TÍTULO TODO EM LETRAS MAIÚSCULAS NO ESTILO

DIFERENTES ENFOQUES EN LA CONSTRUCCIÓN DE FUNCIONES DE MEMBRESÍA DE LOS CONJUNTOS
BORROSOS. APLICACIÓN POTENCIAL EN BIOINFORMÁTICA
Evento: I Congreso Internacional de Tecnologías y Contenidos Multimedia en Ambientes digitales.
Temática: Bioinformática y otras aplicaciones de la ciencia.
Autores: Pedro Yobanis Piñero Pérez, María del Carmen Chávez Cárdenas,
Leticia Arco García, Maria M. García Lorenzo, Rafael Bello Pérez.
Ponentes: Pedro Yobanis Piñero Pérez
Institución: Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Facultad de Matemática Física y
Computación. Centro de Estudios de Informática
Dirección: Carretera a Camajuaní Km 71/2, Santa Clara Villa Clara, CUBA. Código postal: 54830
Teléfonos: (53)(42) 281109
281515
Fax: 53-42-281608
E-mails: [email protected], [email protected], [email protected],
[email protected]
Resumen La Bioinformática se describe como un campo interdisciplinario que se
encuentra en la intersección entre las Ciencias de la Vida y de la Información, comprende la investigación y el desarrollo de herramientas útiles para llegar a entender el
flujo de información desde los genes a las estructuras moleculares. Muchos problemas
de la bioinformática son eminentemente borrosos dada la naturaleza de los mismos.
Para la aplicación de los conjuntos borrosos en la solución de determinados problemas
la determinación de las funciones de membresía adecuadas juega un papel fundamental.
En este trabajo se hace un análisis del estado del arte en la construcción de funciones
de membresía; se analizan enfoques basados en la teoría de la posibilidad, la Inteligencia artificial, la estadística y el cálculo. Se muestran diferentes modelos matemáticos lineales utilizados en la representación de funciones de membresía tales como campanas, triángulos, trapecios etc. Se discute la importancia del uso de las funciones de
membresía en el marco de los conjuntos borrosos y su uso potencial en la bioinformática.
Keywords funciones de membresía, bioinformática; máquinas
de aprendizaje.
1
1- Introducción
La teoría de conjuntos clásica plantea que un elemento pertenece o no pertenece a un conjunto, es miembro de A o no es miembro de A . Se trata del viejo principio lógico según el cual
una cosa es, o, de lo contrario, no es: " p o bien no p ", principio llamado del tercio excluso.
Sin embargo en la práctica con frecuencia encontramos una "verdad a medias", volviéndose
imposible que algo sea o no sea, que sea totalmente verdadero o totalmente falso. Ante la necesidad de resolver estos problemas surge la lógica polivalente.
La lógica polivalente es la base de la lógica borrosa, de ella Katsushige Mita, presidente de
Hitachi y de LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering Research) expresó, "la teoría
de la borrosidad se presenta como una teoría adecuada para la representación de la incertidumbre que hay en el significado de todas las palabras".
La borrosidad está presente en muchas esferas de la vida y sobre todo en las ciencias de la
vida; muchos de los problemas que se presentan en la bioinformática son eminentemente borrosos.
La bioinformática se describe como un campo interdisciplinario que se encuentra en la intersección entre las ciencias de la vida y de la información. Informaciones de pacientes tomadas a
partir de señales electrofisiológicas, compuestos químicos o simplemente determinados fármacos o moléculas se pueden comportar como variables lingüísticas, por tanto se torna indispensable la obtención de las funciones de membresía y conjuntos borrosos en la solución de estos
problemas.
En la sección 2 de este trabajo se definen diferentes enfoques interpretativos y modelos matemáticos utilizados en la representación de las funciones de membresía. En la sección 3 se
describen algunos métodos utilizados en la construcción automática de las funciones de membresía y por último en la sección 4 se muestra el uso potencial en bioinformática a través de
ejemplos resueltos.
2- Diferentes enfoques y representaciones de funciones de membresía
2.1 Definición
Un conjunto borroso está determinado por funciones de membresía asociadas a él.
Si X es una colección de objetos denotados genéricamente por x , entonces un conjunto borroso A en X se define como un conjunto de pares ordenados [ZAD78]:
A  {( x, A ( x)) x  X }
Donde  A (x) es llamada la función de membresía para el conjunto A . La función de membresía asigna a cada elemento de X un grado de membresía en el intervalo [0,1]. A X se llama
2
universo de discurso y puede ser un espacio discreto o continuo. El conjunto de pares ordenados puede ser también denotado como  A ( x1 ) / x1   A ( x2 ) / x2     A ( xn ) / xn .
Interpretaciones y representaciones de funciones de membresía
Existen numerosas formas de representar las funciones de membresía, la forma de representación guarda una estrecha relación con los distintos enfoques que se siguen en la construcción de las funciones de membresía y con la naturaleza del problema que ellas representan.
La función de membresía más simple es la construida por un experto en forma de pares (element, MemberShipValue), donde element es un posible valor del dominio y el membershipvalue indica el grado de pertenencia del elemento a determinado conjunto.
Varios autores han desarrollado diferentes enfoques de la representación de funciones de
membresía:
o
Zadeh [ZAD78] plantea que las distribuciones de posibilidad del universo de atributos es
conceptualmente distinta de las distribuciones de probabilidad.
o
Giles [GIL82] [GIL88] y Ruspini [RUS69] por su parte han operado con interpretaciones
probabilísticas de los grados de membresía. Giles identifica los grados de membresía
con probabilidades sujetivas determinadas en cada situación. Ruspini [RUS69], en su
trabajo de algoritmos de clusterización fuzzy, dice explícitamente que él usa una interpretación probabilística de los grados de membresía. Además establece una fórmula en
la cuál los grados de membresía de un objeto en las diferentes clases o clusters suman
1.
2.3 Representaciones de funciones de membresía basadas en modelos matemáticos lineales.
Por las características de las funciones de membresía numerosos modelos matemáticos lineales se han utilizado para su representación.
Las curvas S (Sigmoid / Logistic) por ejemplo, son curvas monótonas crecientes o decrecientes. La ecuación correspondiente a este tipo de curva está
x 
0
 descrita por la siguiente ecuación:


2
  x  

  x    donde  indica el valor donde el grado de membresía es
2     
 valor donde se alcanza el mayor valor de membre

 cero,
S ( x; ;  ;  )  
2

 sía y  es el punto de inflexión, este es el punto para el
 x  
1  2 

  x 

 cual el valor de membresía es 0.5.
   
1
x   

Funciones campana:
En general, existen tres clases importantes de curvas “campana” – las campanas PI, las campanas Beta y las campanas gaussianas. La diferencia entre los tres tipos de curvas está dada
por la pendiente de la curva así como por los valores de los puntos finales de la curva.
[COX98]
Una curva PI provee un gradiente descendiente suave desde el valor central hasta los puntos
de membresía cero a lo largo del dominio. La curva PI es simétrica y centrada en un único va-
3
lor del dominio, tiene como parámetros el ancho de la base de la curva (  ) y el punto central
(), como se muestra a continuación:

S ( x;   ,    / 2, )

 x   
x;  ;   

 x   
1  S ( x; ;   / 2,   ) 
1
Otras de las características interesantes que hacen atractivas a las curvas PI es que el valor de
membresía se hace cero en algún momento en
un punto discreto y específico; además no son
funciones asintóticas.
0.5
0

Punto de
inflexión
Dominio
0
Figura I Curva PI
La curva Beta [COX98] es una curva con forma de campana más estrecha que la curva PI. Al
igual que la curva PI, está definida por dos pará
metros, el punto central del dominio (  ) y un valor
que indica la mitad del ancho de la curva en el
punto de inflexión (  ). Fig II.
1
0.5
B( x;  ,  ) 

