La balanza Escuela: Profr. (a): Curso:

La balanza
Plan de clase (1/5)
Escuela: ________________________________________________ Fecha: ____________
Profr. (a):__________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: SNyPA
Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de
ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos
miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos
y negativos.
Intenciones didácticas: Que los alumnos usen el método de la balanza de equilibrio para
resolver ecuaciones en las que se desconoce el mismo valor en ambos miembros de la
igualdad.
Consigna. En equipo, resuelvan los siguientes problemas.
1. La siguiente balanza está en equilibrio, pero no se sabe cuánto pesan los botes, aunque
se sabe que pesan lo mismo.
3 kg
5 kg 3 kg
5 kg
5 kg
a. ¿Cuáles de las siguientes acciones mantienen en equilibrio a la balanza?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Pasar 3 kg del platillo izquierdo al platillo derecho.
Añadir 4 kg a cada platillo.
Quitar 5 kg a cada platillo.
Poner un bote en el platillo derecho y una pesa de 5 kg del lado derecho.
Quitar dos botes del platillo izquierdo y un bote del derecho.
Quitar un bote de cada platillo.
b. ¿Cuál es el peso de cada bote? _________________________________________
a) 2. Esta balanza está en equilibrio y los ladrillos que en ella aparecen pesan lo mismo.
Escriban una ecuación que modele esta situación.____________________________
b) Calculen cuánto pesa un ladrillo. _________________________________________
22.5 kg
5 kg
Consideraciones previas:
Este es el método conocido como método de la balanza para resolver ecuaciones lineales de
una incógnita. Es probable que los alumnos ya lo hayan usado en primer grado. Sin
embargo, en segundo grado se comienza a resolver ecuaciones de la forma ax + b = cx + d
(ecuaciones en las que la incógnita aparece en ambos lados de la igualdad), pues en primero
se estudiaron ecuaciones de la forma ax + b = d (en las que la incógnita aparece sólo de un
lado de la igualdad).
Para este método es muy importante enfatizar la analogía que hay entre conservar el
equilibrio de la balanza y conservar la igualdad en la ecuación. Hay que establecer la relación
entre las acciones que se realizan en la balanza (conservando el equilibrio) y las acciones
que se realizan en las ecuaciones (conservando la igualdad de la ecuación).
Para responder la primera pregunta del primer problema, se proponen acciones que tienen la
finalidad de identificar las que sí permiten conservar el equilibrio y aquellas que no.
Para responder la segunda pregunta es posible que aparezcan distintos procedimientos en el
grupo; por ejemplo, se puede quitar pesas hasta “aislar” un bote del lado izquierdo de la
balanza, conservando siempre el equilibrio. Otra manera de resolverlo, puede ser comparar
las distintas pesas que hay en cada lado: en el disco izquierdo hay dos botes, una pesa de
5kg y una pesa de 3kg; en el disco derecho hay un bote, dos pesas de 5kg y una pesa de
3kg. Al comparar pesa por pesa (esta comparación puede ser gráfica), un bote del lado
izquierdo debe corresponder a una pesa de 5kg del lado derecho, para mantener el
equilibrio.
Si en el grupo no hay equipos que escriban la expresión algebraica que modela la ecuación,
se recomienda explicar que este problema puede expresarse mediante la siguiente ecuación:
2x + 5 kg + 3 kg = x + 5 kg + 5 kg + 3 kg
Y solucionarla con ayuda del método de la balanza. En la discusión grupal es muy importante
verificar que los procedimientos conserven la igualdad.
Para el segundo problema se recomienda recurrir a la balanza con el fin de aclarar lo que
representa la ecuación y lo que significan los pasos de solución.
En ambos problemas es importante la validación del resultado que obtengan, es decir, que
se compruebe que se cumple la igualdad; por ello, si los alumnos recurren al uso de la
calculadora no se deberá limitarlos.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
En busca del valor
Plan de clase (2/5)
Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________
Profr.(a):___________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de
ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos
miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos
y negativos.
Intenciones didácticas: Que los alumnos sistematicen y ejerciten la aplicación del método
de la balanza para la solución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d.
Consigna. En equipos, analicen la siguiente situación y encuentren el valor de x.
x x x
x x
x x x x
x x
Ecuación: 7 x  1  4 x  16
x
x
x x
x x x x
Ecuación 7x –__ + 1 – __ = 4x –__ + 16 – __
x
x x
x
x
x x
x x x x
x
x x
Ecuación:
Ecuación:
x x x
_____________
Discutan en grupo sus procedimientos.
