La balanza Plan de clase (1/5) Escuela: ________________________________________________ Fecha: ____________ Profr. (a):__________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SNyPA Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen el método de la balanza de equilibrio para resolver ecuaciones en las que se desconoce el mismo valor en ambos miembros de la igualdad. Consigna. En equipo, resuelvan los siguientes problemas. 1. La siguiente balanza está en equilibrio, pero no se sabe cuánto pesan los botes, aunque se sabe que pesan lo mismo. 3 kg 5 kg 3 kg 5 kg 5 kg a. ¿Cuáles de las siguientes acciones mantienen en equilibrio a la balanza? a) b) c) d) e) f) Pasar 3 kg del platillo izquierdo al platillo derecho. Añadir 4 kg a cada platillo. Quitar 5 kg a cada platillo. Poner un bote en el platillo derecho y una pesa de 5 kg del lado derecho. Quitar dos botes del platillo izquierdo y un bote del derecho. Quitar un bote de cada platillo. b. ¿Cuál es el peso de cada bote? _________________________________________ a) 2. Esta balanza está en equilibrio y los ladrillos que en ella aparecen pesan lo mismo. Escriban una ecuación que modele esta situación.____________________________ b) Calculen cuánto pesa un ladrillo. _________________________________________ 22.5 kg 5 kg Consideraciones previas: Este es el método conocido como método de la balanza para resolver ecuaciones lineales de una incógnita. Es probable que los alumnos ya lo hayan usado en primer grado. Sin embargo, en segundo grado se comienza a resolver ecuaciones de la forma ax + b = cx + d (ecuaciones en las que la incógnita aparece en ambos lados de la igualdad), pues en primero se estudiaron ecuaciones de la forma ax + b = d (en las que la incógnita aparece sólo de un lado de la igualdad). Para este método es muy importante enfatizar la analogía que hay entre conservar el equilibrio de la balanza y conservar la igualdad en la ecuación. Hay que establecer la relación entre las acciones que se realizan en la balanza (conservando el equilibrio) y las acciones que se realizan en las ecuaciones (conservando la igualdad de la ecuación). Para responder la primera pregunta del primer problema, se proponen acciones que tienen la finalidad de identificar las que sí permiten conservar el equilibrio y aquellas que no. Para responder la segunda pregunta es posible que aparezcan distintos procedimientos en el grupo; por ejemplo, se puede quitar pesas hasta “aislar” un bote del lado izquierdo de la balanza, conservando siempre el equilibrio. Otra manera de resolverlo, puede ser comparar las distintas pesas que hay en cada lado: en el disco izquierdo hay dos botes, una pesa de 5kg y una pesa de 3kg; en el disco derecho hay un bote, dos pesas de 5kg y una pesa de 3kg. Al comparar pesa por pesa (esta comparación puede ser gráfica), un bote del lado izquierdo debe corresponder a una pesa de 5kg del lado derecho, para mantener el equilibrio. Si en el grupo no hay equipos que escriban la expresión algebraica que modela la ecuación, se recomienda explicar que este problema puede expresarse mediante la siguiente ecuación: 2x + 5 kg + 3 kg = x + 5 kg + 5 kg + 3 kg Y solucionarla con ayuda del método de la balanza. En la discusión grupal es muy importante verificar que los procedimientos conserven la igualdad. Para el segundo problema se recomienda recurrir a la balanza con el fin de aclarar lo que representa la ecuación y lo que significan los pasos de solución. En ambos problemas es importante la validación del resultado que obtengan, es decir, que se compruebe que se cumple la igualdad; por ello, si los alumnos recurren al uso de la calculadora no se deberá limitarlos. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre En busca del valor Plan de clase (2/5) Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________ Profr.(a):___________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intenciones didácticas: Que los alumnos sistematicen y ejerciten la aplicación del método de la balanza para la solución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d. Consigna. En equipos, analicen la siguiente situación y encuentren el valor de x. x x x x x x x x x x x Ecuación: 7 x 1 4 x 16 x x x x x x x x Ecuación 7x –__ + 1 – __ = 4x –__ + 16 – __ x x x x x x x x x x x x x x Ecuación: Ecuación: x x x _____________ Discutan en grupo sus procedimientos. 2. Resuelvan las siguientes ecuaciones mediante el método de la balanza. 