UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL TUCUMAN DEPARTAMENTO ELECTROTECNIA

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL TUCUMAN
DEPARTAMENTO ELECTROTECNIA
CARRERA : INGENIERÍA ELÉCTRICA
CÁTEDRA : CALCULO NUMÉRICO
Trabajo Práctico N° 1
Raíces de ecuaciones
Usando los métodos de Bisección y de la Regla falsa determine :
1) La raíz real mas alta de f ( x)  0,874x 2  1,750x  2,627 . Emplee como valores
iniciales x1 = 2.9 y
3 iteraciones.
x2 = 3.1, calcule también el error aproximado realizando
2) La raíz más pequeña de f ( x)  2,1  6,21x  3,1x 2  0,667x 3 , emplee como
valores iniciales x1  0,4 y x2  0,6 e itérese hasta que el error estimado
є a ≤ 4 %.
3) La raíz de ln x = 0,5 , usando como valores iniciales x1  1 y x2  2
realice cuatro iteraciones y calcule el error aproximado después de
cada iteración.
4) La raíz cuadrada positiva de 10 , con un error aproximado menor al 0,5 %,
empleando como valores iniciales x 1  3 y x2  3,2 .
5) La raíz real de
f ( x)  x 3  100 con un error aproximado del 0,1 %.
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CARRERA : INGENIERÍA ELÉCTRICA
CÁTEDRA : CALCULO NUMÉRICO
Trabajo Práctico N° 2
Raíces de Ecuaciones
Usando los métodos de Iteración de Punto Fijo, Newton-Raphson calcule:
1) Las raices reales de
f ( x)  23,330 79,35x  88,09x 2  41,6x 3  8,68x 4  0,658x 5 hasta cuatro
iteraciones, usando el valor inicial de a) xi = 3.5 b) xi = 4 c) xi = 4.5, también
calcule el error aproximado.
2) Localice la raíz positiva de f(x) = 0,5 x – sen x donde x está en radianes. Use
como valores iniciales a) xi = 2.0 ; b) xi = 1.0. Realice cuatro iteraciones y calcule
también el error aproximado.
3) Encuentre la raíz real positiva de f ( x)  998,46  464x  35,51x 2  8,6x 3  x 4
usando el método de la secante. Emplee los valores iniciales xi 1  7 y xi  9 y
realice cuatro iteraciones, calcule también el error aproximado.
4) Determine la raíz real mayor de
f ( x)  6  11x  6 x 2  x 3
a) Usando los métodos de Bisección y de la Regla falsa. ( dos iteraciones, x1  2,5
y x2  3,6 )
b) Usando el método de Newton-Raphson ( dos iteraciones, xi = 3.6 ).
c) Usando el método de la Secante (Dos iteraciones, xi 1  2,5 y xi  3,6 ).
5) Determine la raíz real más pequeña de
f ( x)  9,36  21,963x  16,296x 2  3,703x 3
a) Usando los métodos de Bisección y de la Regla falsa ( Dos iteraciones , x1  0,5
y x2  1,1 ).
b) Usando el método de Newton-Raphson ( dos iteraciones xi = 0.5).
c) Usando el método de la Secante ( dos iteraciones xi 1  0,5 y xi  1,1 ).
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CARRERA : INGENIERÍA ELÉCTRICA
CÁTEDRA : CALCULO NUMÉRICO
Trabajo Práctico N° 3
Sistemas de Ecuaciones
1)
Mediante los métodos de eliminación Gaussiana simple y Gauss-Jordan
resolver:
7 x1 – 3 x2 + 8 x3 = - 49
x1 – 2 x2 – 5 x3 = 5
4 x1 – 6 x2 + 10 x3 = - 84
2)
Úsese los métodos de eliminación Gaussiana simple y Gauss-Jordan para
calcular:
10 x1 – 3 x2 + 6 x3 = 24,5
x1 + 8 x2 – 2 x3 = -9
-2 x1 + 4 x2 - 9 x3 = - 50
3)
Usando el método de Gauss-Seidel , con
 a = 5 % , resolver:
x1 + 7 x2 – 3 x3 = -51
4 x1 – 4 x2 + 9 x3 = 61
12 x1 - x2 + 3 x3 = 8
4)
Mediante el método de Gauss-Seidel , con
sistema del ejercicio N° 1.
 a = 5 % , resolver el
5)
Resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones:
4 x1 – 2 x2 x3 = 39
x1 – 6 x2 + 2 x3 = - 28
x1 – 3 x2 + 12 x3 = - 86
Usando: a) Eliminación gaussiana b) El método de Gauss-Jordan
c) El método de Gauss-Seidel (  a = 5 % )
6)
Resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones:
x1 – 3 x2 + 12 x3 = 10
5 x1 – 12 x2 + 2 x3 = - 33
x1 – 14 x2
= - 103
Usando: a) Eliminación gaussiana b) El método de Gauss-Jordan
c) El método de Gauss-Seidel (  a = 5 % )
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CARRERA : INGENIERÍA ELÉCTRICA
CÁTEDRA : CALCULO NUMÉRICO
Trabajo Práctico N° 5
Ajuste de Curvas
1)
Utilice la regresión con mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a:
x 1 3 5 7 10 12 13 16 18 20
y 3 2 6 5 8 7 10 9 12 10
Calcule el error estándar de la aproximación y el coefiiente de determinación.
Grafique los datos y la línea de regresión. Repita el problema intercambiando las
variables.
2)
Empléese regresión con mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a los
datos:
x
4
6
8 10 14 16 20 22 24 28 28 34 36 38
y 30 18 22 28 14 22 16
8 20
8 14 14
0
8
Calcúlese el error estándar de aproximación y el coeficiente de determinación.
Grafique los datos y la línea de regresión.
3)
Emplee regresión con mínimos cuadrados para ajustar a los datos:
x
0 2 4 4
8 12 16 20 24 28 30 34
y 10 12 18 22 20 30 26 30 26 28 22 20
a)
Una línea recta
b)
Una parábola
Calcúlese los errores estándar y los coeficientes de determinación.
Grafique los datos, la línea recta y la parábola. Compare los resultados.
4)
Dados los datos:
x
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
y 17 25 30 33 36 38 39 40 41 42
Usando regresión con mínimos cuadrados ajustar:
a)
b)
Una línea recta
Una parábola
Calcule los errores estándar y los coeficientes de determinación. Grafique y
compare los resultados.
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CARRERA : INGENIERÍA ELÉCTRICA
CÁTEDRA : CALCULO NUMÉRICO
Trabajo Práctico N° 6
Interpolación
1)
Calcúlese el log 4 usando interpolación lineal.
a)
Interpolar entre x0 = 3
y
x1 = 5
b)
Interpolar entre x0 = 3
y
x1 = 4,5
Para cada una de las interpolaciones calcúlese el error relativo porcentual basado
en el valor verdadero de log 4 = 0,6020600.
2)
Ajústese un polinomio de interpolación de Newton de segundo orden para
aproximar log 4 usando los datos del problema 1. Calcúlese el error relativo
porcentual.
3)
Ajústese un polinomio de interpolación de Newton de tercer orden para calcular
log 4 usando los datos del problema 1, además del punto adicional x3 = 3,5.
Calcúlese el error relativo porcentual.
4)
Dado los datos
x
0
0,5
f(x)
1 2,119
1,0
1,5
2,0
2,5
2,910
3,945
5,720
8,695
Calcúlese f(1,6) usando polinomios de interpolación de Newton de orden 1 hasta 3.
Escójase la secuencia de puntos base para obtener una buena aproximación y
calcule los errores relativos procentuales.
5) Repítanse los problemas 1 al 4 usando polinomios de Lagrange.
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CARRERA : INGENIERÍA ELÉCTRICA
CÁTEDRA : CALCULO NUMÉRICO
Trabajo Práctico N° 7
Integración numérica
1)
Utilice medios analíticos para evaluar
10
a)

