EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Broitm man, Claudia (2000), “Reflexiones en torno a la enseña anza del esspacio”, en 0 a 5. La educación n en los primeros añ ños, año III, núm. 22 2, marzo, Buenos B Airres, Edicio ones Noved dades Educcativas, pp. 24-41. 1 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO R Reflexio nes en torno a la ens señanzza del espacio En es ste trabajo o, Claudia Broitman señala allgunos pro oblemas y confusion nes sobre e la enseña anza del es spacio en el e Nivel Inic cial. En primer lugar, distingue los intenttos de abo ordar en la escuela ell estudio de la noción n operatoriia de espa acio de! trratamiento didáctico de problem mas espac ciales, lueg go analiza críticamente cierta as ideas vigentes v s sobre la enseñanza a de las relaciones s espacia ales ("concreto - gráfico - abstrracto"; "vivencia - rep presentació ón", etc.) y diferencia un abord daje motriz z de uno matemátic co. Por últtimo~ pres senta el an nálisis de un trabajjo realizad do en una sala s de 5 años a sobre e la constrrucción de un plano y el proce eso de reellaboración del mismo o. La en nseñanza del d espacio o en la esc cuela: ¿noc ción de esp pacio? - ¿Se ven las pata as de la silla a desde arrib ba, Florencia a? -. No, pero si no la a silla se cae e. En el Nivel Inicia al se suele reconocer r e trabajo so el obre las rela aciones esp paciales como s abordad do. Sin emb bargo, este acuerdo so obre la impo ortancia de e su un contenido a ser de tratam miento deja a de ser tal t cuando o se analizzan las diferentes propuestas p enseñ ñanza. Ya ha ha a sido muy y discutido y difundido o que en la a enseñanzza de la matemática m habido una im mportante confusión entre lass estructuras lógico o-matemáticcas a epistemología y la pssicología ge enéticas y lo os contenid dos y objetivvos estudiadas por la 1 de la enseñanza a. 0, 1994) ana aliza los efe ectos de diccha confusió ón en la ensseñanza de e la Jean Brun (1980 matem mática. Des staca cómo o la psicolog gía genética a influyó sobre la ense eñanza a pa artir de cie ertos malen ntendidos orriginados en las relaciones entre las nocione es estudiad das por Piaget y la enseñanza de d la matem mática. Los resultados r de dicha confusión c han sido suficientem s mente analizzados: se ha produ ucido un desdibujamiento del ro ol docente e como enseñante all considera arlo agentte de la ace eleración de el desarrolllo, se confu undió el mé étodo clínicco crítico de e la psicollogía genéttica con las estrategiass de enseñanza, hubo o una cierta a reducción de conoccimientos matemáticos m s a ser ensseñados al reemplazarrse éstos por p nociones a 2 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO abord dar; se alterró, incluso, el fin sociall de la escu uela, dejand do de considerarse como el lug gar para la a comunica ación, difussión y dem mocratizació ón de una selección de conoccimientos socialmente s e relevante es para instalar la expectativa de d acelerarr el desarrrollo. En el Nivel Inicia al, la persisstencia de la l confusión entre las nociones operatorias o sy los contenidos c (tanto pa ara el ca ampo num mérico com mo para el e espacia al), apare entemente ha h sido mayyor que el re esto de los niveles. Ta al vez la men nor demand da sociall al mismo sobre s la en nseñanza de e conocimie entos, los supuestos s a acerca de lo os contenidos abord dables por la edad de e los alumno os, las dive ersas funcio ones sociale es adjudicadas al nivel, n la fuerrte difusión n de las ideas de las corrientes c d la Escue de ela Nueva a, fuerteme ente entrela azadas con n las ideass estructura alistas en los discurso os pedag gógicos de formación de docente es del nivel, y otros facctores, han contribuido oa dar co onsistencia a y relevancia a propu uestas derivadas de ciertas inte erpretacione es educa ativas de la obra piage etiana. El ap plicacionism mo de la psiccología gen nética a la enseñanza, e en el caso de la noció ón de esspacio, ha tenido t como o efecto -co omo ha succedido con la noción de número- la identificación de e dicha nocción como finalidad f de e la enseña anza o com mo contenido o. Es frrecuente encontrar, e en docum mentos currriculares, en e publicaciones parra docentes y en libros de texxto para niños del Jard dín o de los primeros grados g de la as última as décadas s, la expressión "la construcción de la noción n de espacio o" propuestta como o fin o como o objeto de trabajo. Hoy aún a muchas de estas ideas sigue en persistiendo y difundiéndose, sin s embargo o, han también t circ culado, en los últimoss años, num merosas pro opuestas de e enseñanzza del campo c num mérico dirigidas a insta a· lar su ab bordaje en el nivel, a partir de un u análissis crítico de d la noción de activid dades dirigidas al dessarrollo de la noción de d núme ero y asumiendo una perspectiva a didáctica.. El trabajo alrededor de las situa acione es problemáticas, el conocimien c nto de la serie s numé érica, las fu unciones del núme ero, su uso social, etc., e han transformad t do el pano orama dessde aquello os momentos en lo os que se proponía un u trabajo sobre las nociones allí a llamada as “pre-n numéricas””. Sin embargo, e no