ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Definiciones.

ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Definiciones.
Angulo al centro o ángulo central: es un ángulo que tiene vértice en el centro
de la circunferencia (sus lados contienen a dos radios)
En la figura 1 el áng(AOB) es uno central y se dice que abarca el arco AB.
Angulo inscripto: es un ángulo que tiene vértice en un punto de la
circunferencia y sus lados son secantes a ella.
En la figura 2 el áng(MPN) es uno inscripto y se dice que abarca el arco MN.
Angulo semiinscripto: es un ángulo que tiene vértice en un punto de la
circunferencia y sus lados son uno secante y el otro tangente a ella.
En la figura 3 el áng(RQT) es semiinscripto y se dice que abarca el arco RQ.
Angulo interior: es un ángulo cuyo vértice es un punto interior a la
circunferencia (un punto del circulo) y sus lados son secantes a ella.
En la figura 4 el áng(RPT) es interior (o el SPQ) y se dice que abarca los
arcos RT y SQ.
Angulo exterior: es un ángulo cuyo vértice es un punto exterior a la
circunferencia y sus lados son secantes a ella.
En la figura 5 el áng(APB) es interior (o el CPD) y se dice que abarca los
arcos AB y CD.
Propiedades.
(1) Todo ángulo inscripto es la mitad del ángulo central que abarca el
mismo arco en la circunferencia.
demostración:
se considerarán 3 casos:
a) el centro de la circunferencia pertenece a un lado del ángulo
inscripto. Fig 6
b) el centro de la circunferencia es interior al ángulo inscripto. Fig 7
c) el centro de la circunferencia es exterior al ángulo inscripto. Fig 8
a) O  PB (fig 6)
como el triángulo AOP es isósceles, es isoángulo y si llamamos  al
ángulo APB, el ángulo PAO será también  por lo tanto el ángulo AOB
que es externo en el triángulo AOP será igual a 2
b) O  int áng( APB ) (fig 7)
si consideramos la semirrecta PO y llamamos Q a su intersección con la
circunferencia tendremos dos ángulos inscriptos en la posición del caso
anterior por lo tanto se cumple:
1
ángAOQ
2
1
ángQPB ángQOB
2
entonces,sum andom iem broa m iem bro,tendrem os
ángAPQ
ángAPB
1
ángAOB
2
c) O  ext áng( APB ) (fig 8)
si consideramos la semirrecta PO y llamamos Q a su intersección con la
circunferencia tendremos dos ángulos inscriptos en la posición del caso
anterior por lo tanto se cumple:
1
ángAPQ ángAOQ
2
1
ángQPB ángQOB
2
entonces,restandom iem broa m iem bro,tendrem os
ángAPB
1
ángAOB
2
(2) Todo ángulo semiinscripto es la mitad del ángulo central que abarca el
mismo arco en la circunferencia. (fig 9)
demostración:
la recta PT es tangente a la circunferencia en P por lo tanto PT es
perpendicular a OP, y si llamamos  al ángulo APT, como el triángulo AOP
es isósceles, es isoángulo, entonces, tanto el ángulo PAO como el APO
serán 90 -  , por lo tanto el ángulo AOP que es el tercero en el triángulo
AOP será igual a 2 (= 180-2.(90 -  )).
(3) Todo ángulo interior es igual a la semisuma de los ángulos centrales
que abracan los mismos arcos en la circunferencia. (fig 10)
demostración:
se considera el segmento QT, de este modo se determina el triángulo PQT
(donde el ángulo RPT es exterior al mismo) y los ángulos inscriptos STQ y
RQT.
En el triángulo PQT se cumple que ángRPT = ángPQT + áng QTP
Por ser inscripto ángRQT = ½ ángROT
Por ser inscripto ángQTS = ½ ángQOS
Entonces
ángRPT = ángPQT + áng QTP = ½ ángROT + ½ ángQOS =
½ ( ángROT +ángQOS)
(4) Todo ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los ángulos
centrales que abracan los mismos arcos en la circunferencia. (fig 11)
demostración:
se considera el segmento AC, de este modo se determina el triángulo APC
(donde el ángulo ADC es exterior al mismo) y los ángulos inscriptos DAC y
ACB.
