GEOMETRÍA PLANA - Ficha 4 - Lugares y CONSTRUCCIONES

CONCEPTO DE LUGAR GEOMÉTRICO
Introducción:
A partir de objetos ya conocidos se generaliza el concepto de Lugar Geométrico,
que abarca a múltiples problemas de Geometría plana y del Espacio.
Se estudian con detalles los más conocidos y luego se resuelven dos problemas:
uno de construcción y otro que consiste en hallar un lugar geométrico de un punto
variable en el plano.
1. LUGARES GEOMÉTRICOS ELEMENTALES
Circunferencia:
La circunferencia es el conjunto de los puntos del plano que cumplen que su
distancia a un punto fijo dado es constante.
Se puede definir por comprensión: Cfa(O, r) ={X є Ω / d(X,O) = r}.
En este conjunto están todos los puntos del plano que satisfacen la condición de
distar r de O, y sólo ellos.
Decimos en otros términos:
Dados un punto O y un número real r >0, se llama circunferencia de centro O y radio
r, al lugar geométrico de los puntos del plano que distan de O la distancia r.
Mediatriz de un segmento:
Teniendo en cuenta que la mediatriz de un segmento es el conjunto de los puntos
del plano que equidistan de sus extremos, podemos definir:
Dados dos puntos A y B se llama mediatriz del segmento AB al lugar geométrico
de los puntos del plano que equidistan de A y de B.
mz( ( AB)  {X   / d ( X , A)  d ( X , B)}
Bisectriz de un ángulo:
El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas
secantes a y b, es la unión de las cuatro bisectrices de los ángulos que ellas determinan.
bz( ((a, b))  {X   / d ( X , a)  dX , b)}
Paralela media:
El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas
paralelas a y b, es la recta paralela a ambas y a igual distancia de a y de b.
{ X   / d ( X , a)  dX , b)}
Unión de paralelas:
Dada una recta r y un número real d, se llama unión de paralelas al lugar
geométrico de los puntos del plano que distan de r la distancia d.
{X   / d ( X , r )  d}
2. PROBLEMAS
Problema 1.
T y M son puntos fijos en la recta r. Se consideran las circunferencias C
variables, tangentes a la recta r en el punto T. Por el punto M se traza la otra recta
tangente a C , siendo L el punto de contacto. Hallar el lugar geométrico de L.
Solución:
Se observa que los dos segmentos MT y ML son iguales, por ser segmentos de
tangentes desde un mismo punto (M). Además M y T son fijos, por lo que d(M,L) es
constante, ya que d(M,L) = d(M,T). Conclusión: los puntos L equidistan de M entonces
están en la circunferencias de centro M y radio d(M,T)
Es decir que el lugar geométrico de L está incluido en la circunferencia de centro
M. Ahora vamos a estudiar si todos los punto de dicha circunferencia son punto del
lugar, o hay que excluir a alguno.
CONSTRUCCIONES
Introducción:
Nos referimos en este material a la posibilidad de construir figuras geométricas
utilizando únicamente regla y compás.
Este problema de la constructibilidad de figuras ha sido objeto de estudio desde
los geómetras griegos hasta nuestros días.
Existen problemas que pueden resolverse utilizando sólo regla y compás, y
existen otros, para los que se demuestra que dicha construcción es imposible. Estos
detalles no serán expuestos en este trabajo, el cual sólo atenderá a algunos de aquéllos
problemas que si son resolubles mediante estos dos instrumentos.
Al decir “regla y compás” nos referimos a la construcción utilizando rectas y
circunferencias. Entendemos que las construcciones son teóricas, y que los dibujos o
gráficos constituyen un instrumento valioso; pero no debemos confundir la construcción
física (que invariablemente tiene errores) con la que es nuestro objeto de estudio.