n ha ocurrrido del mismo modo o para el abordaje a de e lo espaccial. Quara anta (1998)) señala que la persisttencia de esstas con· fu usiones en el Nivel Iniccial es má ás fuerte en n la enseña anza del esp pacio que en e lo referen nte al camp po numérico o, y sostie ene que este fenómen no tal vez se s deba a la a escasa in nvestigación n en didácttica sobre e su enseña anza. 3 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO A pessar de dich ha área de vacancia en e la invesstigación, creemos que es posib ble repen nsar su ens señanza a la luz del an nálisis críticco del apliccacionismo, teniendo en e cuentta lo que hemos h apre endido en estos e años sobre la enseñanza en el camp po numé érico, toma ando aporttes concep ptuales de la didáctica de la matemática, consiiderando la as enseñan nzas de Pia aget sobre los processos de consstrucción del conoccimiento, partiendo de e los pocos trabajos de e investigacción sobre la geometrría y el espacio, de d ciertos documento os curricula ares y, por qué no, también de d dácticas llevvadas a cab bo en escuelas. experriencias did Intenttaremos ap portar aquí, a partir de aquellas fu uentes, algu unas distincciones e ide eas con el e fin de rev visar alguna as ideas y prácticas p vigentes y te ender otrass para reorg ganizar su enseñanza. nseñanza del d espacio o en la esc cuela: cono ocimientos s y problem mas La en Desde los aporte es de la did dáctica de la a matemáticca nos preg guntamos: ¿qué signiffica conce ebir al espa acio como contenido? c ¿Qué prop puestas didá ácticas en el e aula?, ¿q qué avancces se espe era produciir en los conocimiento os de los niñ ños? Los niños n utiliza an el espaccio y constrruyen un co onjunto de conocimien ntos prácticcos que les permiten dominar sus despla azamientos, construir sistemas de d referenccias (Saiz, 87; Bertthelot y Salin, S 1994 4; Castro, 1999). Esstos conoccimientos son s apren ndidos inde ependientem mente del pasaje p de lo os niños po or la escuela. Se trata de adquisiciones es spontáneass en su procceso de construcción de nocione es espaciale es. n significa a que no ha aya nada por enseñarr en la escu uela, que re enunciemoss a Esto no consid derar como o con· tenid do el tratam miento del espacio. ¿Po or qué? 8erthelot y Sa alin (1994 4) muestran n la gran ca antidad de conocimien ntos espaciiales útiles para resolvver proble emas cuya adquisición n no es espo ontánea y señalan s la importancia a de un trabajo sistem mático para a su adquisición. Insiisten en la a necesidad d de su ab bordaje en la escue ela, citando a Pecheuxx (1990): "N Nos parece que las pe erformance es espacialles son con nsideradass más comoo de ependientes s de aptitud des individu uales, que pueden p serr eventualm mente útiless pa ara ciertos oficios, pe ero de las que se pu uede presciindir fácilm mente. Ni la a en nseñanza elemental, e n el colegio ni o, emprend den la ense eñanza del espacio de e ma anera estru ucturada. (. .. ) En suma, s en la as práctica as escolare es, la siste-ma atización de e los conoccimientos esspaciales es e abandon nada al azarr. " 4 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Y más m adelante, interpretando el orig gen de su ausencia a en n la enseña anza: "C Conocimienttos que corrresponden n a un secto or reconocid do de las matemáticas m s so on más fácilles de legitiimar (. . .) que q conocim mientos esp paciales prá ácticos, porr ne ecesarios que q sean pa ara los alum mnos, com mo los que permiten p la a utilización n co onveniente de d un plano o para ubiccarse en un espacio de esconocido o... " Berthelot y Salin n destacan la minimiza ación de lass dificultade es de adquisición de lo os conoccimientos espaciales. e La mayor parte p de loss alumnos de grados superioress o de ad dultos no dominan d co onvenientem mente la in nterpretació ón de un plano p en un na activid dad de anticipación esspacial. Sin embargo, confían en que se pod drían esperrar otros resultados si el sistem ma de enseñ ñanza se hiciera cargo o de las com mpetenciass y e necesarioss tanto para a las exigencias de la a vida socia al, conoccimientos espaciales como o de los nec cesarios para futuros aprendizaje a es matemáticos. Desde e una pers spectiva did dáctica noss preguntamos por el e campo de problema as espacciales que ciertos c conocimientos permiten resolver. r Se e trata de que q los niño os amplííen el dom minio de lass experienccias espacciales. ¿Qué problema as los niño os apren nderán a resolver a pa artir de las situaciones s s que la esccuela promu ueva? ¿Para cuáles problema as el trata· miento didáctico será á necesario o, ya que no o se trata de d adquisiciones es spontáneass? La escuela e deb be ofrecer a los alum m· nos op portunidade es para ressolver nuevvos probllemas y rea alizar conce eptualizacio ones. Problemas y con nceptualizaciones que e tal vez lo os niños no o se hubiera an plantead do fuera de e la escuela a. os niños pu uedan, entre e otros asp pectos: Se esspera que lo • constrruir un le enguaje para p com municar posicione p es y des-plazam mientos, • tomar concienc cia de los s problem mas ligado os a los cambios c d de punto de vista, • elaborrar y utiliz zar repres sentacion nes sobre e el espac cio físico. 