0
Punto de
inflexión
Figura II Esquema de la curva Beta
1
 x 
1  
 



2
A diferencia de la curva PI los grados de membresía obtenidos a partir de esta curva nunca llegan a
ser cero al ser la curva asintótica al eje de las
abcisas.
La curva Gaussiana o exponencial es uno de los modelos de campanas menos populares en la
representación de funciones de membresía. La curva
Gaussiana es definida, como la curva PI, con dos pará1
metros: el valor único del dominio alrededor del cual la
curva es construida (  ) y un valor que indica la anchura
0
K
Dominio
Figura III Curva Gausiana
de la forma de la campana de la curva ( k ). La ecuación
de esta curva es:
G( x; k ,  )  k ( x )
2
La curva producida desde su fórmula se parece a la curva
Beta con la diferencia de que la pendiente de la curva
obliga a que esta descienda rápidamente hasta el valor 0.
4
Hay que tener en cuenta que la curva Gaussiana tiene alguna de las propiedades de las curvas
PI. Naturalmente el parámetro de anchura ( K ) juega un role crítico en la forma y alcance del
conjunto borroso. Mientras mayores son los de K la curva se hace más ancha y viceversa. La
inhabilidad de predecir exactamente la forma completa de la curva campana resultante para un
valor particular de K hace que se dificulte el uso de esta función.
Muchos otros modelos de campanas podrían ser utilizados en la descripción de funciones de
membresía como por ejemplo:
Cam panax; a; b; c  
1
1
xc
a
2b
donde a es la amplitud, c es el centro y b es un factor que influye en la pendiente de la curva.
Funciones triangulares y trapecios
Generalmente los controles borrosos están definidos por funciones de membresía triangulares
dada la simplicidad de estos modelos.
Las funciones de membresía triangulares pueden o no ser simétricas y están determinadas por
tres parámetros como se muestra a continuación [COX98]:
1
a
c
b
Figura IV Función triángulo
0
x  a

b  a
Triángulo( x, a, b, c)  
c  x
c  b
0

xa
a xb
bxc
cx
Las aristas del triángulo indican un descenso lineal del
grado de membresía a partir del punto b y hasta que el
grado de membresía llega a ser cero.
Por su parte las funciones de membresía trapezoidales guardan una estrecha relación con las
funciones de membresía triangulares, estas pueden verse como triángulos truncados donde se
forma una meseta. Los elementos de la meseta se corresponden con los elementos del universo donde se alcanza el máximo grado de membresía. La ecuación y el gráfico correspondientes a las curvas trapezoidales se muestra a continuación:
1
0
a
b
c
d
Figura V Función trapecio
0
xa

b  a

Trapecio( x, a, b, c, d )  1
d  x

d c
0

xa
a xb
bxc
cxd
xd
Los valores del domino de las funciones de membresía basadas en modelos matemáticos lineales pertenecen a los reales; por tanto en aquellos problemas en los que intervengan casos
5
que sean descritos por atributos simbólicos como el color, la aplicación de los modelos matemáticos lineales no es recomendada.
En la resolución de esta problemática otros modelos matemáticos, basados en la estadística y
la teoría de la medida podrían ser utilizados.
2.4 Representaciones de funciones de membresía basados en la teoría de la posibilidad y la
estadística.
En la construcción de reglas borrosas y funciones de membresía simbólicas se proponen diferentes enfoques:
o
Un primer enfoque donde intervenga la probabilidad de aparición del I-ésimo término (termI) en los casos analizados.
 Pterm K if x  term K

Sym b( x)  
Com plem ent
Value if x  term K

donde el valor de la probabilidad P[termI] podría estar determinado, a partir del análisis de
la base de casos usada para construir las reglas borrosas y el ComplementValue se determine por alguno de los métodos que se muestran a continuación:
1. ComplementValue 1  PtermK
1
w


2. Complemeto de Yager ComplementValuetermK  1  PtermK  w


3. Complemento de Sugeno ComplementValue
donde w > 0
1  PtermK
1  Factor.PtermK
donde Factor es un número natural que cumple: Factor  
Factor 1 .
.
o
Un segundo enfoque como se plantea en [NAU00], determina el grado de membresía por
medio de un proceso de normalización de las frecuencias de aparición de los términos.
PtermK 
o
frectermK
i frectermi 
Un tercer enfoque plantea la construcción de tantas funciones de membresía para un atributo como consecuentes diferentes existan en la base de casos a analizar como muestra
la ecuación:
 Pterm1 / Con sec uentr  if x  term1


