Unitrigo1_IP_Lugo_2010

INSTITUCIÓN EDUCATIVA
JUAN HURTADO
Belén de Umbría
UNIDAD DE PRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTO N° 1
TRIGONOMETRÍA GRADO 10° Año 2.010
ESTUDIANTE ____________________________ GRADO ________
1.1. TÍTULO
“INTERPRETEMOS
FENÓMENOS NATURALES
A TRAVÉS DE LA
MEDICIÓN DE TRIÁNGULOS”
1.2. PLANTEAMIENTO
Aristarco de Samos desarrolló la astronomía matemática, que junto con la
matemática griega hicieron surgir la trigonometría para resolver problemas de
astronomía. Hiparco potencia la trigonometría desde sus propiedades, construyó
una tabla de valores de las cuerdas con sus arcos, equivalente a una tabla de
senos. Menelao en su obra Esférica presenta la trigonometría subordinada a la
astronomía.
Claudio Tolomeo, que vivió y trabajó en Alejandría en el año 150 d. C. le da vida
propia a la trigonometría y en su obra Almagesto la desarrolla como la teoría que
conduce a la solución numérica de problemas relacionados con ángulos (“medición
de triángulos”).
1.3. Logro
 Resuelve situaciones problema empleando los conceptos de grados, radianes,
arcos y sectores circulares. ( I Periodo)
1.4. CONDUCTA DE ENTRADA
Resuelva los siguientes planteamientos:
1. Considere los dos triángulos rectángulos OAB y OPQ, localizados en un sistema
cartesiano común.
Q
B
O
A
P
a) ¿Son semejantes estos triángulos?
b) ¿Qué relación puede establecerse entre los ángulos correspondientes de estos
triángulos?
c) Cuáles de los ángulos están en posición normal?
2. Construya ángulos con lado inicial OP, tal que los lados finales pasen por
vértices del polígono.
P
P
O
O
O
P
¿Cuántos ángulos se construyeron en cada caso?
1.5. ORIENTACIÓN TEMÁTICA
Dos semirrectas de origen común determinan un ángulo; el origen común
recibe el nombre de vértice y las semirrectas son los lados del ángulo.
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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Clasificación:
Todo ángulo de acuerdo a su medida en grados, puede clasificarse en:
Agudo: Cuando su medida es inferior a 90º
Recto: Cuando su medida es igual a 90º
Obtuso: Cuando su medida es mayor a 90º
Llano: Cuando su medida es igual a 180º
En un ángulo la semirrecta que rota se llama lado final
y la otra, lado inicial. Orientación: cuando la rotación se
Lado final
hace en Sentido contrario al de las manecillas del reloj se dice
que el ángulo es positivo y si la rotación se hace en el
mismo sentido del de las manecillas del reloj el ángulo
Lado inicial
es negativo.
Ángulo en Posición Normal ó Canónica
Es aquel ángulo que tiene su vértice en el origen de un sistema cartesiano y su lado
inicial coincide con el eje positivo de las abscisas.
Ejemplo:
Dibujar en un plano cartesiano, ángulos en posición normal para cada uno de los
cuadrantes del plano cartesiano.
Ángulos Coterminales
Son dos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado terminal.
Ejemplo:
Un ángulo en posición normal mide 30º. Cuál es la medida de un ángulo coterminal
a este, sabiendo que es negativo y además la rotación no supera a 1 vuelta?
Sistema de Medida Angular
Los ángulos se miden básicamente en dos sistemas de unidades: Sistema
sexagesimal y cíclico ó circular.
Sistema Sexagesimal: La unidad de medida es el grado. Se define como 1/360
parte de la rotación total. 1° = 60’ y 1’ = 60’’ 1º = 3.600”
Ejemplo:
Expresar 67.3° en notación de grados, minutos y segundos.
67.3° = 67° + 0.3 x 60’= 67° 18’
Descomponer 75.115° como 75° + 0.115°
Sistema Cíclico o Circular: En este sistema la unidad de medida es el radián.
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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Un radián es la medida del ángulo cuyo vértice es el centro de la
circunferencia (ángulo central) y sus lados determinan un arco de
circunferencia de longitud igual al radio de la misma.