5 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO El espacio, obje eto de estu udio desde e diferente es puntos de d vista: ¿matemátic ¿ ca, omotricidad d, educación física? psico Una pregunta p qu ue suele estar muy presente p en n el trabajo con los do ocentes es la relación entre el abordaje del espacio desde d el pu unto de vista a de otras áreas á y el que se re ealiza desd de la mate emática. ¿L Las misma as actividad des permiten promovver apren ndizajes de las diferen ntes áreas? ? ¿Es nece esario aborrdar primero o actividad des desde e el propio cuerpo c y lu uego aborda ar su repressentación simbólica? s Nos encontramo e os aquí con n otro supu uesto de la enseñanza a: la creenccia de que los niños, para apre ender en la a escuela, deben d atravvesar cierta as etapas que q van de e lo o. Esta idea, muy difu undida para a la concrreto a lo gráfico y dessde éste a lo abstracto enseñ ñanza de la a matemáticca, también n se ha originado a partir del apliccacionismo de los esstudios piag getianos a la l enseñanza escolar y se ha forrtalecido po or las ideas de "activvismo" de la as corriente es pedagóg gicas de la Escuela Nueva N con un importante arraig go en los prrimeros nive eles de ensseñanza. La cre eencia sobrre la necesidad de resspetar en ell aula estass etapas ha a contribuido oa la con nfusión de los aprend dizajes espaciales liga ados a la matemática m con aquelllos ligado os al movimiento o a los desp plazamiento os. El sup puesto orde en produjo la organ nización en etapas en' la enseñan nza: primero o la "vivenccia" del espacio, luego o su repressentación gráfica y finalmente f su abstraccción. Está án aquí pre esentes un nas cuanttas .confus siones que la evolucción del co onocimiento o didáctico permite hoy h analizzar. Resulta necesarrio hacer una distinció ón entre el uso del espacio real (desplazarsse, recorrer lugares, hacer circuitos, etc.) y los aspecctos matem máticos que podrían estar vinculados a cad da una de dichas d situa aciones. d espacio (cuando va de la sala al baño o de su cua arto al de sus s En el uso real del padre es, cuando lanza una a pelota ha acia un aro o, etc.) el niño n no ne ecesariamen nte realizza alguna conceptua alización o toma de d concien ncia de conocimien c tos matem máticos en n juego. De e hecho, lo os conocim mientos vin nculados co on el desp plazamie ento del pro opio cuerpo o en el espa acio están ligados al desarrollo d espontáneo de un su ujeto desde e sus primeros meses de vida. Es decir, no hay ne ecesariamen nte activid dad matem mática en el desplazam miento físico o. 6 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Esto no n significa a que desva aloricemos aquellas prropuestas elabora· e da as desde otras discip plinas en dirección al uso u del cue erpo propio en el espacio físico, como c aquéllas que se s propicia an desde la educació ón física o la psicom motricidad. Simplemente señalamos la necesidad n d distingu de uir su finalidad y desstacar la posibilidad p de propo oner a los niños avan nces, en muchos m cassos indepen ndientes, en e uno u otro o camp po de conoc cimiento. Los problemas matemáticcos relacio onadas con el espacio están ligados a la El representación sobre dich ho espacio. No se trata de los mismos problemas. p desaffío en realizar un cirrcuito involucra destre ezas física as y no ne ecesariamente matem máticas. ¿S Significa essto que no es posible e abordar aspectos a m matemáticos s a partir de un esp pacio real o de una actividad a de e desplaza amiento? No N se trata de artar las pro opuestas de uso del espacio e rea al o de desp plaza· mien ntas efectivvos, desca sino de d preguntarse cuáless son los problemas p q que, en diccha situació ón, involucrran cono·· cimientos ligados a la a matemátiica. Si el problema p planteado p a los alumno os se resuelve exclusivvamente en n el ámbito del d espaccio real (por ejemplo, hacer h el circcuito menciionado), no o está involu ucrado ning gún proble ema matem mático, ni se exige que q el alum mno esté reflexionan ndo sobre las relaciiones espac ciales. Pod dría tratarse e de un prob blema mate emático la comunicac c ión verba al o gráfica de dicho ciircuito, tantto sea la prroducción como c la inte erpretación de instru ucciones, sean éstas verbales, con un sisstema de códigos c o mediante m u una representación gráfica. g ca: relacion nes comple ejas El espacio y la matemátic é relación hay entre los conoccimientos matemático m s y la inte erpretación n o ¿Qué elabo oración de una u represe entación grá áfica o de instruccione es verbaless para lleva ar a cabo un desplaz zamiento?, ¿qué tiene de "matem mático" hace er o interpre etar un pIan no? El trab bajo sobre el espacio o tiene unass "relacione es compleja as" con el conocimien nto matem mático. A diferencia de lo que ocurre co on los cono ocimientos geométrico os, much hos conocim mientos esp paciales no o tienen referente en el conocim miento form malizado o de esta disciplina d y sí lo tienen n en las prrácticas socciales (Bertthelot y Salin, 1994)). Sin embargo, cre eemos que e hay eleme entos del tra atamiento y del trabajo o alrededor del o de activid