4x + 3 = 2x + 5 3x + 6 = 4x + 5 1 x+8=x+2 3 30x + 125 = 80x + 50 x + 4 = 5x + 2 Consideraciones previas: Esta consigna tiene la finalidad de sistematizar las acciones que se realizan para solucionar ecuaciones conservando la igualdad (o el equilibrio), utilizando el método de la balanza: se trata de conservar la igualdad mediante la realización de las mismas acciones (operaciones) en ambos miembros de la igualdad. Es importante señalar que, el problema pretende abstraer las acciones y los objetos que se operan al resolver ecuaciones, pues sólo hay números y letras. Con ayuda de esta representación hay que pedir que los alumnos expliquen cómo se pasa de una ecuación a otra hasta llegar a su solución. En la resolución de las ecuaciones de la segunda parte, se puede seguir utilizando el método de la balanza para aclarar las dudas posibles. Sin embargo, se recomienda desprenderse poco a poco de esta representación y trabajar directamente con las ecuaciones, enfatizando el uso de las mismas acciones en ambos lados de la igualdad para conservarla. Por ejemplo, la ecuación 30x + 125 = 80x + 50 presenta números que hacen no-eficiente la representación gráfica. Quizás se presenten algunas dificultades con el coeficiente fraccionario de la ecuación 1 x+8=x+2. En este caso, se recomienda utilizar una balanza para dar sentido a las acciones 3 y dar solución a la ecuación. Se pueden proponer variaciones a estas ecuaciones, aumentando el rango y cambiando el tipo de números involucrados. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre Aplica lo que sabes Plan de clase (3/5) Escuela: _________________________________________________ Fecha: ___________ Profesor (a):___________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita, de la forma: ax + b = cx + d con coeficientes enteros, fraccionarios y decimales positivos y negativos. Consigna 1: En equipos, planteen una ecuación para resolver cada uno de los siguientes problemas. 1. Pienso un número; si lo multiplico por 5 y al resultado le resto 3, obtengo lo mismo que si al número que pensé le sumo 9. ¿Qué número es? ________________________________ 2. Pienso un número; si lo divido entre 2 y al resultado le resto 5, obtengo lo mismo que si al número le resto 20. ¿Qué número es? _______________________________ 3. Pienso un número; si lo multiplico por −2 y al resultado le sumo 7, obtengo lo mismo que si multiplico el mismo número por 2 y al resultado le resto 21. ¿Qué número es? ________________________ Consigna 2: En equipos, resuelvan las siguientes ecuaciones. 1) 5x – 7 = 13 – 7x 2) 23 – x = 2x – 1 3) 1.5x + 13 = 2.4x + 4 4) x – 10 = x +2 4 Consideraciones previas: Los problemas que se trabajan en las consignas no pueden representarse directamente mediante una balanza, pues involucran restas y números negativos. Después de que los estudiantes se enfrenten a esta dificultad es importante dar un espacio para que recurran a “métodos personales” para tratar de resolverlos. Un ejemplo de estos métodos puede ser el “ensayo y error”. En la discusión grupal, después de la revisión de las ecuaciones y de los procedimientos que se hayan presentado, es importante presentar la solución de las ecuaciones mediante el método de la balanza, que consiste en conservar la igualdad mediante el uso de las mismas acciones (operaciones) en ambos miembros. Por ejemplo, la ecuación que corresponde al problema (1) es 5x – 3 = x + 9, y su solución mediante el método de la balanza es: 5x – 3 = x + 9 5x – 3 + 3 = x + 9 + 3 Se suma 3 en ambos miembros 5x = x + 12 5x – x = x – x + 12 Se resta x en ambos miembros 4x = 12 4x 4 = 12 4 Se divide entre 4 en ambos miembros x=3 Las ecuaciones propuestas sólo son algunos ejemplos de muchos otros que se pueden plantear. Se recomienda que se revise grupalmente su solución. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre ¿Y si hay paréntesis? Plan de clase (4/5) Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________ Profesor (a):___________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con paréntesis. Consigna. En equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. Considerando que las siguientes figuras tienen el mismo perímetro, ¿cuál es el valor de x? _____________________________________________________ x 8 8 6 x 3 1 de la de su hermano, y dentro de 4 años tendrá de la 8 2 que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es la edad actual del hermano? ___________ 2. La edad actual de José es Consideraciones previas: Con la consigna se pretende estudiar maneras de resolver ecuaciones con paréntesis, como 2(x + 6) = 16 + x. Para ello, se puede recurrir a las propiedades de equivalencia de expresiones algebraicas (Plan 8.2.3) y de la jerarquía de operaciones (Plan 