eje del cilindro
interior.
Para calcular Er aplicamos la ley de Gauss
Q
 E(r )  dA  
2  r L Er 
Er 
Q
2 0 rL
Q
0
0
r  rA
Q
r  rB
2 0 rL
V A  VB  
V A  VB 
Q
2 0 L
dr 
Q
2 0
ln(rB  rA ) 
r  rB
dr
Q

ln(r )
r  rA r
2 0 L
L
r 
ln B 
2 0 L  rA 
Q
Luego entonces:
C
C
Q

V
Q
r 
ln B 
2 0 L  rA 
Q

2 0 L
ln(rB )
rA
2 0 L
ln(rB )
rA
ENERGÍA ALMACENADA EN CAPACITORES
Al cargar un capacitor, la transferencia de carga entre dos conductores del capacitor
requiere de una energía adicional. La energía requerida para cargarlo es almacenada cuando
este ha sido cargado y puede ser recuperada mediante la descarga.
Calculemos la energía almacenada en un capacitor C cuando una carga Q ha sido
depositada en sus placas.
Imaginemos que el capacitor empieza a cargarse a partir de estar completamente
descargado (Q = 0)
En la misma etapa del proceso de carga, cuando una carga q ha sido transferida de un
conductor a otro, la diferencia de potencial en el capacitor es:
V 
q
C
El trabajo dW necesario para transferir un elemento de carga adicional dq es:
dW  Vdq 
q
dq
C
El trabajo total que deberá realizarse para transferir la carga desde q = 0 hasta q = Q es
igual a la energía Uc almacenada en el capacitor cuando tiene una carga Q
U C  W   dW   Vdq 
1 q Q
1 Q2
q
dq

C q 0
2 C
Esta energía almacenada puede ser expresada en término de la diferencia de potencial entre
las placas, ya sea en término de la capacitancia o de la carga almacenada, haciendo uso de:
C
Q
V
Sustituyendo en la expresión de energía del capacitor:
1 Q2
1
1
2
UC 
 QV  C V 
2 Q
2
2
V
CAPACITORES EN SERIE Y EN PARALELO
Puesto que los capacitores son componentes de circuitos, estos comúnmente son conectados
entre si mediante alambres con otros circuitos.
E
+
+ +
VA + +
+ +
+ +
+Q+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+
++
+++-+ +-+ +-+ +-+ +-+ - Q
+-+ +-+ +-+ +- - -
-
Área A
VB
+
-
CONEXIÓN EN PARALELO
La siguiente figura muestra una combinación de dos capacitores de placas paralelas con
diferentes áreas que están conectados en paralelo, donde las placas con cargas positivas
están al mismo potencial VA porque ellas y el alambre entre ellas forman una superficie
equipotencial. Similarmente las placas negativas están al mismo potencial VB.
Al conectarse una batería, los electrones de las placas superiores son transferidos por la
batería hacia las placas inferiores quedando la superior con una deficiencia de electrones y
la inferior con un exceso de electrones.
El flujo de electrones cesa cuando el voltaje de los capacitores es igual al de la batería (la
fuente de energía par llevar los electrones de una placa a la otra es la energía química
almacenada en la batería). Al cesar el flujo de electrones, las placas tienen su carga máxima
eeVA
+
Q1 + + + + + +
VB
-
eQ2 + + + +
C1
C2
----
--- --e-
e-
Los dos capacitores C1 y C2 tienen la misma diferencia de potencial V =VA – VB
Si la carga en C1 es Q1 y en C2 es Q2 entonces:
Q1 = VC1
Q2 =VC2
La carga total en ambos capacitores es:
Q = Q1 + Q2
Q=VC1+VC2
Q =V (C1 + C2)
La capacitancia equivalente Ceq de los dos capacitores conectados en paralelo se define
como la carga total Q entre su diferencia de potencial común.
Ceq 
V C1  C 2 
Q