dad intelecctual que in nvolucran a la espaccio que permiten vinccular el tipo actividad matem mática. ¿De qué aspecctos estamo os hablando o? 7 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Por ejemplo, e en n un proble ema de ela aboración de d un plano hay pressentes ciertas cuestiones "ligad das' a la actividad a m matemática" , como la formalización de cierttos recurssos válidos para repre esentar el tip po de tratam miento que se hace de el problema, el uso de modelos o es· quem mas que tom man en cuen nta sólo la parte p de lo real r pertinen nte al pro oblema (pa ara un prob blema de ubicación u e espacial no o son necesarios ciertos detalles del espa acio real), la a potencia del d conocim miento para la anticipacción, etcéte era. Veam mos este último ú aspe ecto: la an nticipación. Los cono ocimientos matemáticcos permiiten anticip parse a accciones no realizadass todavía, o realizar afirmacion nes válida as acerca de d accioness realizadass en otro esspacio o en n otro tiemp po. Un par de ejemp plos: la ope eración de resta nos pero p mite calcular c un resultado de d una accción aún no n realizada a, o de una a acción que e transcurrre en otro lu ugar o en otro o momen nto. Sabemos cuán· tos alfajores quedará án si hay 8 y alguien come 4, po odemos ten ner certezza del resultado de diccha acción aunque no los coman n realmente, o a pesar de que lo os alfajores s, o quien se s los coma a, estén lejanos en el espacio o en el tiempo. Dicho o poder de anticipación a n de los números (Pre e Diseño GCBA Prime er Ciclo, 199 99) es "co ompartido" por los conocimientoss geométrico os: por ejem mplo, se puede averigu uar la medida de un ángulo de un triángulo o equilátero o sin medirlo o, deducien ndo a partirr de cierta as pro· pied dades de la as figuras. Se puede afirmar, sin medir, que q todos sus s ángulos miden 60°. 6 Los con nocimientoss geométriccos permite en anticiparrse a accion nes no re ealizadas, efectuar deduccione d es en el terreno t inttelectual, sin s recurrirr a realizaciones em mpíricas (Doc. 5 GCBA, 1998). La L validez de d las declaraciones, en geom metría, se apoya a en razonamien r ntos que obedecen o a las regla as del deba ate matem mático (Berrthelot y Sa alin, 1994; Marco M Gral EGB, GCB BA, 1999). Ocurrre del mism mo modo en el conocim miento espa acial: la reprresentación n gráfica de e un espaccio o de un recorrido permite p ubicar objetoss y relaciones en ause encia de diccho in· objeto o. El lengu uaje y las representtaciones espaciales permiten comunicar c forma aciones que e sustituyen la percep pción (Bertteloth y Salin, 1994). Para ir de un lugar conocido a otro conocido (por ejjemplo, parra ir del aulla al baño) no se preccisa de re epresentación gráfica alguna. En E cambio,, hay numerosos pro oblemas cu uya resolu ución no es s posible de esplazándosse. Por ejem mplo, la lecctura de un plano perm mite resolvver problem mas para un espacio o que no es percibido directam mente. O las instru ucciones ve erbales so obre cómo realizar un u circuito permiten comunicarr la activid dad realiza ada a un alumno a que e ha estad do ausente e en el mo omento de su realizzación, sin necesidad n de mostrarrlo efectivam mente, ni de d estar en el lugar físsico donde e se ha des sarrollado la a acción. 8 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Tamb bién en los s conocimie entos espa aciales, aun nque muy ligados a las prácticcas sociales y al esp pacio real, existe e un qu uehacer ma atemático (P PreDiseño GCBA, G 1999). La acctividad mattemática en n los problem mas espaciiales está dada d por la potencia pa ara la ressolución de e problema as que exig gen la anticipación y que no so on resolublles exclusiva· mente e en forma empírica. El tra abajo con el e espacio en e la es· cuela, c desde esta persspectiva, se e ubica en el conju unto de problemas liga ados a la re epresentación, son prroblemas qu ue involucrran algún n grado de análisis o de reflexió ón sobre el espacio re eal y las re elaciones que involu ucran. Un tip po de prob blemas de representac r ción sobre el espacio comprome ete problem mas especcíficos del pasaje p del espacio e trid dimensiona al, sensible, al espacio representa ado bidim mensionalme ente. Las representac r ciones gráficas del esspacio pued den ser objeto de esstudio (esquemas, ma apas, plano os, etc.) y a la vez se er un medio o para pensar sobre e las relacio ones y punttos de vista a en el espa acio. "De esde una perspectiva p a didáctica,, el dibujo o y los pro oblemas prropios de la representación n plana son n un medio ideal para provocar p in ntencionalm mente el iniccio en la l conceptu ualización de d algunos aspectos del d entorno físico... “(C Castro, 1999 9). Una experiencia e a en sala de d 5 años Prese entaremos ciertos c prob blemas surg gidos del tra abajo con una u sala de 5 años2 sob bre la rep presentación gráfica de e un espacio real: el plano p de su aula. Pensa amos en proponerles p s a los alum mnos la pro oducción de un plano o del aula. La finalid dad de la situación -pa ara la persp pectiva de los niños será s la prod ducción de un plano o del aula a modo de e recuerdo de su últim ma sala de e jardín. El