En el triángulo APC se cumple que ángDAC = ángACP + áng APC de donde
áng APC = ángDAC - ángACP
Por ser inscripto ángDAC = ½ ángDOC
Por ser inscripto ángACB = ½ ángAOB
Entonces
áng APC = ángDAC - ángACP = ½ ángDOC - ½ ángAOB =
½ (ángDOC – ángAOB)
ARCO CAPAZ
En virtud de las propiedades vistas anteriormente, los ángulos inscriptos
APB que abarcan todos el arco AB son iguales entre si e iguales a la
mitad del central AOB que abarca el mismo arco, además los ángulos
semiinscriptos ABT y BAT’ que abarcan el arco AB son iguales entre si
e iguales a la mitad del central AOB que abarca el mismo arco, por lo
tanto todos los puntos P y los puntos A y B cumplen una misma propiedad:
son vértices de ángulos iguales cuyos lados pasan por A y B y pertenecen
a un mismo semiplano de borde AB. Constituyen entonces un lugar
geométrico que denominaremos ARCO CAPAZ de ángulo  para el
segmento AB. (fig. 12)
Construcciones del arco capaz.
Dados un segmento AB y un ángulo 
(1)
Se construye un triángulo AOB isósceles con AO = OB y
áng(AOB)= 2 . Se traza el arco AB contenido en la circunferencia
de centro O y radio OA = OB . Cualquier punto P de ese arco
cumple que áng(APB)=  .
(2)
Se construye un triángulo APB isósceles con AP = PB y
áng(APB)=  . Se traza el arco AB contenido en la circunferencia
circunscripta al APB. Cualquier punto P de ese arco cumple que
áng(APB)=  .
(3)
Se construye un triángulo APB rectángulo en A y
áng(ABP)= 90º-  . Se traza el arco AB contenido en la
circunferencia circunscripta al APB. Cualquier punto P de ese arco
cumple que áng(APB)=  .
(4)
Se traza la semirrecta r de origen A que forma con AB un ángulo
igual a 90º-  , se traza la recta m mediatriz del segmento AB. Se
considera el punto O intersección de r y m. Se traza el arco AB
contenido en la circunferencia de centro O y radio OA = OB .
Cualquier punto P de ese arco cumple que áng(APB)=  .
Observación: las construcciones (1) y (3) solo sirven para ángulos
agudos.
Definición
Se denomina lugar geométrico de Tales al arco capaz de 90º para un
segmento AB y es la semicircunferencia de diámetro AB. (fig 13)
Definición
Cuadrilátero inscripto en una circunferencia: es aquel cuyos vértices
pertenecen a la circunferencia. (fig 14)
Propiedad
La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea
inscriptible en una circunferencia es que sus ángulos opuestos sumen
180º.
Esta propiedad implica que:
a) Si un cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia entonces sus
ángulos opuestos suman 180º.
b) Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero suman 180º entonces es
inscriptible en una circunferencia.
Demostraremos sólo la a): (fig 15)
H) (ABCD) inscripto en la C(O,r)
T) áng(ABC) + áng(ADC) = 180º
Si llamamos  al áng(ABC) entonces, por ser inscripto en la C(O,r) se
cumple que áng(AOC) = 2 (que es el central que abarca el mismo arco
que el inscripto). El otro ángulo central será 360º- 2 y por tanto, el
ángulo inscripto correspondiente, el áng(ADC) será 180º-  . De lo que se
concluye que áng(ABC) + áng(ADC) = 180º.
Observación
Si el arco de circunferencia AC que contiene a B es el arco capaz de
ángulo  para el segmento AC, entonces el arco AC que contiene a D
será el arco capaz de ángulo 180º-  para el segmento AC.