l3.-broitman claudia - reflexiones en torno a la ensenanza del espacio

EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO
Broitm
man, Claudia (2000), “Reflexiones en torno a la enseña
anza del esspacio”, en 0 a
5. La educación
n en los primeros añ
ños, año III, núm. 22
2, marzo, Buenos
B
Airres,
Edicio
ones Noved
dades Educcativas, pp. 24-41.
1
Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza
EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO
R
Reflexio
nes en torno a la ens
señanzza del espacio
En es
ste trabajo
o, Claudia Broitman señala allgunos pro
oblemas y confusion
nes
sobre
e la enseña
anza del es
spacio en el
e Nivel Inic
cial. En primer lugar, distingue los
intenttos de abo
ordar en la escuela ell estudio de la noción
n operatoriia de espa
acio
de! trratamiento didáctico de problem
mas espac
ciales, lueg
go analiza críticamente
cierta
as ideas vigentes
v
s
sobre
la enseñanza
a de las relaciones
s espacia
ales
("concreto - gráfico - abstrracto"; "vivencia - rep
presentació
ón", etc.) y diferencia un
abord
daje motriz
z de uno matemátic
co. Por últtimo~ pres
senta el an
nálisis de un
trabajjo realizad
do en una sala
s
de 5 años
a
sobre
e la constrrucción de un plano y el
proce
eso de reellaboración del mismo
o.
La en
nseñanza del
d espacio
o en la esc
cuela: ¿noc
ción de esp
pacio?
- ¿Se ven las pata
as de la silla
a desde arrib
ba, Florencia
a?
-. No, pero si no la
a silla se cae
e.
En el Nivel Inicia
al se suele reconocer
r
e trabajo so
el
obre las rela
aciones esp
paciales como
s abordad
do. Sin emb
bargo, este acuerdo so
obre la impo
ortancia de
e su
un contenido a ser
de
tratam
miento deja
a de ser tal
t cuando
o se analizzan las diferentes propuestas
p
enseñ
ñanza.
Ya ha
ha
a sido muy
y discutido y difundido
o que en la
a enseñanzza de la matemática
m
habido una im
mportante confusión entre lass estructuras lógico
o-matemáticcas
a epistemología y la pssicología ge
enéticas y lo
os contenid
dos y objetivvos
estudiadas por la
1
de la enseñanza
a.
0, 1994) ana
aliza los efe
ectos de diccha confusió
ón en la ensseñanza de
e la
Jean Brun (1980
matem
mática. Des
staca cómo
o la psicolog
gía genética
a influyó sobre la ense
eñanza a pa
artir
de cie
ertos malen
ntendidos orriginados en las relaciones entre las nocione
es estudiad
das
por Piaget y la enseñanza de
d la matem
mática.
Los resultados
r
de dicha confusión
c
han sido suficientem
s
mente analizzados: se ha
produ
ucido un desdibujamiento del ro
ol docente
e como enseñante all considera
arlo
agentte de la ace
eleración de
el desarrolllo, se confu
undió el mé
étodo clínicco crítico de
e la
psicollogía genéttica con las estrategiass de enseñanza, hubo
o una cierta
a reducción de
conoccimientos matemáticos
m
s a ser ensseñados al reemplazarrse éstos por
p nociones a
2
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abord
dar; se alterró, incluso, el fin sociall de la escu
uela, dejand
do de considerarse como
el lug
gar para la
a comunica
ación, difussión y dem
mocratizació
ón de una selección de
conoccimientos socialmente
s
e relevante
es para instalar la expectativa de
d acelerarr el
desarrrollo.
En el Nivel Inicia
al, la persisstencia de la
l confusión entre las nociones operatorias
o
sy
los contenidos
c
(tanto pa
ara el ca
ampo num
mérico com
mo para el
e espacia
al),
apare
entemente ha
h sido mayyor que el re
esto de los niveles. Ta
al vez la men
nor demand
da
sociall al mismo sobre
s
la en
nseñanza de
e conocimie
entos, los supuestos
s
a
acerca
de lo
os
contenidos abord
dables por la edad de
e los alumno
os, las dive
ersas funcio
ones sociale
es
adjudicadas al nivel,
n
la fuerrte difusión
n de las ideas de las corrientes
c
d la Escue
de
ela
Nueva
a, fuerteme
ente entrela
azadas con
n las ideass estructura
alistas en los discurso
os
pedag
gógicos de formación de docente
es del nivel, y otros facctores, han contribuido
oa
dar co
onsistencia
a y relevancia a propu
uestas derivadas de ciertas inte
erpretacione
es
educa
ativas de la obra piage
etiana.
El ap
plicacionism
mo de la psiccología gen
nética a la enseñanza,
e
en el caso de la noció
ón
de esspacio, ha tenido
t
como
o efecto -co
omo ha succedido con la noción de número- la
identificación de
e dicha nocción como finalidad
f
de
e la enseña
anza o com
mo contenido
o.
Es frrecuente encontrar,
e
en docum
mentos currriculares, en
e publicaciones parra
docentes y en libros de texxto para niños del Jard
dín o de los primeros grados
g
de la
as
última
as décadas
s, la expressión "la construcción de la noción
n de espacio
o" propuestta
como
o fin o como
o objeto de trabajo.
Hoy aún
a muchas de estas ideas sigue
en persistiendo y difundiéndose, sin
s embargo
o,
han también
t
circ
culado, en los últimoss años, num
merosas pro
opuestas de
e enseñanzza
del campo
c
num
mérico dirigidas a insta
a· lar su ab
bordaje en el nivel, a partir de un
u
análissis crítico de
d la noción de activid
dades dirigidas al dessarrollo de la noción de
d
núme
ero y asumiendo una perspectiva
a didáctica.. El trabajo alrededor de las situa
acione
es problemáticas, el conocimien
c
nto de la serie
s
numé
érica, las fu
unciones del
núme
ero, su uso social, etc.,
e
han transformad
t
do el pano
orama dessde aquello
os
momentos en lo
os que se proponía un
u trabajo sobre las nociones allí
a llamada
as
“pre-n
numéricas””.