trabajo se ería incluid do el último o día de cla ases en suss cuadernoss. Los objetivos o -de esde el pun nto de vista a didáctico- eran que lo os niños: • • • elaboraran un plano como recu urso para co omunicar po osiciones de d los objeto os, ades de differentes tipo os de repre esentacione es del espaccio, compararran propieda reflexiona aran acerca a de los efecctos en la variación v de el punto de vista. La co onsigna que e se daría a los alumn nos sería qu ue dibujara an un plano del aula, y que para ello la a dibujaran vista "desde arriba". Las activid dades prevvistas (para a 2 más de una clas se) eran lass siguientess: 9 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO • • • Producció ón individua al de la prim mera versión del plano o. Análisis y comparaciión de algunas produccciones. Elaboración colectiva de conclusiones para la re ealización de d un nuev vo plano. • Reelaboración individual dell plano. Analiccemos algu unas de las decisioness tomadas: ¿Por qué propon ner una situ uación de producción p de un plan no sin ofrecer primero las mientas con nceptuales para su construcción? ? ¿Por qué no enseñar primero a los herram niños cómo hace erlo y luego o elaborarlo o? La enseñanza clásica en mate emática se ha centra ado en descomponer los conocim mientos y trratar de com municarlos "por partess" y "de lo o simple a lo complejo o", en este e supuesto de su acumulación y organizacción posterior. En el trabajo con n el espacio o se han abordado, por p ejemplo o, desde diccha persp pectiva, propuestas dirrigidas a tra abajar inde ependientem mente unass nociones de otras (arriba-ab bajo; adenttro-afuera; izquierda--derecha) desglosand do pares de conce eptos que están imp plicados en ntre sí en cualquier problema de ubicacción espaccial. Desde la perspe ectiva de la didáctica de la matem mática actua al, pensamo os que dichos conoccimientos, al ser ense eñados aislladamente, están dessprovistos de d significado para los niños y no son fértiles para la resolució ón de prob blemas. Porr el contrarrio, pensa amos que se s trata de promover situacioness más comp plejas, en las que no se intentta garantiza ar de entra ada la homogeneidad de las pro oducciones,, sino que se provo ocan interac cciones enttre los alum mnos y con el objeto en n cuestión para producir avancces a lo larrgo de varia as clases. Consideram mos que la aparición de diferenttes forma as de repre esentación es una bu uena ocasió ón y punto o de partida a para pod der revisa arlas y com mpararlas. ¿Por qué hacerr un mismo o plano una a y otra ve ez? ¿Por qué propone er a los niñ ños ar la propia a producció ón? El obje etivo del tra abajo no erra una evalluación de los revisa conocimientos espaciales e de los niñ ños; por el contrario, fue pensado como una u situacción para aprender. Asumimos tambié én, en ma atemática, la idea de produ ucciones sucesivas, s m sobre las qu ue se disccute que se revisan y mejoran, en colecctivamente. Nos perm mitimos considerar el plano co omo una producción p "borra ador" que precisará p se er revisada a y sobre la que habrá sucesivas versiones. 10 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Sobre el trrabajo en el aula S A pa artir de la consigna a ya menc cionada, los l niños evocan otras o reprresenta aciones grráficas del espacio: globos te erráqueos, mapas, dibujos co on instru ucciones de d armado o, mapas de d rutas, ettc. ("un pla ano parece e un mapa a", "te indica los ca aminos pa ara llegar de d un país al otro", "e es algo que te enseñ ña o armar la as cosas, por p ejemplo un aero ostática", etc.). e Con respecto al cómo punto o de vistta de dichos dibujjos, los chicos c comentan que q "se ve v re-ch hiquito", "desde el cielo", "desd de el espa acio", etcétera. Se re etorna la consigna: c "vamos a hacer el dibujo d del aula imag ginando qu ue somo os muy mu uy chiquito os y estam mos parado os arriba del ventilad dor de tech ho miran ndo el aula a desde ahí". a Esta supuesta ubicación imaginariia del punto de vista traerá varias con nsecuenciias no prev vistas: • dis scusiones acerca de e que se pu ueden mov ver caminando por el e ventilador y entonces e cambian c lo os puntos de vista; • refflexiones acerca a de que corno o el ventila ador está en e movimiento, segú ún desde qué lugar l del ventiladorr se mire para abajjo se verá án o no lo os fre entes de lo os objetos colgados en la pare ed o no. Evide entemente e, la altura a del ventiilador, la posibilidad p d de desplazamientto imaginario sob bre el mismo y su u constan nte movim miento pro odujeron la consideración simultánea de difere entes punttos de vistta. Hoy cre eemos que era sido mejor plante ear un luga ar imagina ario de obs servador "más alto" e hubie "inmó óvil" en el espacio. Es im mportante aclarar qu ue la maes stra informa a a los alu umnos, anttes de hac cer la priimera prod ducción, que realizarán varios s planos su ucesivos, que q "éste va v a se er un borrador, que se va a poder cambiar, arreglar y rehacer". Cons sideramos s que esta aclaració ón a los alumnos es s importante para qu ue se prredisponga an desde un princip pio a la rev visión de la a propia producción p ny no enfaticen lo os detalle es