operaciones con números naturales a través de algoritmos

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES A TRAVÉS DE ALGORITMOS
A) Valor posicional de los números.
EJEMPLO
* Tres dígitos iguales representados en distintas formas tienen distinto valor numérico. Tal es
el caso del número 3 que se puede representar en las siguientes formas: 333 , 333, 333 ,
33/3 y
33
,
3
 La primera representación indica un valor numérico de trescientos treinta y tres (333).
 La segunda indica que el treinta y tres se debe multiplicar tres veces, ya que el exponente
es tres, de acuerdo con esto el valor numérico de 333 = (33)(33)(33) = 35937 .
 La tercera indica que el tres se debe multiplicar treinta y tres veces, ya que éste es el valor
del exponente; de esta forma resulta el valor numérico de 333 = 5.559060567x1015 .
 La cuarta indica que el tres tiene como exponente la unidad (1) ya que 3/3 es igual a uno, y
de acuerdo con esto el valor numérico es 33/3 = 31 = 3 .
 La última representación indica que el treinta y tres lo vamos a dividir entre el tres
resultando un valor numérico de
33
 11 .
3
De lo anterior se concluye que el valor numérico menor es 33/3 y el mayor es 333.
De acuerdo con el valor numérico de las representaciones anteriores, se pueden ordenar las
cantidades de tres números iguales de menor a mayor, quedando de la forma:
33/3 ,
33
, 333 , 333 , 333.
3
B) Método de Gauss. Para sumas de series de números.
EJEMPLO
* Sumar los primeros 20 números naturales pares por medio del método de Gauss.
La serie, es:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40
=
Se realiza la suma de cada par formado con los extremos de la serie: el primero con el último,
el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, etc.
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
La suma de cada par de extremos da 42 , y como la serie se compone de 20 elementos,
entonces se realizan 10 sumas; por lo tanto la suma de los primeros 20 números naturales
pares, es el resultado del producto de la suma de los extremos por el número de sumas
realizadas:
42 x 10 = 420
C) Multiplicación por duplicación egipcia.
EJEMPLO
* Obtener el resultado de la multiplicación 16 x 12, por medio del método de duplicación
egipcia.
 Se coloca la unidad (1) y se empieza a duplicar sucesivamente, hasta llegar a un número
menor o igual al factor menor de la multiplicación, que en este caso es 12.
1
2
4
8
 Posteriormente se marcan las cantidades que sumadas den como resultado el valor
del factor menor (12).
1
2
 4
 8
12
 El siguiente paso es duplicar el factor mayor de la multiplicación (16), de manera
correspondiente a la duplicación de la unidad y se marcan las cantidades que son
correspondientes a las que fueron marcadas en la duplicación de dicha unidad.
1
2
 4
 8
12
16
32
 64
 128
 Por último se suman las cantidades que se marcaron en la duplicación del factor mayor,
y esa suma es el resultado de la multiplicación.
64 + 128 = 192
A) Operaciones con racionales
En la adición y sustracción se obtiene el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores
cuando éstos son distintos.
En la división se sustituye el divisor por su recíproco (inverso multiplicativo) para representar la
operación en forma de producto y efectuar la multiplicación de numeradores y denominadores
respectivamente.
Los resultados de este tipo de operaciones se deben reducir a su mínima expresión,
simplificando tanto numerador como denominador.
EJEMPLO
* Resolver,
3
3
3
1

4
2
1
1
6
3
3
1
1 3 5
  =
3 4 6
(Se obtiene el mínimo común múltiplo m.c.m. de
2
los denominadores, descomponiendo cada uno
2
de ellos en sus factores primos y multiplicando
3
dichos factores)
(2)(2)(3) = (2)2(3) = 12 m.c.m
14 33 52


34 43 62
(Como el
m.c.m. de
los
denominadores
es 12, entonces se
convierten las fracciones a otras equivalentes con denominador
12 multiplicando tanto numerador como denominador por un número
que de como resultado 12 en dicho denominador)
=
4
9 10


12 12 12
=
4  9  10
12
(Se representa la operación de los numeradores con un solo denominador)
=
3
1

12 4
(Se efectúa la operación de los numeradores y se simplifica el resultado)
(Se representa la operación con el común denominador que es 12)
2 1
3
Resolver     =

3
5
2
 2 1
Se efectúa la operación que está en el interior del paréntesis;    
3 5

3
1
1
5
5
1
3
5
(Se obtiene el m.c.m. de los denominadores)
(3)(5) = 15 m.c.m.
=
2(5) 1(3)

3(5) 5(3)
=
10 3

15 15
(Se representa la operación con el común denominador que es 15)
=
13
15
(Se suman los numeradores y se obtiene el resultado)
(Se convierten las fracciones a otras equivalentes con denominador 15)
Se efectúa la operación final, sustituyendo el resultado anterior en el interior del paréntesis
 13  3
de la operación original:    
 15  2
15 2 2
15 1 3
(Se obtiene el m.c.m. de los denominadores)
5 1 5
1 1 (2)(3)(5) = 30 m.c.m
-
=
13(2) 3(15)

15(2) 2(15)
=
26 45

30 30
= 
=
(Se representa la operación con el común denominador que es 30)
19
30
* Resolver
 2   1 
  
 15   4 
(Se suman los numeradores y se obtiene el resultado)
 2   1  1 
    
 3  5   4 
(Como es una multiplicación de fracciones, entonces se multiplica numerador
por numerador y denominador por denominador, aplicando ley de signos)
2
=
60
=
=
(Se vuelve a realizar el paso anterior )
1
30
* Resolver
(Se convierten las fracciones a otras equivalentes con denominador 30)
(Se simplifica el resultado)
 2 1 4
   
 5 2 5
 2  2 4
   
 5  1 5
(Como es una división de fracciones, entonces se sustituye el divisor
por su recíproco en la división del interior del paréntesis)
=
 4 4
 
 5 5
(Se realiza el producto)
=
 4   5
  
 5  4 
(Se sustituye el divisor por su recíproco)
=
20
1
20
(Se realiza el producto y se simplifica el resultado)
1 
1  3 
 4 
* Resolver
 1  6 1 2 
  
 4  2 2  
= 1  
1

2
2



=
(Se convierte a fracciones equivalentes la suma del interior del
paréntesis)
 1  7 2 
= 1    
 4  2  
(Se realiza la suma del interior del paréntesis)
 1  49  

4  4  
= 1  
(Se desarrolla la potencia de la fracción ubicada dentro del paréntesis)
 49 
 16 
= 1

=
16 49

16 16
= 
=
(Se obtiene el resultado realizando la sustracción)
=
1
1
1
3
1
4
3
(Se representa la operación mediante fracciones equivalentes)
33
16
* Resolver
=
(Se suprimen paréntesis realizando el producto)

1

1
1
3

1
7
3
3
3

4
7
1
1
2
3
1
1
2
 3
2 
 2
=
Se realizan las operaciones de abajo hacia arriba, 2 3   6  3
 2 2
(Se realizan las operaciones, 2  1  6  1  7
3 3 3 3
y
1
(Se realiza la división en cada fracción, efectuando producto de
1
1
3
3
extremos entre producto de medios 1 
y 1  )
4 4
7 7
3
3
=
21
12

28
28
1 3 1 4
  
3 3 3 3
(Se convierten las dos fracciones a otras equivalentes)
=
9
( Se obtiene el resultado final realizando la sustracción de los
28
numeradores)