Sin embargo,
e
no
n ha ocurrrido del mismo modo
o para el abordaje
a
de
e lo espaccial.
Quara
anta (1998)) señala que la persisttencia de esstas con· fu
usiones en el Nivel Iniccial
es má
ás fuerte en
n la enseña
anza del esp
pacio que en
e lo referen
nte al camp
po numérico
o, y
sostie
ene que este fenómen
no tal vez se
s deba a la
a escasa in
nvestigación
n en didácttica
sobre
e su enseña
anza.
3
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A pessar de dich
ha área de vacancia en
e la invesstigación, creemos que es posib
ble
repen
nsar su ens
señanza a la luz del an
nálisis críticco del apliccacionismo, teniendo en
e
cuentta lo que hemos
h
apre
endido en estos
e
años sobre la enseñanza en el camp
po
numé
érico, toma
ando aporttes concep
ptuales de la didáctica de la matemática,
consiiderando la
as enseñan
nzas de Pia
aget sobre los processos de consstrucción del
conoccimiento, partiendo de
e los pocos trabajos de
e investigacción sobre la geometrría
y el espacio, de
d ciertos documento
os curricula
ares y, por qué no, también de
d
dácticas llevvadas a cab
bo en escuelas.
experriencias did
Intenttaremos ap
portar aquí, a partir de aquellas fu
uentes, algu
unas distincciones e ide
eas
con el
e fin de rev
visar alguna
as ideas y prácticas
p
vigentes y te
ender otrass para reorg
ganizar su enseñanza.
nseñanza del
d espacio
o en la esc
cuela: cono
ocimientos
s y problem
mas
La en
Desde los aporte
es de la did
dáctica de la
a matemáticca nos preg
guntamos: ¿qué signiffica
conce
ebir al espa
acio como contenido?
c
¿Qué prop
puestas didá
ácticas en el
e aula?, ¿q
qué
avancces se espe
era produciir en los conocimiento
os de los niñ
ños?
Los niños
n
utiliza
an el espaccio y constrruyen un co
onjunto de conocimien
ntos prácticcos
que les permiten dominar sus despla
azamientos, construir sistemas de
d referenccias
(Saiz, 87; Bertthelot y Salin,
S
1994
4; Castro, 1999). Esstos conoccimientos son
s
apren
ndidos inde
ependientem
mente del pasaje
p
de lo
os niños po
or la escuela. Se trata de
adquisiciones es
spontáneass en su procceso de construcción de nocione
es espaciale
es.
n significa
a que no ha
aya nada por enseñarr en la escu
uela, que re
enunciemoss a
Esto no
consid
derar como
o con· tenid
do el tratam
miento del espacio. ¿Po
or qué? 8erthelot y Sa
alin
(1994
4) muestran
n la gran ca
antidad de conocimien
ntos espaciiales útiles para resolvver
proble
emas cuya adquisición
n no es espo
ontánea y señalan
s
la importancia
a de un trabajo
sistem
mático para
a su adquisición. Insiisten en la
a necesidad
d de su ab
bordaje en la
escue
ela, citando a Pecheuxx (1990):
"N
Nos parece que las pe
erformance
es espacialles son con
nsideradass más comoo
de
ependientes
s de aptitud
des individu
uales, que pueden
p
serr eventualm
mente útiless
pa
ara ciertos oficios, pe
ero de las que se pu
uede presciindir fácilm
mente. Ni la
a
en
nseñanza elemental,
e
n el colegio
ni
o, emprend
den la ense
eñanza del espacio de
e
ma
anera estru
ucturada. (. .. ) En suma,
s
en la
as práctica
as escolare
es, la siste-ma
atización de
e los conoccimientos esspaciales es
e abandon
nada al azarr. "
4
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Y más
m adelante, interpretando el orig
gen de su ausencia
a
en
n la enseña
anza:
"C
Conocimienttos que corrresponden
n a un secto
or reconocid
do de las matemáticas
m
s
so
on más fácilles de legitiimar (. . .) que
q conocim
mientos esp
paciales prá
ácticos, porr
ne
ecesarios que
q sean pa
ara los alum
mnos, com
mo los que permiten
p
la
a utilización
n
co
onveniente de
d un plano
o para ubiccarse en un espacio de
esconocido
o... "
Berthelot y Salin
n destacan la minimiza
ación de lass dificultade
es de adquisición de lo
os
conoccimientos espaciales.
e
La mayor parte
p
de loss alumnos de grados superioress o
de ad
dultos no dominan
d
co
onvenientem
mente la in
nterpretació
ón de un plano
p
en un
na
activid
dad de anticipación esspacial. Sin embargo, confían en que se pod
drían esperrar
otros resultados si el sistem
ma de enseñ
ñanza se hiciera cargo
o de las com
mpetenciass y
e
necesarioss tanto para
a las exigencias de la
a vida socia
al,
conoccimientos espaciales
como
o de los nec
cesarios para futuros aprendizaje
a
es matemáticos.
Desde
e una pers
spectiva did
dáctica noss preguntamos por el
e campo de problema
as
espacciales que ciertos
c
conocimientos permiten resolver.
r
Se
e trata de que
q los niño
os
amplííen el dom
minio de lass experienccias espacciales. ¿Qué problema
as los niño
os
apren
nderán a resolver a pa
artir de las situaciones
s
s que la esccuela promu
ueva? ¿Para
cuáles problema
as el trata· miento didáctico será
á necesario
o, ya que no
o se trata de
d
adquisiciones es
spontáneass?
La escuela
e
deb
be ofrecer a los alum
m· nos op
portunidade
es para ressolver nuevvos
probllemas y rea
alizar conce
eptualizacio
ones. Problemas y con
nceptualizaciones que
e tal
vez lo
os niños no
o se hubiera
an plantead
do fuera de
e la escuela
a.
os niños pu
uedan, entre
e otros asp
pectos:
Se esspera que lo
• constrruir un le
enguaje para
p
com
municar posicione
p
es y des-plazam
mientos,
• tomar concienc
cia de los
s problem
mas ligado
os a los cambios
c
d
de
punto de vista,
• elaborrar y utiliz
zar repres
sentacion
nes sobre
e el espac
cio físico.