estético os de la obra. o Si as sí no fuerra, les serría proba ablemente e difícil ac ceptar rea alizar una a revisión crítica de el mismo y cons siderarlo un na primera a aproxima ación a un n proceso de produc cción. Tamb bién la doc cente inforrma acerc ca del anállisis colecttivo que se e promoverá a partir de e los difere entes traba ajos. La im mportancia a de dicha aclaración l alumno os puedan n predispo onerse al hecho h de que q reside en que los comp pararán y analizarán a n críticame ente las pro oduccione es propias y ajenas, y que se s establecerán crite erios comu unes para la revisión n. 11 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Por último, ú la maestra m prropone que e dibujen los l mueble es del aula a y no a las perso onas, ya que nos de esplazábam mos constantemente e en el aulla. Aparecen, alrededor de las l primeras produc cciones, los s siguiente es "prob blemas”: • La ubicació ón de los objetos en e el aula:: Los niño os están, en e mucho os casos preo ocupados s por tene er en cuen nta la ubic cación de e los obje-to os, sin em mbargo, le es es muy y costoso volcar es sto en la hoja. h • E El punto de d vista: discuten d a acerca de e si incluir o no cie ertos o objetos, o los detallles del frrente de los • Las proporrciones: su urgen diálo ogos y arrreglos al trratar de te ener en cuenta las proporciones reales s de los objetos en el dibujo. Se produce p un n intercambio espontáneo entrre los alum mnos acerc ca de la prop porción enttre los tam maños de lo os objetos s y de los dibujos d que los representan. Estte diálogo es registra ado con el objetivo de d evocad do en otra clase e, para que sea reto ornado porr todos los alumnos. Diego o mira el aula a y dibujja el pizarrrón muy grrande, cas si en el con ntorno de la l hoja. Fede le dice d a la maestra: "M Me parece que está dibujando d el pizarrón n muy grande" g e inmediata amente a Diego D "no te van a entrar e las cosas, c ¿eh h? Diego o responde: "Las ha ago adentrro del pizarrón" (que e es lo que e luego efecttivamente hace). Acerc ca del pun nto de vista a se produ uce el sigu uiente diálo ogo: Diego o: El reglamento (se e refiere a un texto escrito e en un u papel afiche a colg gado en la a pared de el aula). Tomá ás: No se va a ver. ¡Si es un papel! p Si el e ventilador está giran ndo, depend de de qué lado l estamos mirando o, si miramo os de allá a (señala ando la partte del ventilador más cercana c al reglamento) r ) no lo vamos a ve er. Sob bre el mism mo problema a: 12 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Lauttaro está dibujando d la mesa vis sta desde el frente, es decir dibuja dos de d las patas p de la a mesa. A partir de una u pregun nta que se e le formula a acerca de d cómo o se ven la as patas de d la mesa a desde arrriba, conte esta lo siguiente: Lauta aro: Si la mesa m estuv viera con la as patas para p arriba vería las patas, p pero o as sí como es stá sólo ve eo el tablerro. A partir de estta afirmac ción, hace la segun nda mesa, represen ntando solamentte el rectán ngulo del tablero. t Le e quedan dos d mesas s dibujadas s, una "vis sta desde frente" y la otra "v vista desde- arriba",, como puede obserrvarse en el o. dibujo En estos otros s dibujos aparecen a elementos s represen ntados fro ontalmente e y otros s desde un na vista aérea. En el dibujo de Tomás: el pizarrón (de frente) y las mesas m (de esde arrib ba); en el dibujo de e Marina todos los objetos se s repre esentan de esde el fre ente, excep pto el venttilador. 13 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO 14 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO ¿Por qué solo las mesas y los ventiladores tie enen una representa r ación de un o de vista diferente? ? Tenemos s algunas ideas i al re especto... punto El ve entilador, que q parece e dibujado o desde arrriba, ¿apa arece así porque p en la consigna los chicos debían imagin nar que es staban parados allí arriba a y esto facilittó imaginá árselo desd de dicho punto p de viista, o porq que el ven ntilador visto desd de abajo -d desde don nde ellos efectivame ente lo ve en- es igua al que visto desd de arriba? Tal vez sólo s lo dibu ujaron com mo lo veía an -desde abajo-, y a noso otros nos parece p que e está dibu ujado desd de arriba. En el caso de las mesas, puede se er que sea más senc cillo imagin narlas desd de o punto de e vista que desde ob bjetos más altos, com mo la biblio oteca, o qu ue dicho objettos con muy m poco espesor, e c como un papel. p Tall vez, la altura a de los niños s y su ha abitual inte eracción con c las mesas, m en posicione es de esttar patad das o sen ntados, les s permiten n tener un na represe entación de d la mism ma desd de esa perspectiva. Con respecto al a problem ma de la ub bicación de e los objeto os en la ho oja, Lautarro, luego o de dibuja ar la biblio oteca, toma conciencia de que e la ha ub bicado en un u lugarr que no co orrespond de: Lauta aro (un poco p enojjado mien ntras borrra): La bib blioteca tien ne que ir ahí a (seña alando otrro lugar en n la hoja) y no acá (mo ostrando el e lugar don nde la hab bía dibujado). or qué? -¿Po Lau utaro: Porqu ue ahí está la a biblioteca (señaland ( o la bibliotteca