RESPONSABLE: REFERENCIA DE LA ACTIVIDAD: Daniel Hernandez Ruiperez PMII-C4-0186
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RESPONSABLE: REFERENCIA DE LA ACTIVIDAD: Daniel Hernandez Ruiperez PMII-C4-0186 TITULO DE LA ACTIVIDAD: i-MATH Trimester on “DERIVED ALGEBRAIC GEOMETRY” MEMORIA CIENTÍFICA DE LAS ACTIVIDADES DESARROLLADAS: La principal actividad del Trimestre ha sido la celebración de la “i-Math School on Derived Algebraic Geometry” en Salamanca del 1 al 5 de Junio de 2009 con la colaboración del Instituto Universitario de Física Fundamental y Matemáticas. IUFFyM, de la Universidad de Salamanca. El Comité Organizador estuvo formado por: Daniel Hernández Ruipérez (Salamanca) Ludmil Katzarkov (Miami) Tony Pantev (UPenn) El Comité Local estuvo formado por Daniel Hernández Ruipérez, Ana Cristina López Martín, Carlos Tejero Prieto, Daniel Hernández Serrano y Darío Sánchez Gómez. La Escuela estuvo dedicada a la Geometría Algebraica Derivada, una nueva geometría que incluye aspectos de la geometría algebraica tradicional de esquemas y stacks, teoría de homotopía superior y categorías derivadas e infinito-categorías. También se consideraron importantes aplicaciones de la geometría algebraica derivada a la teoría de la intersección y a los functores integrales, sin perder de vista su interés en la teoría de cuerdas. Hubo 4 minicursos de diferentes horas cada uno y varias charlas de participantes, que se relacionan a continuación: Minicursos: Clark Barwick (Harvard): “Applications of Derived Algebraic Geometry to Homotopy Theory” (4 horas) El minicurso estuvo dedicado a introducir algunas teorías cohomológicas p-ádicas que existen en la geometría algebraica espectral y a estudiar sus relaciones con la teoría K-algebraica. Concretamente se trataron con detalle la teoría de la homotopía cromática, la cohomogía cristalina y la cohomología sintómica en la geometría algebraica espectral y su relación con las conjeturas (p,n)-ádicas de Beilison. Ionut Ciocan-Fontanine (Minnesota): “Virtual clases via dg-manifolds and virtual Riemann-Roch” (2 horas) En primer lugar, se presentó una construcción de clases virtuales para variedades [0,1]-dg (diferencialmente graduadas), tanto a nivel de teoría K como en los grupos de Chow. Así se mostró cómo tales variedades constituyen el análogo dg a las variedades que tienen una teoría de la obstrucción perfecta. Se explicaron ciertas versiones del teorema de Riemann-Roch en este contexto y se dieron algunas de sus aplicaciones. Tony Pantev (Philadelphia): “Mirror symmetry and the derived algebraic geometry” (3 horas) En este minicurso se expusieron los aspectos básicos de la conjetura de la simetría mirror homológica dada por Kontsevich. Utilizando los métodos que proporciona la geometría algebraica derivada se explicaron los últimos avances en la resolución de dicha conjetura. Timo Schürg (Mainz): “Introduction to derived algebraic geometry” (3 charlas) En este minicurso se dio una introducción general a la geometría algebraica derivada. Se analizaron cuáles son las motivaciones que nos llevan de la geometría algebraica tradicional a la geometría algebraica derivada comparando las construcciones básicas de ambas teorías. Se estudiaron los stacks derivados haciendo énfasis en varios ejemplos concretos. El minicurso terminó con algunos de los problemas abiertos de la geometría algebraica derivada. Proyecto Ingenio Mathematica OTRI-Pabellón de Gobierno, Universidad de Cantabria, Avda. Los Castros s/n, 39005 Santander Charlas: Timothy Logvinenko, “A derived approach to the geometric McKay correspondence” donde se describió una generalización a dimensión 3 de la correspondencia de McKay geométrica que González-Sprinberg y Verdier construyeron para dimensión 2. La técnica utilizada para tal generalización fue el uso de las equivalencias de categorías construidas hace algunos años por Bridgeland-King-Reid. Donatella Iacono, Deformation Theory via DGLA’s donde se estudiaron deformaciones de aplicaciones holomorfas entre variedades Kälher compactas via algebras de Lie dg. Dmitri Kaledin, “Beilinson’s axiomatization of the filtered derived category” donde se explicó la noción de categoría derivada filtrada asociada a una categoría abeliana que fue introducida por Beilison. Se probó cómo tal noción, cuando se considera como “enhancement” de la categoría derivada usual, sirve para recuperar los grupos K de orden superior de la categoría abeliana en cuestión. Ludmil Katzarkov, “Generalized HMS and cycles” donde se presentaron algunas aplicaciones de la Simetría Mirror Homológica a problemas clásicos de la Geometría Algebraica como la racionalidad de las variedades algebraicas y el estudio de ciclos algebraicos. Se estudiaron algunos ejemplos con detalle. Cristina Martínez, “Derived categories and Calabi-Yau fibrations”. Partiendo de una variedad Calabi-Yau fibrada en variedades abelianas o superficies K3 se construyó la fibración dual y se demostró que ambas tienen categorías derivadas equivalentes. Marta Pérez, “The derived category of quasi-coherent sheaves”. Se probó que para un esquema quasicompacto y quasi-separado la categoría derivada de sus haces quasi-coherentes es una categoría de homotopía