 C1  C 2
V
V
Se le llama capacitor equivalente debido a que un capacitor sencillo con una capacitancia
Ceq tiene los mismos efectos eléctricos que la combinación de ambos capacitores C1 y C2.
Lo anterior se puede extender a cualquier número n de capacitores conectados en paralelo
Ceq = C1 + C2 +C3+….+ Cn
El efecto físico de conectar un capacitor a otro en paralelo es de incrementar el área
de la placa incrementándose en consecuencia la capacitancia.
CONEXIÓN EN SERIE
Los dos capacitores C1 y C2 que se muestran están conectados en serie.
1
V1
C2
----
++++
C1
----
Q
++++
VA
VB
Q
V2
e-
e+
2
e-
-
Al conectar la batería al circuito, los electrones de la placa izquierda de C1 fluyen a través
del alambre conductor 1, llegan a la batería y esta realiza trabajo para pasarlos al alambre 2,
depositándose en la placa derecha de C2 quedando la placa izquierda con una deficiencia de
electrones, es decir con una carga positiva y la placa derecha de C2 con un exceso de
electrones, es decir, con carga negativa. Esta carga negativa hace que un electrón de la
placa izquierda de C2 sea repelido a través del alambre hasta depositarse en la placa derecha
de C1, quedando esta placa con carga negativa y la placa izquierda de C2 con carga positiva.
Lo anterior es debido a que la carga neta en las placas interiores y el alambre no cambia
ya que no puede entrar o salir mas carga. Al colocar una carga +Q en la placa
izquierda de C1, induce una carga –Q en la placa derecha de C2.
La batería continua realizando trabajo hasta que las placas quedan completamente cargadas
con una misa magnitud de carga.
La diferencia de potencial de la batería V = VA – VB en esta combinación, es la diferencia
de potencial entre la placa izquierda de C1 y la placa derecha de C2. Dicho de otra forma, la
diferencia de potencial de la batería se distribuye entre las placas de los capacitores
La diferencia de potencial V1 en C1 es Q/C1 y V2 en C2 es Q/C2 (las magnitudes de las
cargas son iguales)
Luego entonces, la diferencia de potencial V de la combinación en serie es:
V  V1  V2 
 1
Q Q
1 


 Q 
C1 C 2
C
C
2 
 1
La capacitancia equivalente es Q/V
C eq 
Q
V
ó
 1
1
Q 
C C2
1
  1
C eq
Q
1
V

C eq
Q


 1  1
C1 C 2
Para dos capacitores en serie, la capacitancia equivalente se puede expresar como:
Ceq 
C1 C2
C1  C2
Para n capacitores conectados en serie es:
1
1
1
1
1



  
Ceq C1 C 2 C3
Cn
Ejemplo: Dos capacitores C1 = 15 F y C2 = 30 F conectados en serie tienen una
diferencia de potencial entre la combinación de 120 V.
Calcular la energía almacenada por la combinación y la energía almacenada por cada
capacitor.
Ceq 
C1 C2
C1  C2
Ceq 
(15F )(30F )
 10F
15F  30F
La energía almacenada por el capacitor equivalente es:
U C eq 
1
1
C eq (V ) 2  (10 F )(120V ) 2  72 mJ
2
2
La carga en el capacitor equivalente es:
Q = CeqV= 10F (120 V) = 1.2x 10-3 C
La energía almacenada en cada capacitor es:
U C1
1 Q 2 1 (1.2 x103 C ) 2


 48mJ
2 C1 2 15x106 F
UC2
1 Q 2 1 (1.2 x103 C ) 2


 24mJ
2 C2 2 30x106 F
Ejemplo: Una diferencia de potencial de 50V se mantiene entre los puntos A y B en los
capacitores mostrados.
a) Cuál es la capacitancia equivalente del sistema
b) Cuál es la carga en el capacitor de 60F
c) Cuál es la diferencia de potencial en el capacitor de 20F
C1 = 20  F
VA
C2 = 30  F
VB
C3 = 60  F
a) Los capacitores C1 y C2 están conectados en serie, la capacitancia equivalente es
C12 
C1 C 2
 12 x 106  12 F
C1  C 2
Con esto reducimos el sistema a:
C12 = 12  F
VA
VB
C3 = 60  F
Los cuales están conectados en paralelo, el capacitor equivalente es
Ceq  C12  C3  12 x 106 F  60 x 106 F  72 F
La cual representa la capacitancia equivalente del sistema completo:
VA
Ceq = 72  F
VB
b) Puesto que la diferencia de potencial en el capacitor C3 es de 50V, entonces la carga
Q3 es
Q3  C3 V3  60x106 F (50 V )  3000x106 Coulomb 3x103 Coulomb
Para determinar la diferencia de potencial V, en C1
C1 
Q1
V1
Puesto que C1 y C2 están en serie, Q1 = Q2 e igual a la carga del capacitor equivalente C12
Q1 = Q2 =Q12
ya que la diferencia de potencial en C12 = 50V
Q12 = Q1 =C12 V12 = (12x10 -6) (50 Volts) = 6 x 10 – 4 Coulomb
Por lo que
Q1 6 x104 Coulomb 600x106 Coulomb
V1 