2. Resuelvan las siguientes ecuaciones mediante el método de la balanza.
4x + 3 = 2x + 5
3x + 6 = 4x + 5
1
x+8=x+2
3
30x + 125 = 80x + 50
x + 4 = 5x + 2
Consideraciones previas:
Esta consigna tiene la finalidad de sistematizar las acciones que se realizan para solucionar
ecuaciones conservando la igualdad (o el equilibrio), utilizando el método de la balanza: se
trata de conservar la igualdad mediante la realización de las mismas acciones (operaciones)
en ambos miembros de la igualdad.
Es importante señalar que, el problema pretende abstraer las acciones y los objetos que se
operan al resolver ecuaciones, pues sólo hay números y letras. Con ayuda de esta
representación hay que pedir que los alumnos expliquen cómo se pasa de una ecuación a
otra hasta llegar a su solución.
En la resolución de las ecuaciones de la segunda parte, se puede seguir utilizando el método
de la balanza para aclarar las dudas posibles. Sin embargo, se recomienda desprenderse
poco a poco de esta representación y trabajar directamente con las ecuaciones, enfatizando
el uso de las mismas acciones en ambos lados de la igualdad para conservarla. Por ejemplo,
la ecuación 30x + 125 = 80x + 50 presenta números que hacen no-eficiente la representación
gráfica.
Quizás se presenten algunas dificultades con el coeficiente fraccionario de la ecuación
1
x+8=x+2. En este caso, se recomienda utilizar una balanza para dar sentido a las acciones
3
y dar solución a la ecuación. Se pueden proponer variaciones a estas ecuaciones,
aumentando el rango y cambiando el tipo de números involucrados.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Aplica lo que sabes
Plan de clase (3/5)
Escuela: _________________________________________________ Fecha: ___________
Profesor (a):___________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de
ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos
miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos
y negativos.
Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas con ecuaciones de primer
grado con una incógnita, de la forma: ax + b = cx + d con coeficientes enteros, fraccionarios y
decimales positivos y negativos.
Consigna 1: En equipos, planteen una ecuación para resolver cada uno de los siguientes
problemas.
1. Pienso un número; si lo multiplico por 5 y al resultado le resto 3, obtengo lo mismo que
si
al
número
que
pensé
le
sumo
9.
¿Qué
número
es?
________________________________
2. Pienso un número; si lo divido entre 2 y al resultado le resto 5, obtengo lo mismo que
si al número le resto 20. ¿Qué número es? _______________________________
3. Pienso un número; si lo multiplico por −2 y al resultado le sumo 7, obtengo lo mismo
que si multiplico el mismo número por 2 y al resultado le resto 21. ¿Qué número es?
________________________
Consigna 2: En equipos, resuelvan las siguientes ecuaciones.
1) 5x – 7 = 13 – 7x
2) 23 – x = 2x – 1
3) 1.5x + 13 = 2.4x + 4
4) x – 10 =
x
+2
4
Consideraciones previas:
Los problemas que se trabajan en las consignas no pueden representarse directamente
mediante una balanza, pues involucran restas y números negativos. Después de que los
estudiantes se enfrenten a esta dificultad es importante dar un espacio para que recurran a
“métodos personales” para tratar de resolverlos. Un ejemplo de estos métodos puede ser el
“ensayo y error”.
En la discusión grupal, después de la revisión de las ecuaciones y de los procedimientos que
se hayan presentado, es importante presentar la solución de las ecuaciones mediante el
método de la balanza, que consiste en conservar la igualdad mediante el uso de las mismas
acciones (operaciones) en ambos miembros.
Por ejemplo, la ecuación que corresponde al problema (1) es 5x – 3 = x + 9, y su solución
mediante el método de la balanza es:
5x – 3 = x + 9
5x – 3 + 3 = x + 9 + 3
Se suma 3 en ambos miembros
5x = x + 12
5x – x = x – x + 12
Se resta x en ambos miembros
4x = 12
4x  4 = 12  4
Se divide entre 4 en ambos miembros
x=3
Las ecuaciones propuestas sólo son algunos ejemplos de muchos otros que se pueden
plantear. Se recomienda que se revise grupalmente su solución.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
¿Y si hay paréntesis?
Plan de clase (4/5)
Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________
Profesor (a):___________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de
ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos
miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos
y negativos.
Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas, a través del planteamiento y
resolución de ecuaciones de primer grado con paréntesis.
Consigna. En equipos resuelvan los siguientes problemas.
1. Considerando que las siguientes figuras tienen el mismo perímetro, ¿cuál es el valor
de x? _____________________________________________________
x
8
8
6
x
3
1
de la de su hermano, y dentro de 4 años tendrá
de la
8
2
que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es la edad actual del hermano? ___________
2. La edad actual de José es
Consideraciones previas:
Con la consigna se pretende estudiar maneras de resolver ecuaciones con paréntesis, como
2(x + 6) = 16 + x. Para ello, se puede recurrir a las propiedades de equivalencia de
expresiones algebraicas (Plan 8.2.3) y de la jerarquía de operaciones (Plan 8.3.1) y así
simplificar las ecuaciones. Sin embargo, también se recomienda recuperar los referentes
dados por el contexto de los problemas.