5
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El espacio, obje
eto de estu
udio desde
e diferente
es puntos de
d vista: ¿matemátic
¿
ca,
omotricidad
d, educación física?
psico
Una pregunta
p
qu
ue suele estar muy presente
p
en
n el trabajo con los do
ocentes es la
relación entre el abordaje del espacio desde
d
el pu
unto de vista
a de otras áreas
á
y el que
se re
ealiza desd
de la mate
emática. ¿L
Las misma
as actividad
des permiten promovver
apren
ndizajes de las diferen
ntes áreas?
? ¿Es nece
esario aborrdar primero
o actividad
des
desde
e el propio cuerpo
c
y lu
uego aborda
ar su repressentación simbólica?
s
Nos encontramo
e
os aquí con
n otro supu
uesto de la enseñanza
a: la creenccia de que los
niños, para apre
ender en la
a escuela, deben
d
atravvesar cierta
as etapas que
q van de
e lo
o. Esta idea, muy difu
undida para
a la
concrreto a lo gráfico y dessde éste a lo abstracto
enseñ
ñanza de la
a matemáticca, también
n se ha originado a partir del apliccacionismo de
los esstudios piag
getianos a la
l enseñanza escolar y se ha forrtalecido po
or las ideas de
"activvismo" de la
as corriente
es pedagóg
gicas de la Escuela Nueva
N
con un importante
arraig
go en los prrimeros nive
eles de ensseñanza.
La cre
eencia sobrre la necesidad de resspetar en ell aula estass etapas ha
a contribuido
oa
la con
nfusión de los aprend
dizajes espaciales liga
ados a la matemática
m
con aquelllos
ligado
os al movimiento o a los desp
plazamiento
os. El sup
puesto orde
en produjo la
organ
nización en etapas en' la enseñan
nza: primero
o la "vivenccia" del espacio, luego
o su
repressentación gráfica y finalmente
f
su abstraccción. Está
án aquí pre
esentes un
nas
cuanttas .confus
siones que la evolucción del co
onocimiento
o didáctico permite hoy
h
analizzar.
Resulta necesarrio hacer una distinció
ón entre el uso del espacio real (desplazarsse,
recorrer lugares, hacer circuitos, etc.) y los aspecctos matem
máticos que podrían estar
vinculados a cad
da una de dichas
d
situa
aciones.
d espacio (cuando va de la sala al baño o de su cua
arto al de sus
s
En el uso real del
padre
es, cuando lanza una
a pelota ha
acia un aro
o, etc.) el niño
n
no ne
ecesariamen
nte
realizza alguna conceptua
alización o toma de
d concien
ncia de conocimien
c
tos
matem
máticos en
n juego. De
e hecho, lo
os conocim
mientos vin
nculados co
on el desp
plazamie
ento del pro
opio cuerpo
o en el espa
acio están ligados al desarrollo
d
espontáneo de
un su
ujeto desde
e sus primeros meses de vida. Es decir, no hay ne
ecesariamen
nte
activid
dad matem
mática en el desplazam
miento físico
o.
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Esto no
n significa
a que desva
aloricemos aquellas prropuestas elabora·
e
da
as desde otras
discip
plinas en dirección al uso
u del cue
erpo propio en el espacio físico, como
c
aquéllas
que se
s propicia
an desde la educació
ón física o la psicom
motricidad. Simplemente
señalamos la necesidad
n
d distingu
de
uir su finalidad y desstacar la posibilidad
p
de
propo
oner a los niños avan
nces, en muchos
m
cassos indepen
ndientes, en
e uno u otro
o
camp
po de conoc
cimiento.
Los problemas matemáticcos relacio
onadas con el espacio están ligados a la
El
representación sobre dich
ho espacio. No se trata de los mismos problemas.
p
desaffío en realizar un cirrcuito involucra destre
ezas física
as y no ne
ecesariamente
matem
máticas. ¿S
Significa essto que no es posible
e abordar aspectos
a
m
matemáticos
s a
partir de un esp
pacio real o de una actividad
a
de
e desplaza
amiento? No
N se trata de
artar las pro
opuestas de uso del espacio
e
rea
al o de desp
plaza· mien
ntas efectivvos,
desca
sino de
d preguntarse cuáless son los problemas
p
q
que,
en diccha situació
ón, involucrran
cono·· cimientos ligados a la
a matemátiica.
Si el problema
p
planteado
p
a los alumno
os se resuelve exclusivvamente en
n el ámbito del
d
espaccio real (por ejemplo, hacer
h
el circcuito menciionado), no
o está involu
ucrado ning
gún
proble
ema matem
mático, ni se exige que
q
el alum
mno esté reflexionan
ndo sobre las
relaciiones espac
ciales. Pod
dría tratarse
e de un prob
blema mate
emático la comunicac
c
ión
verba
al o gráfica de dicho ciircuito, tantto sea la prroducción como
c
la inte
erpretación de
instru
ucciones, sean éstas verbales, con un sisstema de códigos
c
o mediante
m
u
una
representación gráfica.
g
ca: relacion
nes comple
ejas
El espacio y la matemátic
é relación hay entre los conoccimientos matemático
m
s y la inte
erpretación
n o
¿Qué
elabo
oración de una
u represe
entación grá
áfica o de instruccione
es verbaless para lleva
ar a
cabo un desplaz
zamiento?, ¿qué tiene de "matem
mático" hace
er o interpre
etar un pIan
no?
El trab
bajo sobre el espacio
o tiene unass "relacione
es compleja
as" con el conocimien
nto
matem
mático. A diferencia de lo que ocurre co
on los cono
ocimientos geométrico
os,
much
hos conocim
mientos esp
paciales no
o tienen referente en el conocim
miento form
malizado
o de esta disciplina
d
y sí lo tienen
n en las prrácticas socciales (Bertthelot y Salin,
1994)).