real), ¡está al lado o de la a mesa! (La autaro borrra la biblio oteca y la dibuja d al la ado de la mesa). m En la a segunda a clase se s recuerd da lo realizado anteriormentte y se les propo one a los niños ana alizar algun nas producciones co on vistas a la revisió ón de la a producción y a la a elaborac ción de un u segund do plano. Se invita a comp parar plan nos selecc cionados. ¿Con qu ué criterio o han sido o elegidos s? Tenie endo en cuenta c los aspectos ya mencionados, es e decir, aquéllos a qu ue comparar diferente en pa articular permitirían p es represe entaciones s del mism mo objeto (diferenttes puntos s de vista para dibujjar las mes sas) o apo ortar nuevos problemas (la cuestión de la ubiicación). Se S decide e posterga ar para ottro momento la reflexión acerca de las proporcion p nes de los objetos 15 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO repre esentados con los ob bjetos realles, sin em mbargo, as spectos de el tamaño de d los dibujos son n traídos por p los alu umnos: la relación entre e el tam maño de los dos y la dis stancia de esde la cua al se obse erva. objetos dibujad Con respecto al punto de d vista, comentan c acerca de el dibujo de la puertta del aula, a realiz zado desde e una vista a frontal: Ezequiel: Parra mí que la puerta está á hecha desd de adelante.. Otro o alumno agrega: Lo L que está de ahí (señ ñalando la a mitad) de esde el med dio (haciendo ge esto para abajo) a no se s podría ve er así. Sí, po orque si sub bís hasta allá áy esta amos a diez metros de altura a se veríía más chiqu uita y hay pa artes que no o se verían, se s vería a más chatitto. Con respecto a las dife erentes mesas dibu ujadas es interesante destaca ar que la mayoría a de los alumnos, a f frente a la as dos rep presentacio ones de la as as, acuerd dan en que una corresponde al punto de d vista de e arriba y la mesa otra de frente: • • Si se mira de arriba no o se ven las patas. Si es de muy m arriba no o tiene que tener t las pattas. A pe esar del acuerdo ac cerca de la forma de d represe entación utilizada, u lo os alum mnos cues stionan la a represe entación de d las cuatro peq queñas circ cunfe erencias realizadas r para reprresentar la as patas: • No tiene e redondellitos. • Son las patas. • Sí, ¡pero o no se ve en! Otro aspecto a resaltar es e el come entario de un u alumno o que interrviene para a mosttrar que de esde arriba a puede se er vertical (como pla ano) u oblicuo (como o foto aérea) a y para p ello produce una u expresión origin nal: "arriba a-arriba" y "arrib ba-de costado". • Desde "arrib ba - arriba"" se ven assí (señalan ndo la rep presentació ón de una a mesa), dessde "arriba- de costado"" se ven así (señaland do otra me esa). go del trab bajo colec ctivo, la do ocente prropone rea alizar nue evamente el Lueg plano o, teniendo o en cuentta lo que se s ha conv versado so obre el mismo. 16 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Dos niños dialo ogan mien ntras inicia an la segunda produ ucción: • Hay que fija arse muy bie en en el tama año. • Yo vaya hacer h la me esa, el trab bajo es má ás fácil, so olo tenés que q hacer lo de arriba (refiriéndo ose al acu uerdo esta ablecido lu uego de la a puesta en e común). Mela anie les dic ce a sus co ompañeros s: • Miren bien n lo que ha ay que dibujar. Acá abajo. a (Mu uestra el es stante que e está debajjo de la me esa como tratando de d convenc cer a sus compañero c os de la impo ortancia de e dibujarlo..) Latau uro le conttesta: • ¡¡No, si no o se ve eso o desde arrriba! Algun nos ejemp plos de seg gundas pro oducciones son los siguientes s . Julián n hizo, en este plano o, todos lo os elementtos vistos desde d arrib ba. 17 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Lauta aro adoptó diferenttes punto os de vistta para la as mesas s y para la biblio oteca. Aquí vemos el dibujo de Yamila de e la silla. Para P este dibujo, la niña traba ajó duran nte un larg go rato, co omparando o su produ ucción con n la silla y "peleand do" con los resulta ados que obtenía. En E primer lugar, rea alizó el dib bujo de un na forma a que representaba el asiento de la mism ma (algo similar s a un n cuadrado o). Mienttras lo hac cía, miraba a el asientto desde arriba. a Lue ego decidió ó dibujar los círculos que representan las patas -como su compañerro había he echo para la mesa a-o Sin em mbargo, co ontinuó su u producc ción incluy yendo los caños ve erticale es de la misma, m qu ue unen el e asiento o con el respaldo. r Y dibujó el respa aldo del mismo m mo odo que el asiento, sólo que en éste, a pesar del d mism mo dibujo, el punto de d vista as sumido no o es el mis smo. Desd de arriba ha h dibujado el asiento, desd de el frentte ha dibujado el res spaldo y lo os caños. Le L qued dó la siguie ente silla "desplega " ada" luego o de un ard duo trabajjo en el qu ue parec ció recupe erar, a su modo, asp pectos dis scutidos co olectivame ente. 18 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Los objetivos o de d la activid dad propuesta En muchos caso os, al comparar las primeras p prroduccioness con las últimas ú no se obserrvan cambio os importan ntes. ¿Esto significa qu ue no hubo aprendizajes? Creemos