Por ejemplo, para el primer problema, se pueden dar las siguientes formulaciones:
x+x+6+6=8+8+x
2x + 12 = 16 + x
2(x + 6) = 16 + x
Las dos primeras formulaciones, se pueden resolver directamente mediante el método de la
balanza. Para la última es conveniente simplificar primero la ecuación. Esta simplificación se
puede dar a través de la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la
suma, simplificando la ecuación 2(x + 6) = 16 + x en la ecuación 2x + 12 = 16 + x. Pero,
además de la aplicación de esta propiedad “abstracta”, se recomienda dar sentido a la
simplificación mediante la referencia al contexto y a las figuras del problema.
En la resolución del segundo problema es probable que se presenten dificultades para
plantear la ecuación correspondiente. Una estrategia que puede ser viable, es pedir a los
alumnos que organicen los datos y las relaciones del problema de la siguiente manera:
Hermano de José
Edad actual
Dentro de 4 años
x
x+4
José
3
x
8
3
x+4
8
Además, dentro de 4 años la mitad de la edad del hermano de José será igual a la que tenga
José.
1
3
Entonces la ecuación es:
(x + 4) = x + 4.
2
8
Esta ecuación tiene coeficientes fraccionarios, de manera que es una oportunidad para que
los alumnos usen este conocimiento.
Finalmente, otros ejercicios que pueden seguir aportando a la resolución de este tipo de
ecuaciones, son los siguientes:
59(z - 6) = 4(z + 4)
5(r + 6) = -5(r - 4)
5
3
1
x
x = ( 4 - x)
( x - 6) =
2
2
3
9
Además de la aplicación de la propiedad distributiva, es conveniente presentar, entre las
acciones posibles para resolver las últimas cuatro ecuaciones, el dividir o multiplicar por un
mismo número de ambos miembros de la igualdad.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Uso de las propiedades
Plan de clase (5/5)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: _____________
Profesor (a):__________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de
ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos
miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos
y negativos.
Intención didáctica: Que los alumnos resuelvan problemas, mediante el planteamiento y
resolución de ecuaciones de primer grado.
Consigna. En equipos resuelvan los siguientes problemas.
1.
Un avión que vuela a una velocidad de 1 040 kilómetros por hora, va a alcanzar a otro
que lleva una delantera de 5 horas y está volando a 640 kilómetros por hora. ¿Cuánto
tardará el primer avión en alcanzar al segundo? _______________________________
2.
La edad de Diofanto. Diofanto fue un matemático griego que nació en la ciudad de
Alejandría alrededor del siglo III d. C. Gracias al siguiente epitafio, redactado en forma
de problema y conservado en los libros de matemática, se conoce algo más de su vida.
Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla
se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar
esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad
de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que
sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.
Contesten: ¿cuántos años vivió Diofanto? _______________________________________
Consideraciones previas:
Es probable que aparezcan procedimientos como el de “ensayo y error” para resolver estos
problemas. Si aparecen, es importante reconocerlos como válidos y se recomienda
aprovechar para comparar su eficiencia con métodos como el de la balanza.
Entre las dificultades que pueden aparecer está el planteamiento de las ecuaciones
correspondientes.
Para el primer problema puede haber varias formulaciones, entre ellas las siguientes dos.

Si t es el tiempo que volará el avión que despegó después, entonces el avión que
despegó primero ha volado t + 5 horas, pues lleva 5 horas de ventaja. Para alcanzar al
primer avión, las distancias recorridas por ambos aviones deben ser las mismas. La
distancia que recorre el avión que salió primero es 640(t + 5); la distancia que recorre el
segundo es 1040t. Entonces la ecuación es:
640(t + 5) = 1040t

La distancia que el primer avión ha recorrido cuando el segundo avión despega es de
3200 km. Para alcanzar al primer avión, las distancias recorridas por ambos aviones
deben ser las mismas. Si t es el tiempo que volará el segundo avión para alcanzar al
primero, la distancia que recorre será 1040t. La distancia que habrá recorrido el primer
avión será entonces 640t + 3200. Entonces la ecuación es:
640t + 3200 = 1040t
Una vez planteadas las ecuaciones, se recomienda explicar cómo obtener una a partir de la
otra mediante la aplicación de la propiedad distributiva.
Para el segundo problema, la ecuación correspondiente es:
x x x
x
+ + +5+ +4 = x
6 12 7
2
Se recomienda verificar los pasos de solución en la discusión grupal y resolver las dudas que
haya.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
14/15