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Universidad de Chile Ingeniería y Ciencias Plan Común Facultad de ciencias Físicas y Matemáticas “Tarea 1” Parte 1 1.1 Primero fue necesario realizar un pre procesamiento de datos que básicamente consistió en escribir los nodos y sus respectivas latitudes y longitudes en columnas diferentes. Luego con el programa “Google Earth” cada integrante obtuvo las coordenadas de sus casas. Con todos los datos en un archivo Excel (ver Anexo 1) se procedió a calcular la distancia de cada casa a cada nodo, una vez obtenidos estos resultados se eligió el nodo correspondiente a la distancia menor, ya que este corresponde a el nodo más cercano. Para calcular las distancias se utilizo la fórmula “Haversine”, que consiste en: Donde: d es la distancia entre los dos puntos. R es el radio medio de la tierra que es 6731km. aprox. El punto 1 tiene coordenadas: El punto 2 tiene coordenadas: Y además la función “haversin” corresponde a: Considerando: Página 2 Finalmente reemplazando y despejando, se obtiene que: . Los nodos que se obtuvieron son los que aparecen en la tabla 1: Tabla 1 Integrante Latitud casa Longitud casa Nodo cercano Ivan -33.58535000 -70.57667222 71221 Victor -33.52088890 -70.55050000 82552 Camila -33.44952222 -70.59625833 62452 Jonathan -33.46326944 -70.52043611 70543 1.2 Así como fue necesario un pre procesamientos de datos para la parte 1.1, para realizar esta parte también se realizo un ordenamiento de los datos del archivo que contenía los arcos, en Excel se calcularon todas las distancias de los arcos (ver Anexo 2). La estructura del problema de programación lineal, se construyó considerando lo siguiente; como era necesario medir distancias entre el par de casas de cada uno de los integrantes, se consideró este desplazamiento como un flujo, vale decir ir desde el nodo con oferta (casa de inicio) hacia el nodo con demanda (casa destino) y fijando el resto de los nodos como nodos de tránsito. Los nodos se comunican a través de arcos. En la construcción del OPL se definió lo que se conoce como tuplas las cuales permiten ligar distinta información y manejarla como una sola, en este caso se crearon las “tuplas arcs” que relacionan el nodo inicial, el nodo final, la distancia entre estos nodos, y la capacidad de cada arco asociado a los nodos. Página 3 La variable de decisión de este problema corresponde a la cantidad de circulación o flujo que se envía por cada arco. Por ende la función objetivo de este problema consiste en minimizar la distancia para enviar el flujo desde una casa a la otra. La restricción de la capacidad de cada arco se solucionó eligiendo arbitrariamente el atributo de capacidad de cada arco teniendo en cuenta de que fuese mayor al valor de la variable de decisión. Otra restricción a este problema que se utilizó fue respetar la conservación de flujo, por lo que la cantidad que sale al nodo i-ésimo menos la cantidad que entra al mismo, debe ser igual a la demanda u oferta del respectivo nodo, esto contempla el conjunto de nodos que poseen un arco desde el “nodo i” como así también al conjunto de nodos que poseen un arco hacia el “nodo i”. Para completar el modelo se creó un archivo de datos, en los cuales se declaran las tuplas con sus distintos valores y se asignó la demanda/oferta de cada uno de los nodos. Este procesamiento se repitió para cada par de casas utilizando el mismo OPL, sólo se debía desanular aquellos nodos correspondientes al par de casas por calcular y anular los ya utilizados. Los valores en distancia y la cantidad de arcos utilizados para las distintas casas son los que aparecen en la tabla 2, nótese que ir “desde la casa 1 hacia la casa 2” es lo mismo que ir “desde la casa 2 hacia la casa 1”, es decir, usan la misma cantidad de nodos y recorren la misma distancia (por lo que se omite invertir las casas de origen por las de destino en la tabla 2). Página 4 Tabla 2 Casa origen Casa destino Distancia [Km] Arcos utilizados Iván Camila 64.087 184 Iván Víctor 39.938 129 Iván Jonathan 59.718 125 Camila Víctor 42.667 110 Camila Jonathan 11.819 36 Jonathan Víctor 33.780 96 1.3 Para hallar el segundo camino más corto se utilizó la misma estructura del modelo de la parte anterior pero agregando la restricción de eliminar el arco con la distancia más corta, para eliminar específicamente ese arco se anuló la capacidad del arco. La búsqueda del arco con la distancia más corta se realizó sobre el archivo Excel con los resultados de los arcos utilizados (ver Anexo 3). Esto obliga al modelo a construir una nueva ruta óptima minimizando la distancia que será mayor a la del camino parte 1.2. En la tabla 3 se resumen los nuevos resultados: Página 5 Tabla 3 Casa origen Casa destino Iván Camila Iván Víctor Iván Jonathan Camila Víctor Camila Jonathan Jonathan Víctor Distancia [Km] Arcos utilizados Análogamente para encontrar el tercer camino más corto se anuló el arco con la distancia más corta correspondiente al segundo camino más corto pero manteniendo la restricción previa de anular el arco con la distancia más corta del primer camino óptimo. La manera de hallar el arco con la menor distancia correspondiente al segundo camino corto se realizó en Excel de manera análoga a como se realizó previamente. Los resultados son los que aparecen en la tabla 4: Página 6 Tabla 4 Casa origen Casa destino Iván Camila Iván Víctor Iván Jonathan Camila Víctor Camila Jonathan Jonathan Víctor Distancia [Km] Página 7 Arcos utilizados