que, más allá de d los resu ultados obsservables en e los planos producidos, fue una po. ¿Por qu ué? situacción rica de trabajo para la mayorría del grup No se e trata exclusivamente e de evalua ar el produccto final y lo os logros obtenidos o en relaciión con el plano, p si bie en se esperra que los alumnos a avvancen en sus s recurso os de producción e interpretacción de los mismos. El aprendiza aje sobre las relacione es stá dado exxclusivame ente por una a incorpora ación de esstrategias de espacciales no es representación del d plano, sino s también por el tipo o de interaccciones que e promueve e, por el caudal de reflexioness que se prroducen en la clase a partir del problema. Ha sido s citada a anteriorm mente la idea acercca de que e los prob blemas de la repre esentación plana pue eden ser pensados p como un "medio" para p provocar conce eptualizacio ones (Castro, 1999). La produccción del missmo es una a oportunid dad para poner en ju uego relacio ones espacciales, confrrontarlas, re evisarlas y ampliarlas. El avancce está tam mbién dado por el tipo de reflexiones que ésste permitió instalar. Asum mimos-tamb bién para estos e cono ocimientos involucrados- una perspectiva de largo o plazo de e construccción de conocimientos mate emáticos: valoramos v la importancia de la actividad cognitiva del d sujeto en n el proceso o de concep ptualizacion nes sucessivas. Los alumnos a tuvieron oportunidad pa ara tomar co onciencia de d lo realiza ado por sí s mismos y por otross, explicitaron aspecttos hasta ese e momen nto implícittos, opina aron sobre la propia prroducción y la ajena (""no te van a entrar las cosas, ¿eh h?", "¡No, si no se ve eso desde e arriba!", "H Hay que fijarse muy bie en en el tam maño", "Dessde 'arriba-arriba' se e ven así, desde d 'arriba-de costad do' se ven así"). Conssideramos que q estoss tipos de interaccion nes son ce entrales en el proceso o de apren ndizaje de los conocimientos que estamos abord dando y no necessariamente pueden ser mediatame ente por los niños a sus produccio ones. incorrporados inm odo de cierrre A mo Ha sido señalada la esca asa investig gación didá áctica sobre e la enseñanza de esste camp po de conoc cimiento y, a la vez, la necesidad de incluirlo o como obje eto de estud dio en ell Nivel. No presentam mos una secuencia did dáctica, sin no momenttos de traba ajo que relevan r problemas con n los que se e encuentra an los niñoss en la prod ducción de un plano o. Considerramos que sería nece esario retom mar estos aspectos a co on los mism mos 19 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO alumnos en otro os momenttos, tanto continuando c o con la pro oducción de d este plan no, o con nuevo os problemas que permitan a loss alumnos seguir s apren ndiendo. como Plante eamos la im mportancia de d revisar -para esta misma m activvidad· la con nsigna a la luz de loss efectos producidos p en la imag ginaria possición del dibujante. d T También se ería posible pensar -para futura as actividades· en la in nclusión pre evia en la hoja, h por pa arte del maestro, de algunos refferentes, co omo la puerta o la ven ntana en lass hojas que e se entreg gan, y proponer a lo os niños diibujar solamente las mesas y las sillas con c aclara aciones sob bre los luga ares en loss que se siienta cada uno de ellos. Se pue ede anticip par que ambas varia ables (un punto de vista más alto y la inclusión de refere encias) pod drían favore ecer una mayor m discu usión para el problem ma ·pendiente aún- sobre s la ubicación de los objetoss. Evide entemente, es necesario profundizar en el tipo de prob blemas a proponer a los l alumn nos, analiza ar cómo cada pequeña decisión permite pro ovocar o insstalar nuevvos aspecctos del con njunto de problemas p y estudiar qué q debatess, reflexiones y avancces favore ecen, vincu ulados al problema de la represen ntación plan na. NOTA AS 1.Ve er, para este e punto, el artículo de M. E. Quara anta, apareccido en el Nro. N 2 de essta revissta en 1998.. 2. Lo os trabajos que q se prese entan corresp ponden a la sala de 5 años TT de la Escuela E para a el Hom mbre Nuevo. Agradezco o a la maesstra Cecilia Segatorri y al equipo directivo de e la escu uela la autorrización para a publicarloss. 3. Esstas activida ades han sid do inspiradass a partir del trabajo pre esentado porr la profesorra Irma a Saiz en lass clases sob bre la Enseñ ñanza del Esspacio del Seminario S Didáctica de la Mate emática en el e Nivel Inicia al, UBA, 199 98. BIBLIO OGRAFÍA Bertthelot, R. y Salin, M. H., H "La enseñanza de la a geometría en la escuela primaria a". Artícculo original publicado en e francés en Revista Grrand N, Nro. 53 y traducido al español para a el Documento Enseñan nza de la Ma atemática. Se elección bibliográfica III PTFD. P MCyE E, 1995 5. Brun n, J., «Peda agogía de lass matemáticcas y psicolo ogía: análisiss de algunass relaciones», revissta Infancia y Aprendizajee N° 9, Espa aña, 1980. Brun, J., "Evolu ution des ra apports entre e la psychologie du dévveloppement cognitif et la dida actique des mathématiq ques", en Artigue, A M. y otros, Ving gt ans de didactique d des matthématiquess en France. 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