algunos aspectos de las matemáticas a comienzos del siglo xx

ALGUNOS ASPECTOS DE LAS MATEMÁTICAS A COMIENZOS
DEL SIGLO XX: UNA ÉPOCA DE GRANDES CAMBIOS EN LA
CIENCIA,
El Escorial, 25-29 de Julio de 2005
INTRODUCCIÓN
El último cuarto del siglo XIX supuso un largo periodo de paz y estabilidad en Europa que propició un enorme desarrollo económico y cultural. La llamada Segunda Revolución Industrial tuvo lugar esencialmente como consecuencia de los nuevos descubrimientos científicos, que originaron la aparición de una serie de innovaciones tecnológicas de gran impacto social. Este reconocimiento del papel social de la Ciencia favoreció un florecimiento sin precedentes de los avances científicos en todos los campos.
Las Matemáticas no fueron ajenas a este proceso. En los últimos años del siglo XIX
se sientan las bases de gran parte de los desarrollos posteriores. Entre otras aportaciones, podemos citar la introducción de las estructuras algebraicas y topológicas, el desarrollo de la Geometría diferencial intrínseca, la culminación del proceso de rigorización
del Análisis, la aparición de los primeros sistemas lógicos rigurosos y de la Teoría de
conjuntos, la axiomatización completa de la Geometría, etc. Y junto a un ingente desarrollo interno, su papel de herramienta esencial para la descripción y modelización de la
realidad motivó también el desarrollo y creación de nuevas técnicas y métodos para
resolver los problemas planteados por las ciencias de la Naturaleza y la Ingeniería.
En el curso se pretende ilustrar este momento de cambio y gran creatividad en las
Matemáticas dando cuenta de una serie de contribuciones significativas, tanto en el
campo más abstracto como en el de las aplicaciones.
PROGRAMA
Lunes, 25 de Julio.
10:30h. Prof. M. Valdivia Ureña, Universidad de Valencia: La aritmética de los números ordinales y el Axioma de Elección.
12h. Prof. F. Bombal Gordón, U.C.M.: Las ecuaciones integrales y el nacimiento del
espacio de Hilbert.
Resumen: A lo largo del siglo XIX diversos problemas originados en diferentes áreas
de las matemáticas (Análisis, Geometría, Física Matemática, etc.) conducen al planteamiento de una ecuación integral. La impresión general a finales el siglo XIX era que la
Teoría de Ecuaciones Integrales estaba muy lejos de poder ofrecer resultados satisfacto-
rios. Por ello, la solución de I. Fredholm (1900) supuso una gran sorpresa. En sus trabajos se establecía un método para resolver gran número de ecuaciones integrales, pero
no se percibía la razón de por qué este método funcionaba. Ese fue el origen del interés
de D. Hilbert por estos temas. Sus aportaciones en la primera década del siglo XX fueron decisivas para el desarrollo de una “teoría de funciones de infinitas variables” estableciendo un marco adecuado para la misma: el espacio de Hilbert y la Teoría Espectral.
En la conferencia se intentará dar cuenta de este proceso de clarificación y desarrollo de
nuevas herramientas para resolver un viejo problema.
16:30h. Mesa Redonda. Invitado adicional: Prof. P. Jiménez Guerra, U.N.E.D.
Martes, 26 de Julio.
10h. Prof. J. Mª Montesinos Amilibia, U.C.M.: Gauss en Topología.
12h. Prof. J. R. Delgado Pérez, U.C.M.: Estructuras algebraicas y aritméticas a principios del siglo XX
Resumen: En el entorno de 1900 matemáticos de la talla de Hilbert, Minkowski o
Poincaré, entre otros, sientan las bases para el desarrollo de la Teoría Algebraica de
Números, Geometría Algebraica y Geometría Aritmética, así como del Álgebra moderna. En la conferencia se tratarán algunos de los hitos de este proceso científico y se
mostrará su vigencia al cabo de un siglo.
16h. Mesa Redonda. Invitado Adicional: Prof. C. Andradas Heranz, U.C.M.
Miércoles, 27 de Julio.