Sin embargo, cre
eemos que
e hay eleme
entos del tra
atamiento y del trabajo
o alrededor del
o de activid
dad intelecctual que in
nvolucran a la
espaccio que permiten vinccular el tipo
actividad matem
mática. ¿De qué aspecctos estamo
os hablando
o?
7
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Por ejemplo,
e
en
n un proble
ema de ela
aboración de
d un plano hay pressentes ciertas
cuestiones "ligad
das' a la actividad
a
m
matemática"
, como la formalización de cierttos
recurssos válidos para repre
esentar el tip
po de tratam
miento que se hace de
el problema, el
uso de modelos o es· quem
mas que tom
man en cuen
nta sólo la parte
p
de lo real
r
pertinen
nte
al pro
oblema (pa
ara un prob
blema de ubicación
u
e
espacial
no
o son necesarios ciertos
detalles del espa
acio real), la
a potencia del
d conocim
miento para la anticipacción, etcéte
era.
Veam
mos este último
ú
aspe
ecto: la an
nticipación. Los cono
ocimientos matemáticcos
permiiten anticip
parse a accciones no realizadass todavía, o realizar afirmacion
nes
válida
as acerca de
d accioness realizadass en otro esspacio o en
n otro tiemp
po. Un par de
ejemp
plos: la ope
eración de resta nos pero
p
mite calcular
c
un resultado de
d una accción
aún no
n realizada
a, o de una
a acción que
e transcurrre en otro lu
ugar o en otro
o momen
nto.
Sabemos cuán· tos alfajores quedará
án si hay 8 y alguien come 4, po
odemos ten
ner
certezza del resultado de diccha acción aunque no los coman
n realmente, o a pesar de
que lo
os alfajores
s, o quien se
s los coma
a, estén lejanos en el espacio o en el tiempo.
Dicho
o poder de anticipación
a
n de los números (Pre
e Diseño GCBA Prime
er Ciclo, 199
99)
es "co
ompartido" por los conocimientoss geométrico
os: por ejem
mplo, se puede averigu
uar
la medida de un ángulo de un triángulo
o equilátero
o sin medirlo
o, deducien
ndo a partirr de
cierta
as pro· pied
dades de la
as figuras. Se puede afirmar, sin medir, que
q
todos sus
s
ángulos miden 60°.
6 Los con
nocimientoss geométriccos permite
en anticiparrse a accion
nes
no re
ealizadas, efectuar deduccione
d
es en el terreno
t
inttelectual, sin
s recurrirr a
realizaciones em
mpíricas (Doc. 5 GCBA, 1998). La
L validez de
d las declaraciones, en
geom
metría, se apoya
a
en razonamien
r
ntos que obedecen
o
a las regla
as del deba
ate
matem
mático (Berrthelot y Sa
alin, 1994; Marco
M
Gral EGB, GCB
BA, 1999).
Ocurrre del mism
mo modo en el conocim
miento espa
acial: la reprresentación
n gráfica de
e un
espaccio o de un recorrido permite
p
ubicar objetoss y relaciones en ause
encia de diccho
in·
objeto
o. El lengu
uaje y las representtaciones espaciales permiten comunicar
c
forma
aciones que
e sustituyen la percep
pción (Bertteloth y Salin, 1994). Para ir de un
lugar conocido a otro conocido (por ejjemplo, parra ir del aulla al baño) no se preccisa
de re
epresentación gráfica alguna. En
E cambio,, hay numerosos pro
oblemas cu
uya
resolu
ución no es
s posible de
esplazándosse. Por ejem
mplo, la lecctura de un plano perm
mite
resolvver problem
mas para un espacio
o que no es percibido directam
mente. O las
instru
ucciones ve
erbales so
obre cómo realizar un
u circuito permiten comunicarr la
activid
dad realiza
ada a un alumno
a
que
e ha estad
do ausente
e en el mo
omento de su
realizzación, sin necesidad
n
de mostrarrlo efectivam
mente, ni de
d estar en el lugar físsico
donde
e se ha des
sarrollado la
a acción.
8
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Tamb
bién en los
s conocimie
entos espa
aciales, aun
nque muy ligados a las prácticcas
sociales y al esp
pacio real, existe
e
un qu
uehacer ma
atemático (P
PreDiseño GCBA,
G
1999).
La acctividad mattemática en
n los problem
mas espaciiales está dada
d
por la potencia pa
ara
la ressolución de
e problema
as que exig
gen la anticipación y que no so
on resolublles
exclusiva· mente
e en forma empírica.
El tra
abajo con el
e espacio en
e la es· cuela,
c
desde esta persspectiva, se
e ubica en el
conju
unto de problemas liga
ados a la re
epresentación, son prroblemas qu
ue involucrran
algún
n grado de análisis o de reflexió
ón sobre el espacio re
eal y las re
elaciones que
involu
ucran.
Un tip
po de prob
blemas de representac
r
ción sobre el espacio comprome
ete problem
mas
especcíficos del pasaje
p
del espacio
e
trid
dimensiona
al, sensible, al espacio representa
ado
bidim
mensionalme
ente. Las representac
r
ciones gráficas del esspacio pued
den ser objeto
de esstudio (esquemas, ma
apas, plano
os, etc.) y a la vez se
er un medio
o para pensar
sobre
e las relacio
ones y punttos de vista
a en el espa
acio.
"De
esde una perspectiva
p
a didáctica,, el dibujo
o y los pro
oblemas prropios de la
representación
n plana son
n un medio ideal para provocar
p
in
ntencionalm
mente el iniccio
en la
l conceptu
ualización de
d algunos aspectos del
d entorno físico... “(C
Castro, 1999
9).
Una experiencia
e
a en sala de
d 5 años
Prese
entaremos ciertos
c
prob
blemas surg
gidos del tra
abajo con una
u sala de 5 años2 sob
bre
la rep
presentación gráfica de
e un espacio real: el plano
p
de su aula.
Pensa
amos en proponerles
p
s a los alum
mnos la pro
oducción de un plano
o del aula. La
finalid
dad de la situación -pa
ara la persp
pectiva de los niños será
s
la prod
ducción de un
plano
o del aula a modo de
e recuerdo de su últim
ma sala de
e jardín. El trabajo se
ería
incluid
do el último
o día de cla
ases en suss cuadernoss.
