Plan de clase (1/4) . centrales en una circunferencia.

¿Cuánto miden los ángulos?
Plan de clase (1/4)
Escuela: ________________________________________________ Fecha: ____________
Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: F E y M
Contenido: 8.5.4 Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos,
el área de sectores circulares y de la corona.
Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen las medidas de ángulos inscritos y
centrales en una circunferencia.
Consigna: Organizados en parejas encuentren la medida de los ángulos centrales e inscritos
marcados en cada una de las siguientes circunferencias. En todos los casos el punto C es el
centro.
Consideraciones previas
En el caso de la estrella de 8 picos, los alumnos pueden razonar que el ángulo inscrito
abarca un arco que es
o de toda la circunferencia, por lo que el ángulo central con el
mismo arco mide 90º y, en consecuencia, el ángulo inscrito marcado mide 45º. Es probable
que algunos estudiantes tracen el ángulo central que abarca el mismo arco y noten de
inmediato que se trata de un ángulo recto.
Para el valor del ángulo inscrito en la figura con el decágono regular, es probable que
algunos estudiantes recuerden la manera de calcular el ángulo interior de este tipo de figuras
y podrán usarla si así lo desean (
. Otra manera es observando que el ángulo
central correspondiente abarca de la circunferencia por lo que mide 8 x 36º, esto da 288º,
de ahí que la medida del ángulo inscrito es 144º que coincide con el valor encontrado con la
fórmula anterior. Si no surgen estas dos maneras, pueden mencionarse en la puesta en
común que se haga.
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Finalmente, en la última figura los alumnos tendrán que poner en juego varios conocimientos
para encontrar el valor de los tres ángulos marcados, estos conocimientos son:
1. Que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º
2. Que los radios de una circunferencia tienen la misma media y, por lo tanto, los dos
triángulos menores que se forman son isósceles.
3. Que en un triángulo isósceles, a lados opuestos iguales se oponen ángulos opuestos
iguales.
4. Que dos ángulos adyacentes uno de cuyos lados es prolongación del otro forman un
ángulo de 180º.
Todo lo anterior se conjuga para que los estudiantes encuentren que:
El ángulo central adyacente al ángulo de 80º mide 100º.
Uno de los ángulos inscritos mide 50º y el otro, 40º
Si nota que a los alumnos les está costando trabajo puede apoyarlos con preguntas como
¿cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo?, ¿qué tipo de triángulos son estos (los
isósceles)?, etcétera.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
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Partes de círculo
Plan de clase (2/4)
Escuela: ______________________________________________ Fecha: _____________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: F E y M
Contenido: 8.5.4 Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos,
el área de sectores circulares y de la corona.
Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican calcular el área
de sectores circulares.
Consigna: Organizados en parejas resuelvan el problema siguiente:
Se tiene un corral de forma cuadrada de 5 m de lado y, en una de sus esquinas, una cabra
está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, fuera del corral.. El corral está
rodeado por un campo de hierba.
Primero estimen el resultado de:
a)
¿En qué área puede pastar la cabra? ___________________________________
b)
¿Cuál es la longitud total del arco que describe el desplazamiento de 5la cabra
cuando la cuerda está a su máxima longitud? _____________________________
5m
cabra
3m
a) Antes de hacer operaciones, ¿cuál es la medida de la superficie en la que puede pastar la
cabra? ________________
b) Realicen las operaciones convenientes y calculen la superficie en la que puede pastar la
cabra. Anótenla: _________________
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c) Comparen la estimación que hicieron en el inciso a) con el resultado obtenido en el inciso
b). ¿Consideran que hicieron una buena estimación? ______________. Argumenten su
respuesta: _________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
Consideraciones previas:
El inciso a) tiene el propósito de desarrollar en los estudiantes la habilidad para estimar el
resultado de un problema; esta estimación les permite concentrarse en los datos del
problema antes de enfrascarse en las operaciones, también puede permitirles controlar si su
resultado encontrado después es o no razonable, a partir de compararlo con su estimación.
Se sugiere favorecer la reflexión con las siguientes preguntas:
 Si la cuerda que ata a la cabra, permanece tirante, ¿qué trayectoria describirá en su
movimiento sobre la zona en que pasta, con respecto de la esquina donde se
encuentra atada?
 ¿Tiene alguna relación la medida del ángulo del cuadrado con la circunferencia
trazada por el movimiento de la cabra alrededor del poste?
 ¿Qué parte de la circunferencia comprende el sector circular, donde la cabra puede
moverse libremente? Es posible que el alumno conteste
3
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del círculo o la medida en
grados del arco que corresponde a 270°; o bien, ¿qué parte de la circunferencia
corresponde al sector en que la cabra no puede pastar?
 ¿Cómo se obtiene la cuarta parte del área del círculo?; o bien, ¿cómo calculas las
3
4
partes del área circular?
4
Estas preguntas también pueden servir de orientación para la resolución del problema; esto
en caso de que los alumnos no encuentren la forma de resolverlo. Si el problema es resuelto
rápidamente por los alumnos, se pueden variar las condiciones, por ejemplo:
 ¿Qué área de pastoreo tendrá la cabra si el corral tiene forma de hexágono regular de
5 m por lado y la cuerda atada al poste en uno de sus vértices es de 3 m de longitud?
(Modificar el tamaño de la cuerda o cambiar el punto del corral en que la cabra está
atada; por ejemplo en medio de uno de los lados del corral).
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
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Círculos coronados
Plan de clase (3/4)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: _____________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: F E y M
Contenido: 8.5.4 Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos,
el área de sectores circulares y de la corona.
Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen sus conocimientos para calcular áreas
de coronas circulares.
Consigna: Organizados en parejas resuelvan el siguiente problema:
La figura corresponde a un juego de tiro al blanco. Los puntos O, A, B, C y D están alineados
y O es el centro de todos los círculos. La distancia del punto O al punto A es de 20 cm y las
distancias AB = 10 cm, BC = 10 cm y CD = 10 cm. Con estos datos calculen:
a) Sin hacer operaciones, estimen:

El área del círculo central.___________

El área de la corona circular entre A y B __________

El área de la corona circular entre B y C._______________

El área de la corona circular entre A y D._______________
b) Hagan los cálculos necesarios y encuentren las áreas pedidas.