10h. Prof. A. Ibort Latre. Universidad Carlos III.: Einstein y la crisis de la ciencia a
comienzos del siglo XX
Resumen: A comienzos del siglo XX tuvieron lugar importantes cambios en los fundamentos del conocimiento científico; unos fueron impulsados por el colapso de la Física Clásica y otros por la crisis de los fundamentos de la Matemática. Unos y otros fueron siendo superados con una elaboración mas profunda y cuidadosa de la naturaleza
del conocimiento cientifico. Einstein jugó un papel crucial con sus contribuciones en el
desarrollo de de esta crisis, aunque la refutación de su posterior acerada critica a los
fundamentos epistemológicos de la mecánica cuántica nos conduce a una nueva y más
profunda crisis cuya solución todavía no entrevemos
12h. Prof. L. J. Boya. Universidad de Zaragoza: Geometría Diferencial al cambio de
siglo XIX/XX.
Resumen: Después de Riemann, la Geometría Diferencial toma el relevo de la geometría proyectiva como líder. Se comentará el Calculo Diferencial Absoluto de Ricci, y el
subsiguiente análisis tensorial, con las aportaciones de Levi-Cività, Weyl, etc., terminando con una apertura a las ideas geométricas en la física de la Teoría General de la
Relatividad de Einstein.
16:30h. Mesa Redonda. Invitado adicional: Prof. I. Sols, U.C.M.
Jueves, 28 de Julio
10h. Prof. Ildefonso Díaz Díaz. U.C.M.: Einstein y la Física-Matemática en España
Resumen: La visita de A. Einstein a nuestro país en 1923 tuvo un gran impacto lo que,
entre otras cosas, ha permitido reconstruir, años más tarde, el ámbito científico que le
acogió y su relación con distintos catedráticos de Física-Matemática (véanse distintos
trabajos de J. M. Sánchez-Ron y A. Roca, entre otros). Una breve aproximación al
tema, sus antecedentes y el papel jugado por la Real Academia de Ciencias serán presentados en la conferencia.
12h. Prof. J. Manuel Vegas Montaner, U.C.M.: Los sistemas dinámicos en el cambio
del siglo XIX: de Poincaré. a Birkhoff
*
Resumen: La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias se inicia en
1882 con una serie de artículos de Poincaré. Tras aplicar estos nuevos métodos a la
mecánica celeste en una obra fundamental, formula multitud de problemas, muchos de
los cuales quedan abiertos a su muerte en 1912. Su discípulo Birkhoff completa muchos de ellos y establece la noción abstracta de "sistema dinámico" y los conceptos
esenciales de la teoría. Paralelamente, Liapunov desarrolla en Rusia (1892) una potente
teoría de la estabilidad del movimiento en sistemas mecánicos, iniciando una importante
tradición muy bien representada en la "escuela de Gorki", que se reclama seguidora de
la tradición de Poincaré y a la que se debe, en buena medida, la supervivencia de la
misma.
16:30h. Mesa Redonda. Invitado adicional: Prof. M. A. Herrero, U.C.M.
Viernes, 29 de Julio
10h. Prof. Teófilo Valdés Sánchez. U.C.M.: El cambio de siglo del XIX al XX: un
puente hacia la modernidad en la Probabilidad y la Estadística.
Resumen: En el salto entre los siglos XIX y XX se dieron los primeros pasos relevantes
hacia la modernidad tanto en la Probabilidad como en la Estadística. La charla centrará
la atención sobre científicos de las escuelas rusa e inglesa (Markov, Lyapunov y K.
Pearson, fundamentalmente) y se comentarán las prolongaciones posteriores de sus
trabajos pioneros.
Prof. M. Martínez Pérez, U.C.M.: Viejos e importantes problemas abiertos de
geometría elemental, al fin resueltos.
12h.
Resumen: A finales del siglo XIX permanecían abiertos (entre otros) tres importantes
problemas “teóricos” de la geometría elemental, planteados por la obra de los más importantes geómetras griegos (Eudoxo, Euclides y Arquímedes). Se trataba de los siguientes:
a) La cuadratura del círculo.
b) Hallar una axiomatización completa de la geometría euclídea.
c) Decidir si es posible una teoría del volumen de poliedros basada en el método de “disección” euclídeo.
Estos tres grandes problemas fueron resueltos finalmente en los últimos años del siglo
XIX (F. Lindemann, D. Hilbert, M. Dehn). En esta charla repasaremos sumariamente
estos resultados.