 Pterm2 / Con sec uents  if x  term2
Sym b( x)  

 Pterm N / Con sec uentb  if x  term N


En esta función el grado de membresía del término K-ésimo (termK) se determina como la probabilidad condicional de aparición del término Késimo (termK) dado que tuvo lugar determinado
consecuente (consecuentj.).
6
3- Construcción automática de funciones de membresía.
Los métodos más comunes empleados en la construcción de funciones de membresía son:
Evaluación subjetiva y construcción a partir de expertos: los conjuntos difusos pueden
determinarse a partir de procedimientos de extracción simples o complejos, dado que
usualmente modelan el estado cognoscitivo de las personas. Los expertos en el dominio de
aplicación simplemente dibujan o especifican diferentes curvas de membresía de las cuales
eligen una. En algunos casos, la elección puede estar determinada mediante métodos que
tienen su base en la psicología.
Frecuencias convertidas o probabilidades: algunas veces, la información tomada a partir de histogramas de frecuencia u otras curvas de probabilidad se emplea como base para
construir la función de membresía. Existe una gran variedad de métodos de conversión
posibles y cada uno posee sus propias fortalezas y debilidades, tanto matemáticas como
metodológicas. Sin embargo, es necesario recordar que las funciones de membresía no
son necesariamente probabilidades.
Medición física: muchas aplicaciones de lógica difusa usan la medición física, pero casi
ninguna mide el grado de membresía directamente. En su lugar, la función de membresía
se obtiene mediante otro método y los grados de membresía individuales se calculan a partir de ella.
Aprendizaje y adaptación: la aplicación de las técnicas de aprendizaje automatizado posibilitan construir de forma automática a partir de datos numéricos y simbólicos las funciones de membresía, generalmente las funciones de membresía construida por esta vía son
representadas como modelos matemáticos. Con frecuencia, una vez construidas, se les
ajusta para mejorar su efectividad por medio de técnicas que posibilitan su adaptación.
3.1 Método de interpolación
Como premisa para la aplicación de este método es necesario conocer la membresía para un
conjunto finito de puntos, información que podría ser suministrada por un experto. Luego por
alguna forma de interpolación podría determinarse la membresía de un elemento no suministrado previamente por el experto [CHE95].
Dadas las características de las funciones de membresía aplicando métodos de interpolación
basados en los mínimos cuadrados y los spline no siempre se logra construir buenas funciones
de membresía, de ahí que se piense en una interpolación más avanzada que preserve la monotonía local y la convexidad.
Cualquiera que sea el método de interpolación usado, es necesario que las funciones de
membresía cumplan que:
 :   0,1
tal que:
7
1.  x  0,1 x .
2.  es diferenciable.
3.  xi   i para un conjunto de pares conocidos
4. Si el conjunto de pares conocidos
x1 ,1 ,...,xn ,n .
x1 , y1 ,...,xn , yn 
es un conjunto borroso convexo,
entonces  es borroso convexo también.
Para obtener una función de membresía con las características deseadas [CHE95] propone
realizar la interpolación utilizando polinomios de Bernstein.
El polinomio de Bernstein cumple las siguientes propiedades:
~
1. B2 g xi   g xi   i , B2 g ti   g ti   u
i
2. B'2 g xi   g' xi , B'2 g ti   g' ti 
3. Si g es monótona en xi ,ti  , entonces B2 g  es monótona en xi ,ti 
4. Si g es convexa (cóncava) en xi ,ti  , entonces B2 g  es convexa (cóncava) en xi ,ti 
Estas propiedades forman las bases por lo cual el algoritmo que utiliza la interpolación por el
polinomio de Bernstein preserva las propiedades de las funciones de membresía. Como premisa para el uso correcto de los polinomios de Bernstein es necesario conocer un conjunto de
puntos iniciales y dar un punto adicional que satisfaga las propiedades de las funciones de
membresía.
3.2 Centros de gravedad.
Narazaki y Ralescu [NAR94] proponen un método basados en la determinación de los centros
de gravedad de los términos lingüísticos de una variable lingüística. En estos centros de gravedad la función de membresía asociada alcanza el máximo valor de membresía.
Para determinar el grado de membresía de un nuevo elemento se define la siguiente función:


d (e, C ) 

m em(e, c)   1  c
  d (e, C j ) 
j 1



donde 
1
 1
es el número de categorías o términos lingüísticos diferentes, d e, Ci  es la distancia
entre el elemento e y el centro de gravedad Ci . C es el centro de gravedad del término lingüístico del que se calcula la certidumbre de pertenencia del elemento e.
3.3 Algoritmo de Hong
En [HON98] se propone un método de aprendizaje para derivar automáticamente reglas borrosas y funciones de membresía desde un conjunto dado de casos de entrenamiento facilitando
la adquisición de conocimiento.
Los pasos del algoritmo hasta encontrar las funciones de membresía se describen a continuación:
8
Paso 1: clusterizar y fuzzificar los datos de salida;
Paso 2: construcción inicial de las funciones de membresía para atributos de entrada;
Paso 3: construcción de la tabla de decisión inicial;
Paso 4: simplificar la tabla de decisión inicial, aplicando reglas de simplificación;
Paso 5: reconstrucción de las funciones de membresía en el proceso de simplificación;
Las principales desventajas de este algoritmo son:

Requiere que los valores del rasgo objetivo sean ordenables, solo admite datos numéricos
y permite construir funciones de membresía triangulares solamente.

La construcción de estas funciones de membresía implica la obtención de unas funciones
de membresía iniciales donde se van a obtener muchas regiones iniciales. Si la diferencia
entre dos valores adyacentes del conjunto de entrenamiento es muy pequeña, entonces la
cantidad de regiones, que a su vez es la cantidad de funciones de membresía iniciales, es
muy grande, lo que hace a este proceso complejo. Véase figura VI.
Valores
borrosos
1
R1
R2
Rn-1
R3
Rn
...
0
a1
a2
a3
a4
an-1
an
Datos de entrada
Figura VI Funciones iniciales
Como ventaja fundamental se señala que este algoritmo construye de forma automática las
funciones de membresía a partir de los casos.
3.4 Algoritmos Genéticos.
Los Algoritmos Genéticos (AG) surgen como herramientas para la solución de complejos problemas de búsqueda y optimización, producto del análisis de los sistemas adaptativos en la
naturaleza, y como resultado de abstraer la esencia de su funcionamiento.
Los AG han ganado popularidad en los últimos años debido a la posibilidad de aplicarlos en
una gran gama de campos y a las pocas exigencias que imponen al problema a resolver. Los
AG trabajan a partir de una población inicial de estructuras artificiales, llamados cromosomas,
que se modifican repetidamente con la aplicación de los operadores genéticos: Selección o
Darwiniano, Cruzamiento o Mendeliano y Mutación etc. [HOL73][HOL75].
En la construcción de funciones de membresía, utilizando AG, el problema de determinar los
parámetros que describen cada función se transforma en un problema de optimización donde
se pretende minimizar el error que se produce con la selección de diferentes valores de los
parámetros.
9
Los cromosomas son arreglos lineales donde en cada escaque hay un parámetro de la función
en cuestión, la función de evaluación es una función de error que depende de los parámetros
que describen a la función de membresía y que están representados en el cromosoma; el criterio de parada por su parte es generalmente determinado número de generaciones [PIÑ00]. En
la sección 4 de este documento se muestra un ejemplo de la aplicación de esta técnica en la
construcción de funciones de membresía.
Como principal desventaja del uso de los AG se señala que no siempre convergen a un óptimo
global sino a un elemento cuazi óptimo.
3.5 Métodos numéricos y técnicas del análisis matemático
En ocasiones las funciones de membresía que se quieren obtener son funciones con propiedades deseables para el análisis, por ejemplo continuas, derivables etc.
En estos casos generalmente es factible aplicar métodos numéricos clásicos o simples análisis
matemáticos que permitan determinar los parámetros de las funciones de membresía. La aplicación de estos métodos depende de las características de las funciones de membresía y de la
naturaleza del problema en cuestión.
4- Aplicación potencial en Bioinformática
En la ultima década del siglo XX y lo que va del presente siglo, el uso intensivo de herramientas estadístico-matemáticas, la aplicación de técnicas computacionales y las nuevas tecnologías de la información en la recopilación, exploración e interpretación de datos biológicos han