Los objetivos
o
-de
esde el pun
nto de vista
a didáctico- eran que lo
os niños:
•
•
•
elaboraran un plano como recu
urso para co
omunicar po
osiciones de
d los objeto
os,
ades de differentes tipo
os de repre
esentacione
es del espaccio,
compararran propieda
reflexiona
aran acerca
a de los efecctos en la variación
v
de
el punto de vista.
La co
onsigna que
e se daría a los alumn
nos sería qu
ue dibujara
an un plano del aula, y
que para ello la
a dibujaran vista "desde arriba". Las activid
dades prevvistas (para
a
2
más de una clas
se) eran lass siguientess:
9
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EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO
•
•
•
Producció
ón individua
al de la prim
mera versión del plano
o.
Análisis y comparaciión de algunas produccciones.
Elaboración colectiva de conclusiones para la re
ealización de
d un nuev
vo
plano.
• Reelaboración individual dell plano.
Analiccemos algu
unas de las decisioness tomadas:
¿Por qué propon
ner una situ
uación de producción
p
de un plan
no sin ofrecer primero las
mientas con
nceptuales para su construcción?
? ¿Por qué no enseñar primero a los
herram
niños cómo hace
erlo y luego
o elaborarlo
o? La enseñanza clásica en mate
emática se ha
centra
ado en descomponer los conocim
mientos y trratar de com
municarlos "por partess" y
"de lo
o simple a lo complejo
o", en este
e supuesto de su acumulación y organizacción
posterior. En el trabajo con
n el espacio
o se han abordado, por
p ejemplo
o, desde diccha
persp
pectiva, propuestas dirrigidas a tra
abajar inde
ependientem
mente unass nociones de
otras (arriba-ab
bajo; adenttro-afuera; izquierda--derecha) desglosand
do pares de
conce
eptos que están imp
plicados en
ntre sí en cualquier problema de ubicacción
espaccial.
Desde la perspe
ectiva de la didáctica de la matem
mática actua
al, pensamo
os que dichos
conoccimientos, al ser ense
eñados aislladamente, están dessprovistos de
d significado
para los niños y no son fértiles para la resolució
ón de prob
blemas. Porr el contrarrio,
pensa
amos que se
s trata de promover situacioness más comp
plejas, en las que no se
intentta garantiza
ar de entra
ada la homogeneidad de las pro
oducciones,, sino que se
provo
ocan interac
cciones enttre los alum
mnos y con el objeto en
n cuestión para producir
avancces a lo larrgo de varia
as clases. Consideram
mos que la aparición de diferenttes
forma
as de repre
esentación es una bu
uena ocasió
ón y punto
o de partida
a para pod
der
revisa
arlas y com
mpararlas.
¿Por qué hacerr un mismo
o plano una
a y otra ve
ez? ¿Por qué propone
er a los niñ
ños
ar la propia
a producció
ón? El obje
etivo del tra
abajo no erra una evalluación de los
revisa
conocimientos espaciales
e
de los niñ
ños; por el contrario, fue pensado como una
u
situacción para aprender. Asumimos tambié
én, en ma
atemática, la idea de
produ
ucciones sucesivas,
s
m
sobre las qu
ue se disccute
que se revisan y mejoran,
en
colecctivamente. Nos perm
mitimos considerar el plano co
omo una producción
p
"borra
ador" que precisará
p
se
er revisada
a y sobre la que habrá sucesivas versiones.
10
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Sobre el trrabajo en el aula
S
A pa
artir de la consigna
a ya menc
cionada, los
l
niños evocan otras
o
reprresenta
aciones grráficas del espacio: globos te
erráqueos, mapas, dibujos co
on
instru
ucciones de
d armado
o, mapas de
d rutas, ettc. ("un pla
ano parece
e un mapa
a",
"te indica los ca
aminos pa
ara llegar de
d un país al otro", "e
es algo que te enseñ
ña
o armar la
as cosas, por
p ejemplo un aero
ostática", etc.).
e
Con respecto al
cómo
punto
o de vistta de dichos dibujjos, los chicos
c
comentan que
q
"se ve
v
re-ch
hiquito", "desde el cielo", "desd
de el espa
acio", etcétera.
Se re
etorna la consigna:
c
"vamos a hacer el dibujo
d
del aula imag
ginando qu
ue
somo
os muy mu
uy chiquito
os y estam
mos parado
os arriba del ventilad
dor de tech
ho
miran
ndo el aula
a desde ahí".
a
Esta supuesta ubicación imaginariia del punto
de vista traerá varias con
nsecuenciias no prev
vistas:
• dis
scusiones acerca de
e que se pu
ueden mov
ver caminando por el
e ventilador
y entonces
e
cambian
c
lo
os puntos de vista;
• refflexiones acerca
a
de que corno
o el ventila
ador está en
e movimiento, segú
ún
desde qué lugar
l
del ventiladorr se mire para abajjo se verá
án o no lo
os
fre
entes de lo
os objetos colgados en la pare
ed o no.
Evide
entemente
e, la altura
a del ventiilador, la posibilidad
p
d de desplazamientto
imaginario sob
bre el mismo y su
u constan
nte movim
miento pro
odujeron la
consideración simultánea de difere
entes punttos de vistta. Hoy cre
eemos que
era sido mejor plante
ear un luga
ar imagina
ario de obs
servador "más alto" e
hubie
"inmó
óvil" en el espacio.
Es im
mportante aclarar qu
ue la maes
stra informa
a a los alu
umnos, anttes de hac
cer
la priimera prod
ducción, que realizarán varios
s planos su
ucesivos, que
q
"éste va
v
a se
er un borrador, que se va a poder cambiar, arreglar y rehacer".
Cons
sideramos
s que esta aclaració
ón a los alumnos es
s importante para qu
ue
se prredisponga
an desde un princip
pio a la rev
visión de la
a propia producción
p
ny
no enfaticen lo
os detalle
es estético
os de la obra.
o
Si as
sí no fuerra, les serría
proba
ablemente
e difícil ac
ceptar rea
alizar una
a revisión crítica de
el mismo y
cons
siderarlo un
na primera
a aproxima
ación a un
n proceso de produc
cción.
