La regla y el compás en la enseñanza

La regla y el compás en la enseñanza
Las construcciones con regla y compás en la Enseñanza de la Geometría
Las construcciones con regla y compás se remonta a los tiempos de Euclídes y Platón.
Varilly nos indica: ''la exclusión de otros instrumentos de dibujo se debe a la influencia de
Platón quién concibió la regla y el compás como instrumentos "ideales" en contradicción
de otros instrumentos prácticos que rechazó como mecánicos''
Cuando mencionamos las construcciones con regla y compás debemos aclarar que no es
con cualquier regla la que se puede utilizar en dichas construcciones. Varilly comenta que:
'' La regla y el compás usados por Platón y Euclides difieren de los instrumentos
modernos en dos aspectos importantes. En primer lugar, la regla no es una regla
milimétrica, es decir, no posee calibraciones ni graduaciones de ningún tipo para cumplir
la función secundaria de medir distancias: es simplemente un instrumento que permite
trazar una línea recta entre dos puntos dados... En segundo lugar, el compás de Euclides
puede trazar un círculo cuyo centro es un punto dado y que pasa por un segundo punto
dado. El compás ''moderno'', confeccionado de metal(con o sin un travesaño para mayor
rigidez) permite fijar el radio antes de aplicar su punto al centro del círculo deseado: con
este compás podemos trazar un círculo con '' un centro dado y un radio dado''. Sin
embargo, esta distinción es de menor importancia, ya que las primeras tres proposiciones
del libro I de Euclides establecen la equivalencia entre los dos tipos de compás''
De esta manera, se debe considerar estos dos aspectos al referirse a dichas
construcciones. Más aún, se debe considerar la posibilidad de realizar construcciones
donde se utilice solamente la regla o solamente el compás.
La geometría juega un papel fundamental en el aprendizaje de los conceptos matemáticos
dado que liga los aspectos propiamente conceptuales de la materia con aspectos ligados
a la vida cotidiana. Esto permite al educador idear un plan didáctico que le permita a los
estudiantes aplicar sus experiencias cotidianas al aprendizaje de los conceptos
estudiados por medio de actividades complementarias o extraclase donde se contemplen
los aspectos psicomotrices del aprendizaje. En particular, las construcciones con regla
y compás cumplen con este cometido.
Martínez indica: Solo los conceptos que son construidos por los propios niños son
conocimientos realmente operativos, permanentes, generalizables a contextos diferentes
del aprendizaje. Por el contrario, los conocimientos que simplemente trasmitimos a los
alumnos, pero que no son construidos por ellos mismos, no quedan integrados en sus
estructuras lógicas y, en consecuencia, solo pueden ser aplicados en condiciones muy
similares a las iniciales del aprendizaje.
Esta situación plantea dos aspectos fundamentales del proceso de enseñanzaaprendizaje. Primero, el educador debe tener bien claro cuales son los conceptos que
quiere enseñar y los medios más adecuados para trasmitirlos al estudiante de forma que
el pueda construir su conocimiento, lo que implica un dominio amplio de los temas a
tratar. Segundo, un proceso constructivo mediante el cual el estudiante mismo forme sus
conceptos.
El programa oficial de secundaria contempla las siguientes construcciones básicas con
regla y compás: la construcción de ángulos congruentes, construcción de la bisectriz de
un ángulo, bisección de un segmento, mediatriz de un segmento, triángulo rectángulo,
triángulo equilátero y las construcciones de las rectas notables y puntos de intersección
de estas en un triángulo.
Se pueden utilizar estas construcciones básicas para realizar otras construcciones más
complejas las cuales pueden ser asignadas a los estudiantes como trabajo extraclase.
1. Construir la recta tangente a un círculo desde un punto en una circunferencia.
Esta construcción permite aplicar las construcciones de rectas perpendiculares a
un segmento dado. Para su construcción sea K un círculo con centro O y sea P un
punto de su circunferencia. Proceda a conectar los puntos O y P. Desde P,
construya la recta perpendicular a OP (esta es una de las construcciones básicas
ya apuntadas). Asi la recta obtenida es la recta buscada.
2. Construir la recta tangente a
circunferencia,usando regla solamente
un
circulo
desde
un
punto
de
su
Sea E un punto de la circunferencia dada. Escoja cuatro puntos diferentes A, B, C,
D 2 de la circunferencia. Trace las rectas AB, BC, CD, DE, EA. Sea L la
interseccion de AB con DE y sea N la intersección de CD con EA. Trace la recta
LN y sea M su intersección con BC. La recta Buscada es la recta EM.
3. Construir las dos rectas tangentes a un círculo dado desde un punto externo
Sea K un círculo con centro O( note que el centro del circulo se puede construir
fácilmente), y sea P un punto externo a ello. Conecte OP y sea C el punto que
biseca este segmento. Describa el círculo con centro C y radio CO. Sean A;B sus
intersecciones con K. Las tangentes buscadas son las rectas PA y PB.
4. Construir las tangentes comunes externas a dos círculos dados.
Sean K y L dos círculos con respectivos centros O, Q y radios k y l. Supongamos,
sin perdida de generalidad que k < l. Describa el círculo M de radio l - k y centro en
Q. Construya las tangentes OS y OT desde O a M (construcción anterior).
Prolongue los radios QS y QT de M hasta cortar L en los puntos A y B
respectivamente. Construya el radio OC de K paralelo a QA y al mismo lado de la
recta OQ (construcción básica). Construya el radio OD de K paralelo a QB y al
mismo lado de OQ. Conecte AC, BD. Estas últimas son las tangentes comunes a
K y L.
5. Construir las tangentes comunes internas a dos círculos dados
Sean k y L dos círculos con centros respectivos O, Q y radios k, l que no tienen
intersección. Conecte OQ y construya los diámetros CD de K y AB de L
perpendiculares a OQ tal que A y C queden del mismo lado de la recta OQ.
Conecte AD y BC. Sea P su punto de intersección. Construya las tangentes PE,
PR a K y prolónguelas hasta tocar L en S y T. Las rectas ES y RT son las
tangentes buscadas.
En las construcciones anteriores puede observar que todas las construcciones hechas se
basan en las construcciones básicas estudiadas en secundaria pero presentan un nivel de
dominio mayor. Estos ejercicios sirven para repasar las construcciones vistas en clases
pues durante su elaboración se deben de aplicar las construcciones básicas como previas.
Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Si desde un punto P trazamos una secante a una circunferencia C con centro O, que corta
a ésta en los puntos A y B, el producto PA·PB se mantiene constante independientemente
de la secante trazada. A este producto se le llama potencia del punto P respecto de la
circunferencia C.
Llamando d a la distancia del punto P al centro O y r al radio de la circunferencia, se
obtiene, si P es exterior a la circunferencia,
Pot(P, C) = d2 - r2
mientras que si P es interior:
Pot(P, C) = r2 - d2