El área del círculo central.___________

El área de la corona circular entre A y B __________

El área de la corona circular entre B y C._______________

El área de la corona circular entre A y D._______________
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c) Comparen su estimación con los resultados que encontraron. ¿Fue buena su estimación?
________.
Argumenten su respuesta. _________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
Consideraciones previas:
Es bueno que los alumnos estimen los resultados de los problemas antes de resolverlos,
esto desarrollará su sentido numérico y se darán cuenta que no es sencillo estimar las áreas
de superficies con lados curvos.
Existen diferentes maneras de calcular el área de una corona circular. Es muy probable que
los estudiantes calculen el área del círculo mayor y al resultado le resten el área del círculo
menor. Por ejemplo, para calcular el área de corona entre A y D, pueden proceder de la
siguiente manera:
Área del círculo con radio OD.
cm2
De la misma manera se obtiene el área del círculo con radio OA:
cm2
Y el resultado se obtiene restando:
Posiblemente algunos alumnos encuentren un procedimiento más eficiente que consiste en
restar primero los radios elevados al cuadrado y luego multiplicar por . Esto se deduce de
factorizar :
Un posible error que pueden cometer los alumnos es pensar que el área de la corona circular
se obtiene restando los radios y luego elevar al cuadrado el resultado. La estimación de los
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resultados puede emplearse para que noten que de esta manera el resultado que obtienen
no es razonable.
Si el tiempo lo permite, podría presentarles el siguiente problema, o bien, dejarlo de tarea:
Has sido elegido para presenciar un eclipse solar por unos cuantos instantes; la
circunferencia de la Luna y la del Sol compartirán el mismo centro. Por motivos astronómicos
es necesario que calcules el área aparente de la corona solar.
El departamento de astronomía de la UNAM te proporciona los siguientes datos:
 Diámetro aparente del Sol 5 000 km.
 Diámetro real de la Luna 3 476 km.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
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Áreas arqueadas
Plan de clase (4/4)
Escuela: ______________________________________________ Fecha: ______________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: F E y M
Contenido: 8.5.4 Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos,
el área de sectores circulares y de la corona.
Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican calcular el área
de sectores circulares y la longitud de arcos de circunferencia.
Consigna: En una pared que mide 6 m de ancho por 5 m de alto se tiene pensado hacer un
hueco que funcione como puerta y que tenga como remate un arco. Se quiere elegir entre los
siguientes tres diseños:
Los dibujos están hechos a escala, cada cuadrito de los dibujos mide en la realidad 1 metro
por 1 metro y en el último diseño el triángulo que sirve de guía es equilátero.
a) ¿Cuál es la cantidad mínima de mosaico que se requiere para cubrir cada pared una vez
que se haya hecho el hueco para la puerta?
____________________
___________________
__________________
b) ¿Cuál es el perímetro de cada hueco para la puerta?
____________________
___________________
__________________
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Consideraciones previas:
Las áreas pedidas implican que al área de la pared se le reste el área que dejará libre cada
uno de los huecos para las puertas. El desafío lleva implícito un fuerte trabajo con la
visualización de las figuras, de la manera en que los alumnos visualicen cada hueco
encontrarán diferentes formas para calcular su área.
El caso más sencillo es el primer diseño pues el hueco está formado por un rectángulo de 4
m de base por 2 m de altura y un semicírculo de radio 2 m, por lo que el área que dejará libre
el hueco es:
Obteniendo:
Es muy probable que en el segundo diseño los alumnos traten de calcular el área del hueco
visualizando que está formado por:
-
Un rectángulo de 4 x 2
Un rectángulo de 2 x 1
Dos cuartos de circunferencia
Dos figuras con un lado curvo, cada una de
las cuales es el resultado de restar a un
cuadrado un cuarto de circunferencia
Otra manera de visualizar es “reacomodando” las partes curvas para notar que las cuatro
forman dos cuadrados. Esta manera de visualizar el hueco permite calcular fácilmente el
resultado: el hueco quitó al muro un área de 12 m2por lo que se requiere comprar como
mínimo 18 m2de mosaicos.
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Finalmente, el tercer diseño es el que probablemente se les dificulte más a los estudiantes.
Se puede hacer calculando las áreas de cada una de las partes para llegar al resultado. Será
importante que los alumnos recuerden que los ángulos interiores de un triángulo equilátero
miden 60º. Con este dato se darán cuenta de que sumando las áreas de las tres partes
curvas se obtiene 1 1 de círculo con radio 1 m, esto permite repasar con los alumnos la
2
suma de fracciones:
.
No obstante, habrá alumnos que prescindan de la suma de fracciones y visualizando las
partes curvas del arco se den cuenta de que, en efecto, se forman con ellas un círculo y la
mitad del otro. Ambas situaciones darán lugar a comprobar si lo que visualizan algunos
puede comprobarse por medio de una suma de fracciones.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
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