Tamb
bién la doc
cente inforrma acerc
ca del anállisis colecttivo que se
e promoverá a partir de
e los difere
entes traba
ajos. La im
mportancia
a de dicha aclaración
l alumno
os puedan
n predispo
onerse al hecho
h
de que
q
reside en que los
comp
pararán y analizarán
a
n críticame
ente las pro
oduccione
es propias y ajenas, y
que se
s establecerán crite
erios comu
unes para la revisión
n.
11
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Por último,
ú
la maestra
m
prropone que
e dibujen los
l mueble
es del aula
a y no a las
perso
onas, ya que nos de
esplazábam
mos constantemente
e en el aulla.
Aparecen, alrededor de las
l primeras produc
cciones, los
s siguiente
es
"prob
blemas”:
• La ubicació
ón de los objetos en
e el aula:: Los niño
os están, en
e mucho
os
casos preo
ocupados
s por tene
er en cuen
nta la ubic
cación de
e los obje-to
os, sin em
mbargo, le
es es muy
y costoso volcar es
sto en la hoja.
h
• E
El punto de
d vista: discuten
d
a
acerca
de
e si incluir o no cie
ertos
o
objetos,
o los detallles del frrente de los
• Las proporrciones: su
urgen diálo
ogos y arrreglos al trratar de te
ener en
cuenta las proporciones reales
s de los objetos en el dibujo.
Se produce
p
un
n intercambio espontáneo entrre los alum
mnos acerc
ca de la
prop
porción enttre los tam
maños de lo
os objetos
s y de los dibujos
d
que los representan. Estte diálogo es registra
ado con el objetivo de
d evocad
do en otra
clase
e, para que sea reto
ornado porr todos los alumnos.
Diego
o mira el aula
a
y dibujja el pizarrrón muy grrande, cas
si en el con
ntorno de la
l
hoja. Fede le dice
d
a la maestra: "M
Me parece que está dibujando
d
el pizarrón
n
muy grande"
g
e inmediata
amente a Diego
D
"no te van a entrar
e
las cosas,
c
¿eh
h?
Diego
o responde: "Las ha
ago adentrro del pizarrón" (que
e es lo que
e luego
efecttivamente hace).
Acerc
ca del pun
nto de vista
a se produ
uce el sigu
uiente diálo
ogo:
Diego
o: El reglamento (se
e refiere a un texto escrito
e
en un
u papel afiche
a
colg
gado en la
a pared de
el aula).
Tomá
ás: No se va a ver. ¡Si es un papel!
p
Si el
e ventilador está giran
ndo, depend
de de qué lado
l
estamos mirando
o, si miramo
os
de allá
a (señala
ando la partte del ventilador más cercana
c
al reglamento)
r
) no lo vamos
a ve
er.
Sob
bre el mism
mo problema
a:
12
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Lauttaro está dibujando
d
la mesa vis
sta desde el frente, es decir dibuja dos de
d
las patas
p
de la
a mesa. A partir de una
u
pregun
nta que se
e le formula
a acerca de
d
cómo
o se ven la
as patas de
d la mesa
a desde arrriba, conte
esta lo siguiente:
Lauta
aro: Si la mesa
m
estuv
viera con la
as patas para
p
arriba vería las patas,
p
pero
o
as
sí como es
stá sólo ve
eo el tablerro.
A partir de estta afirmac
ción, hace la segun
nda mesa, represen
ntando solamentte el rectán
ngulo del tablero.
t
Le
e quedan dos
d mesas
s dibujadas
s, una "vis
sta
desde frente" y la otra "v
vista desde- arriba",, como puede obserrvarse en el
o.
dibujo
En estos otros
s dibujos aparecen
a
elementos
s represen
ntados fro
ontalmente
e y
otros
s desde un
na vista aérea. En el dibujo de Tomás: el pizarrón (de frente) y
las mesas
m
(de
esde arrib
ba); en el dibujo de
e Marina todos los objetos se
s
repre
esentan de
esde el fre
ente, excep
pto el venttilador.
13
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14
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¿Por qué solo las mesas y los ventiladores tie
enen una representa
r
ación de un
o de vista diferente?
? Tenemos
s algunas ideas
i
al re
especto...
punto
El ve
entilador, que
q
parece
e dibujado
o desde arrriba, ¿apa
arece así porque
p
en la
consigna los chicos debían imagin
nar que es
staban parados allí arriba
a
y esto
facilittó imaginá
árselo desd
de dicho punto
p
de viista, o porq
que el ven
ntilador visto
desd
de abajo -d
desde don
nde ellos efectivame
ente lo ve
en- es igua
al que visto
desd
de arriba? Tal vez sólo
s
lo dibu
ujaron com
mo lo veía
an -desde abajo-, y a
noso
otros nos parece
p
que
e está dibu
ujado desd
de arriba.
En el caso de las mesas, puede se
er que sea más senc
cillo imagin
narlas desd
de
o punto de
e vista que desde ob
bjetos más altos, com
mo la biblio
oteca, o qu
ue
dicho
objettos con muy
m
poco espesor,
e
c
como
un papel.
p
Tall vez, la altura
a
de los
niños
s y su ha
abitual inte
eracción con
c
las mesas,
m
en posicione
es de esttar
patad
das o sen
ntados, les
s permiten
n tener un
na represe
entación de
d la mism
ma
desd
de esa perspectiva.
Con respecto al
a problem
ma de la ub
bicación de
e los objeto
os en la ho
oja, Lautarro,
luego
o de dibuja
ar la biblio
oteca, toma conciencia de que
e la ha ub
bicado en un
u
lugarr que no co
orrespond
de:
Lauta
aro (un poco
p
enojjado mien
ntras borrra): La bib
blioteca tien
ne que ir ahí
a
(seña
alando otrro lugar en
n la hoja) y no acá (mo
ostrando el
e lugar don
nde la hab
bía
dibujado).
or qué?