estable, concepto introducido por Honey, Palmieri y Strickland. Jon P. Pridham, “Simplicial schemes and higher stacks”. Se explicó cómo los n-stacks geométricos pueden ser considerados como una clase especial de esquema simplicial (un n-hipergrupoide de Duskin-Glen). Con ello se dieron descripciones muy simples de sus haces quasi-coherentes y de sus deformaciones. Se explicaron también las caracterizaciones similares que existen para n-stacks derivados. David I. Spivak, “Derived smooth manifolds” Se introdujeron las variedades derivadas para las que, utilizando el método de Potrjagin-Thom, se construyó una teoría cohomológica llamada cobordismo derivado. Los participantes en el Workshop fueron: Luis Álvarez-Cónsul (CSIC, Madrid), Peter Arndt (Göttingen), Claudio Bartocci (Genova), Tobias Barthel (Oxford), Clark Barwick (Harvard), Daniel Berg (Stockholm), Christopher Brav (Toronto), Sylvain Brochard (Leiden), Ionut Ciocan-Fontanine (Minnesota), Joana Cirici (Barcelona), Nicholas Cooney (Oxford), Javier Fresan (Jussieu), Alberto García Raboso (UPenn), Esteban Gómez González (Salamanca), Daniel Hernández Ruipérez (Salamanca), Daniel Hernández Serrano (Salamanca), Victoria Hoskins (Oxford), Donatella Iacono (Mainz), Alberto López Martín (Zürich), Ana Cristina López Martín (Salamanca), Dmitri Kaledin (Moscow), Ludmil Katzarkov (Miami), Timothy Logvinenko (Liverpool), Stefano Maggiolo (SISSA, Trieste), Cristina Martínez Ramírez (UB, Barcelona), Margarida Melo (Coimbra), Anca Mustata (Cork), Jorge Neves (Coimbra), Álvaro Nolla de Celis (Warwick), Tony Pantev (UPenn), Marta Pérez Rodríguez (Vigo), Francisco J. Plaza Martín (Salamanca), Flavia Poma (SISSA, Trieste), Jon P. Pridham (Cambridge), Abdo Roig (UPC, Barcelona), Darío Sánchez Gómez (Salamanca), Geoge Scaria (Max Planck, Bonn), Timo Schürg (Mainz), David I. Spivak (Oregon), Carlos Tejero Prieto (Salamanca), Filippo Viviani (Humboldt, Berlin), Frank Vogler (Augsburg), James Wallbridge (Adelaida), Richard Willianson (Oxford), Constantin Wittenmeier (Augsburg), Jonathan Wise (Stanford) El resto del trimestre estuvo ocupado con visitas de investigadores, que desarrollaron seminarios en colaboración con los miembros del Grupo Investigador de Excelencia GR46 de la Junta de Castilla y León, que ha cofinanciado la actividad. La relación de visitas previstas era: Ettore Aldrovandi (Florida) Elena Andreini (Max Planck) Claudio Bartocci (Genova) Marcello Bernardara (Max Planck) Denis-Charles Cisinski (Paris 13) Alessandro Chiodo (Inst. Fourier, Grenoble) Timothy Logvinenko (Liverpool) Juan Carlos Naranjo (Barcelona) Cristina Martínez (Barcelona) Bertrand Toën (Toulouse) Michel Vaquié (Toulouse) 26 al 31 de Octubre 25 al 29 de Mayo 31 de Mayo al 10 de Junio 28 de Junio al 15 de Julio una semana en Septiembre/Octubre 26 al 31 de Octubre 31 Mayo al 13 de Junio 5 al 10 de Junio 26 de Mayo al 10 de Junio 26 al 31 de Octobre una semana en Septiembre/Octubre Gabriele Vezzosi (Firenze) Katrin Wendland (Ausburg) 2ª semana de Octubre una semana en Septiembre/Octubre Desgraciadamente, parte de estas visitas fueron canceladas en el último momento por los investigadores. Las visitas realizadas han sido: - Ettore Aldrovandi (Florida) que dio una conferencia de título “Stacks and non-abelian category” y cuya visita se realizó del 26 al 31 de Octubre. - Elena Andreini (Max Planck) que dio una conferencia de título “Stacks and gerbs” y cuya visita se realizó del 25 al 29 de Mayo. - Marcello Bernardara (Max Planck) que dio una conferencia de título "A categorical Torelli theorem for the cubic threefold" y cuya visita se realizó del 28 de Junio al 15 de Julio. - Claudio Bartocci (Genova) que dio una conferencia de título “Higher categories” y cuya visita se realizó del 31 de Mayo al 10 de Junio. - Timothy Logvinenko (Liverpool) cuya visita se realizó del 31 de Mayo al 13 de Junio. - Juan Carlos Naranjo (Barcelona) cuya visita se realizó del 5 al 10 de Junio. - Cristina Martínez (Barcelona) ) cuya visita se realizó del 26 de Mayo al 10 de Junio. VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS: La valoración de los resultados de la “i-Math School on Derived Algebraic Geometry” es muy positiva. Los minicursos pusieron las bases de los aspectos fundamentales de la Geometría Algebraica Derivada y las charlas fueron de gran interés y utilidad. Los participantes más jóvenes tuvieron numerosas oportunidades de interactuar entre ellos y con los participantes senior. Desgraciadamente, el resto del trimestre no ha tenido toda la actividad deseada, pues por diversas razones ajenas a la organización del trimestre, algunas de las visitas previstas y que ya habían sido acordadas, fueron canceladas por los profesores visitantes. ESTIMACIÓN DEL IMPACTO DE LOS RESULTADOS EN LAS ACTIVIDADES FUTURAS: La actividad ha puesto las bases para que muchos investigadores españoles (y también extranjeros), jóvenes y no tanto se hayan familiarizado con los fundamentos de la Geometría Algebraica Derivada, que es de gran complejidad técnica pero que puede ser la geometría algebraica del futuro. En este sentido la actividad puede tener un cierto impacto en actividades futuras en las que se desarrollarán aplicaciones de dicha geometría.