B
s
O

r
A
Si un ángulo  mide d grados y t radianes, entonces los números d y t están
relacionados mediante la ecuación:
d /180 = t / 
La medida t, en radianes, de un ángulo central , es el cociente de la longitud
del arco subtendido s y el radio de la circunferencia.
t=s/r
El área de un sector circular está dada por:
A = ½ r2 t ó
A=½r.s
Equivalencia entre el Sistema Sexagesimal y el Cíclico
Sabemos que la longitud de la circunferencia es 2π rad y además hay 360º, es
posible, entonces, obtener la equivalencia entre ambos sistemas a partir de la
igualdad 2π rad = 360º, de donde π radianes = 180º
Ejemplos:
1. Si  es un ángulo de 30°, ¿cuál es su medida en radianes?
2. Si  es un ángulo de 4 radianes, ¿cuál es su medida en grados?
3. Hallar la longitud del arco y el área del sector circular de 6 cm de radio cuyo
ángulo central es de /6.
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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4. Hallar la longitud del arco y el área del sector circular de 6 cm de radio cuyo
ángulo central es de 60°.
5. Un arco de una circunferencia de 18 cm de radio, mide 9/2 cm. Hallar el ángulo
subtendido por el arco.
6. El extremo de un minutero de un reloj recorre 7/10 cm en 3 minutos. ¿Cuál es la
longitud del minutero?
1.6. TRABAJO INDIVIDUAL
1. Escriba cada ángulo usando grados, minutos y segundos.
a) 32.25°
c) 201.35°
e) 120.45°
b) 48.428°
d) 113.90°
f) 540.125°
g) -15.128°
h) 59.101°
2. Escriba cada ángulo en forma decimal, dejando como unidades los grados:
a) 18° 50’ 30’’
c) 75° 185’ 90’’
e) 0° 540’ 145’’
g) 128° 55’ 39’’
b) 88° 60’3600’’
d) 3° 12’ 36’’
f) 17° 45’ 50’’
h) 215° 25’ 70’’
3. Verifique los resultados anteriores usando la calculadora científica.
4. Convertir cada una de las siguientes medidas, dadas en grados, a radianes:
a) 30°
c) 180°
e) 330°
g) -60°
i) -660°
b) 225°
d) 15°
f) 120°
h) 135°
j) -300°
5. Convertir cada una de las siguientes medidas, dadas en radianes, a grados:
a) /3
c) 5/6
e) -5/4
g) 11/4
i) 9/5
b) 3/4
d) /4
f) 2/3
h) /2
j) 11/4
6. Hallar la longitud del arco de la circunferencia de radio r y el área del sector
circular que forma el ángulo central  en cada uno de los siguientes casos:
a) r = 7 cm
 = 3/4
c) r = 6 cm
 = 40°
b) r = 4 cm
 = 2/5
d) r = 8 cm
 = 225°
1.7. TRABAJO GRUPAL
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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Reúnase con dos compañeros más y resuelvan los siguientes problemas:
1. ¿Cuál es la medida en grados de un ángulo central que subtiende un arco de
7/360 de la circunferencia de un círculo?
2. Si el radio de un círculo es de 5m, encuentre la medida en radianes de un ángulo
central que subtiende un arco de 25 m.
3. Encuentre el radio de un círculo si un ángulo central de 3 radianes subtiende un
arco de 21 m.
4. En un círculo de radio igual a 5 cm, encuentre la longitud del arco subtendido por
un ángulo central de 4 rad.
5. La rueda de una bicicleta tiene 120 cm. de diámetro. Calcule la distancia
recorrida por la bicicleta cuando la rueda ha dado 100 vueltas, recuerde que en
una vuelta la rueda recorre 2  r cm.
6. ¿A cuántos radianes equivale ¼ de vuelta?
7. Una rueda gira a razón de 48 revoluciones por minuto, exprese esta velocidad
angular en revoluciones por segundo (rev/seg) y en radianes por segundo
(rad/seg).
8. El extremo de un péndulo de 40 cm de longitud describe un arco de 5 cm. ¿Cuál
es el ángulo de oscilación del péndulo?
9. Una vía férrea ha de describir un arco de circunferencia. ¿Qué radio se debe
utilizar si la vía tiene que cambiar su dirección en 25° en un recorrido de 120 m?
10.El minutero de un reloj mide 12 cm. ¿Qué distancia recorre la punta del minutero
durante 20 minutos?
11.Supóngase que la Tierra es una esfera de 7.326 Km. de radio. Encuentre la
distancia que hay desde el ecuador hasta un punto situado a:
a) 36° N de latitud
b) 36° S de latitud
12. El horario de un reloj mide 15 cm. Halle la distancia y el ángulo central, cuando
la punta del horario recorre:
a) 60 minutos
b) 3 horas
c) 12 horas
d) 24 horas
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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