TEMA 7: SEMEJANZA

TEMA 7-8: SEMEJANZA-TRIGONOMETRIA. RESUELVE Y COMPRUEBA
Ejercicio nº 1.En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la
distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa,
¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?
Solución:
En este mapa, 7,5 cm representan 153 km reales.
7,5 cm  153 km  15 300 000 cm
Distancia mapa
7,5
1
Escala 


Distancia real
15 300 000 2040 000
La escala es 1:2 040 000.
Si en el mapa hay dos poblaciones que
distan 12,25 cm, la distancia real será:
12,25 · 2 040 000  24 990 000 cm  249,9 km
Ejercicio nº 2.Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O.
Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.
Solución:
La longitud de un puente será x  10,2; la del otro, y  6,5; por tanto,
el objetivo está en calcular el valor de x e y.
Los triángulos que se forman son semejantes (sus tres ángulos son iguales) y son:
Se cumple, pues, la proporcionalidad entre lados respectivos:
15,9 10,2
10,6  10,2

 x
 6,8 m
10,6
x
15,9
15,9
y
15,9  6,5

 y
 9,75 m
10,6 6,5
10,6
Las longitudes de los puentes son: 6,8  10,2  17 m y 9,75  6,5  16,25 m.
1
Ejercicio nº 3.Halla las razones trigonométricas de los ángulos
 y  del triángulo ABC sabiendo que es rectángulo.
Solución:
Sea x la longitud de la hipotenusa; por el teorema de Pitágoras:
12,962  17,282  x2  x2  466,56  x  21,6 cm
Calculamos las razones trigonométricas de  y :
12,96
17,28
12,96
sen  
 0,6
cos  
 0,8
tg  
 0,75
21,6
21,6
17,28
sen  
17,28
 0,8
21,6
cos  
12,96
 0,6
21,6
tg  
17,28
 1,3
12,96
Ejercicio nº 4.Sin usar calculadora, completa la siguiente tabla 0    90:

60
sen 
22
cos 
tg 
1
NO
EXISTE
Solución:

90
sen 
60
0
45
1
32
0
22
cos 
0
1/2
1
2 2
tg 
NO
EXISTE
3
0
1
Ejercicio nº 5.-
Calcula sen  y cos  de un ángulo agudo, , sabiendo que la tg  
4
.
3
Solución:
2
Si tg  
4
3

sen  4

cos  3
 sen  
4
cos 
3
2
16
4

sen 2   cos 2   1   cos    cos 2   1 
cos 2   cos 2   1
9
3

25
9
3
cos 2   1
 cos 2  
 cos  
9
25
5
Luego, sen  
4 3

3 5
 sen  
4
5
Ejercicio nº 6.-
De un ángulo  sabemos que la tg  
3
y que 180    270Calcula sen 
4
y cos 
Solución:
Como tg  
3
4

sen  3

cos  4
 sen  
3
cos 
4
sen 2   cos 2   1
25
 19
cos 2   cos 2   1 
cos 2   1

3
16
sen   cos   6
4

16
4
cos 2  
 cos   
por estar en el tercer cuadrante.
25
5
3  4
3
3
Asi, sen        
 sen   
4  5
5
5
Ejercicio nº 7.Representa en la circunferencia goniométrica sen 150, cos 150 y tg 150.
Calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 150 con un ángulo
del primer cuadrante.
Solución:
En la circunferencia goniométrica observamos:
sen 150°  sen 30°
 sen 150° 
1
2
3
2
3
 tg 150°  
3
cos 150°  cos 30°  cos 150°  
tg 150°  tg 30°
3
Ejercicio nº 8.Carlos sube por una rampa de 35 m hasta el tejado de su casa. Estando ahí, mide la visual entre su
casa y la rampa, resultando ser de 70. Calcula la altura de la casa de Carlos y el ángulo que hay
entre la rampa y el suelo.
Solución:
Llamamos h a la altura de la casa y  al ángulo
que hay entre la rampa y el suelo.
Calculamos : 90  70    180    20
h
 h  35  cos 70  35  0,34
35
h  11,9 m es la altura de la casa de Carlos.
Calculamos h: cos 70 
Ejercicio nº 9.Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se
mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50; nos
alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35. Averigua la altura de la
estatua y la superficie del lago.
Solución:
Hacemos una representación. Llamamos:
h  altura de la estatua
x  radio del lago



h
tg 35 
 h   x  45   tg 35

x  45
tg 50 

h
x
 h  x  tg 50
x  1,19   x  45  0,7

x  tg 50   x  45   tg 35
 1,19x  0,7x  31,5
 0,49x  31,5


x  64,29 dm
Luego h  64,29 · 1,19  76,51 dm  7,65 m
Calculamos la superficie del lago circular:
ACIRCULO    x 2  3,14   64,29  12978,26 dm2  129,78 m2
2
La superficie del lago es de 129,78 m 2.
4
Ejercicio nº 10.Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa.
Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa:
Solución:
Trazando la altura desde la casa al lado AB,
conseguimos dos triángulos rectángulos: CHA y CHB.
Del dibujo deducimos:
h

tg 45 
 h  x  tg 45

x

h
tg 42 
 h   8  x   tg 42 

8x
x tg 45   8  x  tg 42

x   8  x  0,9

x  7,2  0,9x
 1,9x  7,2 
 x  3,79 km, luego h  3,79 km
De este modo hemos calculado el valor de los catetos en ambos triángulos rectángulos. Aplicando el
teorema de Pitágoras, obtendremos la hipotenusa en cada caso:
b  h 2  x 2  2   3,79   3,79 2  5,36 km
2
a  h 2   8  x   3,792  4,212  5,66 km
2
La ambulancia A está a 5,36 km de la casa, y la ambulancia B, a 5,66 km.
5