 30 Volts
C1 20x106 Faraday 20x106 Faraday
Ejemplo: encuentre la capacitancia equivalente entre a y b para la combinación de
capacitores que se muestra. Todas las capacitancias están en microfaradios.
1
4
3
a
b
6
8
2
Nota: para encontrar la combinación equivalente de capacitores, se reducen en pasos
utilizando las reglas de la combinación en paralelo o en serie.
Respuesta: 6 F
EFECTOS DE MATERIALES DIELÉCTRICOS
Un material no conductor es llamado un dieléctrico. Cuando un dieléctrico llena
completamente el espacio entre los conductores de un capacitor, la capacitancia se
incrementa en un factor k, llamada constante dieléctrica.
Supongamos que la capacitancia de un capacitor con un vacío entre sus conductores es C0.
Cuando este espacio es llenado con un dieléctrico de constante k, la capacitancia C de este
nuevo capacitor es:
C=k C0
La constante dieléctrica k es adimensional y su valor depende de los materiales.
El siguiente ejemplo ilustra algunos efectos físicos de utilizar dieléctricos en capacitores.
Suponga un capacitor aislado con vacío entre sus placas.
E = E0/k
E0
+
+
+++++++++-
V0A
Q+
-
-
-
QV0B
C0
VA
Q+
-
-
-
-
QVB
V = V0/k
C = k C0
Su capacitancia es C0, teniendo una carga Q fija
La diferencia de potencial entre sus placas es
V = Q/ C0
Al llenar con un material dieléctrico el espacio entre las placas, el valor de la capacitancia
se incrementa a
C = k C0
Debido a que el capacitor está aislado, la carga Q no cambia con la presencia del dieléctrico
La diferencia de potencial sin embargo, decae a un nuevo valor
V 
Q

kC0
V0
Q

Q
k
k
V0
Luego entonces, la diferencia de potencial desminuye en un factor 1/k
Otro aspecto a considerar es el campo eléctrico E entre las placas:
V0  E0 d
E0 
V 0
d
En la presencia del dieléctrico este campo es:
V0
E0 d
E
V
E
 k  k  0
d
d
d
k
Esta reducción de campo eléctrico se puede entender haciendo un análisis a nivel
microscópico:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
E0
EP
E
-
El dieléctrico tiene carga total nula, es decir, igual número de cargas + y – sin embargo las
moléculas se polarizan debido al Campo Eléctrico E0.
Una molécula se polariza cuando su parte cargada positivamente se orienta en dirección
contraria a E0.
Debido a esto, cada molécula genera un campo eléctrico polarizado Ep opuesto a E0
El valor promedio de estos campos es Ep, por lo que el campo eléctrico resultante E es
E  E0  E P 
E0
k
Ahora supongamos que el capacitor tiene una diferencia de potencial fija entre sus placas
V
La capacitancia sin dieléctrico es Co y su carga Q0
+ C0 Q0+
-
V
La carga en las placas viene dada por:
Q0 =C0 V
Si llenamos el espacio con un material dieléctrico de constante dieléctrica K, la capacitancia
es:
k
------
Q = k Q0
++++++
C = k C0
C = kC0
V
Luego entonces la carga Q en las placas es
Q  CV  kC0 V
Q  kC0
Q0
C0
Q  kQ0
Se incrementa en un valor k veces Q0
Luego entonces, la carga de un capacitor con una diferencia de potencial fija al cual se le ha
agregado un dieléctrico entre sus placas, se incrementa en un factor k.