b)

0
5
3

c)
2)

0
(10  2 x  6 x 2  5 x 4 )dx
(1  x  4 x  3x 5 )dx
(8  5senx)dx
Evalúe las integrales del apartado 1)
a) aplicando la regla trapezoidal simple
b) aplicando la regla trapezoidal de segmentos múltiples, con n = 2, 4 y 6
c) aplicando la regla de Simpson 1/3 simple
d) aplicando la regla de Simpson 1/3 de segmentos múltiples, con n = 4 y 6
e) aplicando la regla de Simpson 3/8 simple
f) aplicando la regla de Simpson 3/8 con segmentos múltiples, con n = 5
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CARRERA : INGENIERÍA ELÉCTRICA
CÁTEDRA : CALCULO NUMÉRICO
Trabajo Práctico N° 4
Aplicaciones
0
1
Vo
L
C
R
En el circuito de la figura
cuando el interruptor pasa de
la posición 0 a la posición 1
hay un período de ajuste, que
llamamos transitorio, hasta
que se alcanza un estado
estacionario.
La ecuación del circuito es:
di
q
L
 iR 
 0,
dt
C
dq
como i 
reemplazando
dt
d 2q
dq
q
R

 0 . Esta es una ecuación diferencial ordinaria
2
dt
C
dt
de 2do. Orden cuya solución es :
nos queda L
q(t )  e
si t = 0

R
t
2L

cos


2

1
 R 

 t

LC
 2L 

q = qo = Vo C y reordenándola para dejarla en función de R nos queda:
f ( R)  e

R
t
2L

cos


2
1
q
 R  


 t
LC  2 L   q0

Utilice los métodos de Bisección y de la Regla Falsa para determinar una resistencia
apropiada para disipar energía a una velocidad constante, f ( R ) = 0 , para los
q
siguientes valores de :
 0,01 , t = 0,05 s , L = 5 H , C = 104 F .
q0
Realice iteraciones hasta obtener un  a  2 %.
2V
1Ω
2V
1Ω
1Ω
1Ω
1Ω
1Ω
método de Gauss-Jordan.
2V
Para el circuito de la figura,
determine las corrientes que
circulan por cada una de las
resistencias, como así también las caídas de tensión en
las mismas.
Utilice las reglas de mallas y
nodos de Kirchhoff para
establecer el sistema de
ecuaciones.
Para resolver el mismo
Aplique los métodos de
Eliminación Gaussiana y el