posibilitado el desarrollo de la bioinformática.
4.1 Cálculo de la dosis letal de una molécula
Uno de los problemas de la bioinformática es el cálculo de la dosis letal de moléculas, en este
problema intervienen alrededor de 30 descriptores de moléculas que por su naturaleza obligan
que la resolución del problema sea eminentemente borrosa.
En la resolución de este problema se siguieron los siguientes pasos:
1. Fuzificar los descriptores del problema.
2. Construir la base de casos con términos linguísticos en los n-1 descriptores de dominio  en la base de casos original.
3. Construir las funciones de comparación.
El primer paso al “fuzificar” los n-1 descriptores de dominio real, cada descriptor se trata como
una variable lingüística, donde los términos lingüísticos usados para todos los descriptores fueron: BAJO, MEDIO BAJO, NORMAL, MEDIO ALTO, ALTO
Para cada descriptor se construyen las funciones de pertenencia o membresía:
10
bajo(x), medio bajo(x), normal(x), medio alto(x), alto(x)
los cuales no son necesariamente iguales para todos los descriptores.
Para construir las funciones de pertenencia se usa el procedimiento siguiente:
1. Discretizar los valores de cada descriptor en cinco valores discretos.
2. Hacer corresponder cada valor discreto con cada término lingüístico según el orden
lógico establecido.
3. Usando los límites establecidos para el valor discreto calcular los parámetros que definen la función de membresía del término lingüístico correspondiente.
Para construir las funciones de pertenencia se usan las expresiones siguientes:
Término bajo y Término alto se representan por la Curva S cuya expresión se muestra en la
sección 2.3, lo que en el primero la curva es monótona decreciente y en el segundo monótona
creciente.
Términos medio bajo, normal y medio alto se representan por la curva Campana
Cam panax; a; b; c  
1
xc
1
a
2b
donde a es la amplitud, c es el centro y b es un factor que influye en la pendiente de la curva.
En la obtención de las funciones de membresía propuestas para la resolución de este problema se utilizaron los métodos construcción a partir de expertos y usando los algoritmos genéticos [PIÑ00].
4.2 Caracterización de riesgos de la cardiopatía isquémica
Otro ejemplo concreto de la bioinformática que puede ser resuelto por medio de la aplicación
de técnicas de la lógica borrosa es la caracterización de riesgos de la cardiopatía isquémica,
problema de epidemiología donde de cada individuo se toman determinadas características
muchas de las cuales son eminentemente borrosas, por ejemplo las referidas al nivel de estrés
cuyos valores pueden ser (en alguna medida, poco, mucho, bastante).
En este problema es necesario construir funciones de membresía para cada uno de los términos lingüísticos que identifican a las características; tomando como base los valores reales de
los casos [CHA99].
Las funciones de membresía a utilizar en la descripción de los términos lingüísticos son funciones trapezoidales o campanas beta en dependencia de la naturaleza de las características y
siguiendo criterios de expertos.
La determinación de los parámetros de las funciones de membresía escogidas se logra utilizando algoritmos genéticos en el caso de las funciones trapezoidales [PIÑ00] y utilizando técnicas del análisis matemático y la matemática elemental en el caso de las funciones de membresía campanas Beta [ARC01].
11
5- Conclusiones
Analizamos en este trabajo diferentes enfoques representativos de funciones de membresía y
modelos matemáticos lineales frecuentemente utilizados en el diseño de estas funciones para
la representación de datos continuos.
En problemas reales con frecuencia aparecen datos simbólicos por lo que se analizaron distintas formas de representar funciones de membresía para el tratamiento de datos simbólicos,
basadas en la teoría de la posibilidad.
Se discutieron diversos métodos para la construcción de funciones de membresía en la resolución de problemas concretos, métodos basados en técnicas del álgebra, la estadística, el análisis matemático y la Inteligencia Artificial. Se describió la resolución de dos problemas de la
bioinformática utilizando las técnicas de la lógica borrosa y se mostró el uso potencial de las
técnicas de la inteligencia artificial en la resolución de problemas de la Bioinformática.
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