-¿Po
Lau
utaro: Porqu
ue ahí está la
a biblioteca (señaland
(
o la bibliotteca real), ¡está al lado
o
de la
a mesa! (La
autaro borrra la biblio
oteca y la dibuja
d
al la
ado de la mesa).
m
En la
a segunda
a clase se
s recuerd
da lo realizado anteriormentte y se les
propo
one a los niños ana
alizar algun
nas producciones co
on vistas a la revisió
ón
de la
a producción y a la
a elaborac
ción de un
u segund
do plano. Se invita a
comp
parar plan
nos selecc
cionados. ¿Con qu
ué criterio
o han sido
o elegidos
s?
Tenie
endo en cuenta
c
los aspectos ya mencionados, es
e decir, aquéllos
a
qu
ue
comparar diferente
en pa
articular permitirían
p
es represe
entaciones
s del mism
mo
objeto (diferenttes puntos
s de vista para dibujjar las mes
sas) o apo
ortar nuevos
problemas (la cuestión de la ubiicación). Se
S decide
e posterga
ar para ottro
momento la reflexión acerca de las proporcion
p
nes de los objetos
15
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repre
esentados con los ob
bjetos realles, sin em
mbargo, as
spectos de
el tamaño de
d
los dibujos son
n traídos por
p los alu
umnos: la relación entre
e
el tam
maño de los
dos y la dis
stancia de
esde la cua
al se obse
erva.
objetos dibujad
Con respecto al punto de
d vista, comentan
c
acerca de
el dibujo de la puertta
del aula,
a
realiz
zado desde
e una vista
a frontal:
Ezequiel: Parra mí que la puerta está
á hecha desd
de adelante..
Otro
o alumno agrega: Lo
L que está de ahí (señ
ñalando la
a mitad) de
esde el med
dio
(haciendo ge
esto para abajo)
a
no se
s podría ve
er así. Sí, po
orque si sub
bís hasta allá
áy
esta
amos a diez metros de altura
a
se veríía más chiqu
uita y hay pa
artes que no
o se verían, se
s
vería
a más chatitto.
Con respecto a las dife
erentes mesas dibu
ujadas es interesante destaca
ar
que la mayoría
a de los alumnos,
a
f
frente
a la
as dos rep
presentacio
ones de la
as
as, acuerd
dan en que una corresponde al punto de
d vista de
e arriba y la
mesa
otra de frente:
•
•
Si se mira de arriba no
o se ven las patas.
Si es de muy
m arriba no
o tiene que tener
t
las pattas.
A pe
esar del acuerdo ac
cerca de la forma de
d represe
entación utilizada,
u
lo
os
alum
mnos cues
stionan la
a represe
entación de
d las cuatro peq
queñas circ
cunfe
erencias realizadas
r
para reprresentar la
as patas:
• No tiene
e redondellitos.
• Son las patas.
• Sí, ¡pero
o no se ve
en!
Otro aspecto a resaltar es
e el come
entario de un
u alumno
o que interrviene para
a
mosttrar que de
esde arriba
a puede se
er vertical (como pla
ano) u oblicuo (como
o
foto aérea)
a
y para
p
ello produce una
u
expresión origin
nal: "arriba
a-arriba" y
"arrib
ba-de costado".
• Desde "arrib
ba - arriba"" se ven assí (señalan
ndo la rep
presentació
ón de una
a
mesa), dessde "arriba- de costado"" se ven así (señaland
do otra me
esa).
go del trab
bajo colec
ctivo, la do
ocente prropone rea
alizar nue
evamente el
Lueg
plano
o, teniendo
o en cuentta lo que se
s ha conv
versado so
obre el mismo.
16
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Dos niños dialo
ogan mien
ntras inicia
an la segunda produ
ucción:
• Hay que fija
arse muy bie
en en el tama
año.
• Yo vaya hacer
h
la me
esa, el trab
bajo es má
ás fácil, so
olo tenés que
q
hacer lo
de arriba (refiriéndo
ose al acu
uerdo esta
ablecido lu
uego de la
a puesta en
e
común).
Mela
anie les dic
ce a sus co
ompañeros
s:
• Miren bien
n lo que ha
ay que dibujar. Acá abajo.
a
(Mu
uestra el es
stante que
e
está debajjo de la me
esa como tratando de
d convenc
cer a sus compañero
c
os
de la impo
ortancia de
e dibujarlo..)
Latau
uro le conttesta:
• ¡¡No, si no
o se ve eso
o desde arrriba!
Algun
nos ejemp
plos de seg
gundas pro
oducciones son los siguientes
s
.
Julián
n hizo, en este plano
o, todos lo
os elementtos vistos desde
d
arrib
ba.
17
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Lauta
aro adoptó diferenttes punto
os de vistta para la
as mesas
s y para la
biblio
oteca.
Aquí vemos el dibujo de Yamila de
e la silla. Para
P
este dibujo, la niña traba
ajó
duran
nte un larg
go rato, co
omparando
o su produ
ucción con
n la silla y "peleand
do"
con los resulta
ados que obtenía. En
E primer lugar, rea
alizó el dib
bujo de un
na
forma
a que representaba el asiento de la mism
ma (algo similar
s
a un
n cuadrado
o).
Mienttras lo hac
cía, miraba
a el asientto desde arriba.
a
Lue
ego decidió
ó dibujar los
círculos que representan las patas -como su compañerro había he
echo para la
mesa
a-o Sin em
mbargo, co
ontinuó su
u producc
ción incluy
yendo los caños ve
erticale
es de la misma,
m
qu
ue unen el
e asiento
o con el respaldo.
r
Y dibujó el
respa
aldo del mismo
m
mo
odo que el asiento, sólo que en éste, a pesar del
d
mism
mo dibujo, el punto de
d vista as
sumido no
o es el mis
smo. Desd
de arriba ha
h
dibujado el asiento, desd
de el frentte ha dibujado el res
spaldo y lo
os caños. Le
L
qued
dó la siguie
ente silla "desplega
"
ada" luego
o de un ard
duo trabajjo en el qu
ue
parec
ció recupe
erar, a su modo, asp
pectos dis
scutidos co
olectivame
ente.