8.3.1) y así simplificar las ecuaciones. Sin embargo, también se recomienda recuperar los referentes dados por el contexto de los problemas. Por ejemplo, para el primer problema, se pueden dar las siguientes formulaciones: x+x+6+6=8+8+x 2x + 12 = 16 + x 2(x + 6) = 16 + x Las dos primeras formulaciones, se pueden resolver directamente mediante el método de la balanza. Para la última es conveniente simplificar primero la ecuación. Esta simplificación se puede dar a través de la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma, simplificando la ecuación 2(x + 6) = 16 + x en la ecuación 2x + 12 = 16 + x. Pero, además de la aplicación de esta propiedad “abstracta”, se recomienda dar sentido a la simplificación mediante la referencia al contexto y a las figuras del problema. En la resolución del segundo problema es probable que se presenten dificultades para plantear la ecuación correspondiente. Una estrategia que puede ser viable, es pedir a los alumnos que organicen los datos y las relaciones del problema de la siguiente manera: Hermano de José Edad actual Dentro de 4 años x x+4 José 3 x 8 3 x+4 8 Además, dentro de 4 años la mitad de la edad del hermano de José será igual a la que tenga José. 1 3 Entonces la ecuación es: (x + 4) = x + 4. 2 8 Esta ecuación tiene coeficientes fraccionarios, de manera que es una oportunidad para que los alumnos usen este conocimiento. Finalmente, otros ejercicios que pueden seguir aportando a la resolución de este tipo de ecuaciones, son los siguientes: 59(z - 6) = 4(z + 4) 5(r + 6) = -5(r - 4) 5 3 1 x x = ( 4 - x) ( x - 6) = 2 2 3 9 Además de la aplicación de la propiedad distributiva, es conveniente presentar, entre las acciones posibles para resolver las últimas cuatro ecuaciones, el dividir o multiplicar por un mismo número de ambos miembros de la igualdad. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre Uso de las propiedades Plan de clase (5/5) Escuela: _______________________________________________ Fecha: _____________ Profesor (a):__________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intención didáctica: Que los alumnos resuelvan problemas, mediante el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado. Consigna. En equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. Un avión que vuela a una velocidad de 1 040 kilómetros por hora, va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 5 horas y está volando a 640 kilómetros por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo? _______________________________ 2. La edad de Diofanto. Diofanto fue un matemático griego que nació en la ciudad de Alejandría alrededor del siglo III d. C. Gracias al siguiente epitafio, redactado en forma de problema y conservado en los libros de matemática, se conoce algo más de su vida. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad. Contesten: ¿cuántos años vivió Diofanto? _______________________________________ Consideraciones previas: Es probable que aparezcan procedimientos como el de “ensayo y error” para resolver estos problemas. Si aparecen, es importante reconocerlos como válidos y se recomienda aprovechar para comparar su eficiencia con métodos como el de la balanza. Entre las dificultades que pueden aparecer está el planteamiento de las ecuaciones correspondientes. Para el primer problema puede haber varias formulaciones, entre ellas las siguientes dos. Si t es el tiempo que volará el avión que despegó después, entonces el avión que despegó primero ha volado t + 5 horas, pues lleva 5 horas de ventaja. Para alcanzar al primer avión, las distancias recorridas por ambos aviones deben ser las mismas. La distancia que recorre el avión que salió primero es 640(t + 5); la distancia que recorre el segundo es 1040t. Entonces la ecuación es: 640(t + 5) = 1040t La distancia que el primer avión ha recorrido cuando el segundo avión despega es de 3200 km. Para alcanzar al primer avión, las distancias recorridas por ambos aviones deben ser las mismas. Si t es el tiempo que volará el segundo avión para alcanzar al primero, la distancia que recorre será 1040t. La distancia que habrá recorrido el primer avión será entonces 640t + 3200. Entonces la ecuación es: 640t + 3200 = 1040t Una vez planteadas las ecuaciones, se recomienda explicar cómo obtener una a partir de la otra mediante la aplicación de la propiedad distributiva. Para el segundo problema, la ecuación correspondiente es: x x x x + + +5+ +4 = x 6 12 7 2 Se recomienda verificar los pasos de solución en la discusión grupal y resolver las dudas que haya. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15