18
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Los objetivos
o
de
d la activid
dad propuesta
En muchos caso
os, al comparar las primeras
p
prroduccioness con las últimas
ú
no se
obserrvan cambio
os importan
ntes. ¿Esto significa qu
ue no hubo aprendizajes? Creemos
que, más allá de
d los resu
ultados obsservables en
e los planos producidos, fue una
po. ¿Por qu
ué?
situacción rica de trabajo para la mayorría del grup
No se
e trata exclusivamente
e de evalua
ar el produccto final y lo
os logros obtenidos
o
en
relaciión con el plano,
p
si bie
en se esperra que los alumnos
a
avvancen en sus
s recurso
os
de producción e interpretacción de los mismos. El aprendiza
aje sobre las relacione
es
stá dado exxclusivame
ente por una
a incorpora
ación de esstrategias de
espacciales no es
representación del
d plano, sino
s
también por el tipo
o de interaccciones que
e promueve
e,
por el caudal de reflexioness que se prroducen en la clase a partir del problema.
Ha sido
s
citada
a anteriorm
mente la idea acercca de que
e los prob
blemas de la
repre
esentación plana pue
eden ser pensados
p
como un "medio" para
p
provocar
conce
eptualizacio
ones (Castro, 1999). La produccción del missmo es una
a oportunid
dad
para poner en ju
uego relacio
ones espacciales, confrrontarlas, re
evisarlas y ampliarlas. El
avancce está tam
mbién dado por el tipo de reflexiones que ésste permitió instalar.
Asum
mimos-tamb
bién para estos
e
cono
ocimientos involucrados- una perspectiva de
largo
o plazo de
e construccción de conocimientos mate
emáticos: valoramos
v
la
importancia de la actividad cognitiva del
d sujeto en
n el proceso
o de concep
ptualizacion
nes
sucessivas. Los alumnos
a
tuvieron oportunidad pa
ara tomar co
onciencia de
d lo realiza
ado
por sí
s mismos y por otross, explicitaron aspecttos hasta ese
e
momen
nto implícittos,
opina
aron sobre la propia prroducción y la ajena (""no te van a entrar las cosas, ¿eh
h?",
"¡No, si no se ve eso desde
e arriba!", "H
Hay que fijarse muy bie
en en el tam
maño", "Dessde
'arriba-arriba' se
e ven así, desde
d
'arriba-de costad
do' se ven así"). Conssideramos que
q
estoss tipos de interaccion
nes son ce
entrales en el proceso
o de apren
ndizaje de los
conocimientos que estamos abord
dando y no necessariamente pueden ser
mediatame
ente por los niños a sus produccio
ones.
incorrporados inm
odo de cierrre
A mo
Ha sido señalada la esca
asa investig
gación didá
áctica sobre
e la enseñanza de esste
camp
po de conoc
cimiento y, a la vez, la necesidad de incluirlo
o como obje
eto de estud
dio
en ell Nivel. No presentam
mos una secuencia did
dáctica, sin
no momenttos de traba
ajo
que relevan
r
problemas con
n los que se
e encuentra
an los niñoss en la prod
ducción de un
plano
o. Considerramos que sería nece
esario retom
mar estos aspectos
a
co
on los mism
mos
19
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alumnos en otro
os momenttos, tanto continuando
c
o con la pro
oducción de
d este plan
no,
o con nuevo
os problemas que permitan a loss alumnos seguir
s
apren
ndiendo.
como
Plante
eamos la im
mportancia de
d revisar -para
esta misma
m
activvidad· la con
nsigna a la luz
de loss efectos producidos
p
en la imag
ginaria possición del dibujante.
d
T
También
se
ería
posible pensar -para futura
as actividades· en la in
nclusión pre
evia en la hoja,
h
por pa
arte
del maestro, de algunos refferentes, co
omo la puerta o la ven
ntana en lass hojas que
e se
entreg
gan, y proponer a lo
os niños diibujar solamente las mesas y las sillas con
c
aclara
aciones sob
bre los luga
ares en loss que se siienta cada uno de ellos. Se pue
ede
anticip
par que ambas varia
ables (un punto de vista más alto y la inclusión de
refere
encias) pod
drían favore
ecer una mayor
m
discu
usión para el problem
ma ·pendiente
aún- sobre
s
la ubicación de los objetoss.
Evide
entemente, es necesario profundizar en el tipo de prob
blemas a proponer a los
l
alumn
nos, analiza
ar cómo cada pequeña decisión permite pro
ovocar o insstalar nuevvos
aspecctos del con
njunto de problemas
p
y estudiar qué
q debatess, reflexiones y avancces
favore
ecen, vincu
ulados al problema de la represen
ntación plan
na.
NOTA
AS
1.Ve
er, para este
e punto, el artículo de M. E. Quara
anta, apareccido en el Nro.
N 2 de essta
revissta en 1998..
2. Lo
os trabajos que
q se prese
entan corresp
ponden a la sala de 5 años TT de la Escuela
E
para
a el
Hom
mbre Nuevo. Agradezco
o a la maesstra Cecilia Segatorri y al equipo directivo de
e la
escu
uela la autorrización para
a publicarloss.
3. Esstas activida
ades han sid
do inspiradass a partir del trabajo pre
esentado porr la profesorra
Irma
a Saiz en lass clases sob
bre la Enseñ
ñanza del Esspacio del Seminario
S
Didáctica de la
Mate
emática en el
e Nivel Inicia
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Clauddia Broitman es miembroo del Equipoo de Matemáática de la Dirección
D
dee Curriculum del
Gobieerno de la Ciuudad de Buennos Aires, doccente de curssos y seminarrios sobre la enseñanza de
d la
matem
mática Nivel Inicial y EGB
B, coordinadoora del área matemática
m
d la Red Latiinoamericanaa de
de
Alfabeetización y assesora de la Escuela paraa el Hombre Nuevo, de laa ciudad de Buenos
B
Aires..
21
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