Documento 219885

SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES II.
OPCIÓN A
EJERCICIO 1: Sea la igualdad AX + B = A, donde A, X y B son matrices cuadradas
de la misma dimensión.
a) Despeje la matriz X en la igualdad anterior sabiendo que A tiene inversa.
 2 5
 y B =
b) Obtenga la matriz X en la igualdad anterior siendo A = 
1
3


 0  3

 .

1
2


Solución.
Apartado a)
AX  B  A  AX  A  B  A1 AX  A1  A  B  
 IX  A1 A  A1 B  X  I  A1 B
Apartado b)
Calculamos A 1 :
A
2 5
 6  5  1  A tiene matriz inversa.
1 3
 2 1
 ;
A  
 5 3
 3  5

adj(A)  
 1 2 
Por tanto:
 3  5


 1 2   3  5 

1
.
A 
 
1
 1 2 
1
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Luego:
 1 0   3  5  0  3 1 0   5  19   4 19 
  

  
  
  

X  
 0 1    1 2   1 2  1 0    2 7   2  6 
  4 19 

En consecuencia la matriz buscada es: X  
 2  6
EJERCICIO 2: Sea la función
x 2  x
si x  0

f ( x)  
x

si x  0
 x  1
a) Analice la continuidad y derivabilidad de la función f en su dominio.
b) Determine la asíntota horizontal, si la tiene.
c) Determine la asíntota vertical, si la tiene.
Solución:
Apartado a)
El dominio de definición es todo    1 ya que el denominador de la segunda
función se anula para x = -1, mientras que la primera función es continua puesto que
es una función polinómica.
La función f(x) en el intervalo (, 0) está definida mediante el polinomio
x  x luego es continua y derivable en todos los puntos del intervalo.
x2
En el intervalo (0,  ) la función f ( x) 
es una función que no está
x 1
definida para x = -1, punto que no pertenece al intervalo (0,  ) , por lo tanto, la
función no se anula en el denominador para ningún valor real positivo, es decir, la
función es continua y derivable en todos los puntos de este intervalo.
2
Continuidad de la función en x = 0.
0
0.
0 1
f ( x)  ?
1. f (0) 
2.
lim
x 0
Estudiemos los límites laterales.
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2a.

f ( x)  lim x 2  x  0
lim
f ( x)  lim
x0
2b.

lim

x 0 
x0
x 0 
x
0

0
x 1 0 1
Luego la función es continua en el punto x = 0.
Derivabilidad de la función en x = 0.
0  h   0  h  0 
f (0  h)  f (0)
h2  h
 lim

lim
h
h
h
h 0
h 0
h 0
hh  1
h 1
 lim
 lim
1
h
1
h 0
h 0
0h
0
f (0  h)  f (0)
h
1
f  (0)  lim
 lim 0  h  1
 lim
 lim
1
h
h
h 0
h 0
h 0 hh  1
h 0 h  1
2
f  (0)  lim
Por lo tanto, la función es derivable en el punto x = 0.
Veamos también la definición de derivada de una función en un punto,
calculando, en este caso, las derivadas laterales en el punto x = 0.
Estudiemos, en primer lugar, la derivada de la función en cada trozo y para
x  0.
si x  0
 2x  1

f ( x)  
1

si x  0
 x  12
f  (0)  lim f x   lim 2 x  1  0  1  1
x 0
f  (0)  lim
x 0 
x 0
1
x  1
2

1
0  12
1
Luego la función es continua y derivable en todo  .
Apartado b)
Veamos en el intervalo (, 0) .
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lim f x  lim x
x
x
2
 x  lim  x    x   lim x 2  x   .
2
x
x
Es decir, no tiene asíntota horizontal a la izquierda.
lim f x   lim
x 
x 
x
 1. Entonces la recta y = 1 es una asíntota horizontal de
x 1
f a su derecha.
Apartado c)
La función no tiene ninguna asíntota vertical puesto que es continua en todo  .
EJERCICIO 3: Un turista que realiza un crucero tiene un 50% de probabilidad de
visitar Cádiz, un 40% de visitar Sevilla y un 30% de visitar ambas ciudades. Calcula
la probabilidad de que:
a)
b)
c)
d)
Visite al menos una de las dos ciudades.
Visite únicamente una de las dos ciudades.
Visite Cádiz pero no Sevilla.
Visite Sevilla, sabiendo que ha visitado Cádiz.
Solución:
Consideremos los siguientes sucesos:
C = {El turista visita Cádiz}.
S= {El turista visita Sevilla}.
Y las probabilidades:
P(C) = 0.5; P(S) = 0.4; PC  S   0.3
Apartado a)
PC  S   PC   PS   PC  S   0.5  0.4  0.3  0.6
Apartado b)
P (visitar sólo Cádiz) = PC   PC  S   0.5  0.3  0.2
P (visitar sólo Sevilla) = PS   PC  S   0.4  0.3  0.1
P (visitar únicamente una de las dos ciudades) = P (visitar sólo Cádiz) +
+ P (visitar sólo Sevilla) = 0.2 + 0.1 = 0.3
Apartado c)
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P (visitar sólo Cádiz) = PC   PC  S   0.5  0.3  0.2
Apartado d)
 C   PPCCS   00..53  0.6
PS
EJERCICIO 4: El tiempo (en horas) que permanecen dos coches en un determinado
taller de reparación, es una variable aleatoria con distribución Normal de desviación
típica 4 horas.
a) Se eligieron, al azar, 16 coches de taller y se comprobó que, entre todos,
estuvieron 136 horas en reparación. Determine un intervalo de confianza, al
98.5% para la media del tiempo que permanecen dos coches en ese taller.
b) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra que permita estimar la
media del tiempo que permanecen en reparación los coches de ese taller con un
error en la estimación no superior a una hora y media y con el mismo nivel de
confianza del apartado anterior.
Solución:
Apartado a)
Sea X = {variable aleatoria tiempo (en horas) que permanecen dos coches en un
determinado taller de reparación}.
X  N , 4.
La media de horas que estuvieron los coches en el taller será:
x
136
 8 .5
16
El intervalo de confianza para la media del tiempo que los coches ocupan el
taller será:


 
 x  z
, x  z

2
2
n
n

Calculemos z  :
2
Nivel de confianza: 98.5%, es decir, 0.985.
Entonces el nivel de significación   0.015  z  z 0.015  z 0.0075  2.43
2
5
2
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Sustituyendo:


 
 x  z
, x  z
  8.5  2.43, 8.5  2.43  6.07, 10.93 horas.
2
2
n
n

Por lo tanto, el tiempo medio que permanecen los coches en el taller está entre
6.07 horas y 10.93 horas con un nivel de confianza del 98.5%.
Apartado b)
El tamaño de la muestra seleccionada se calcula mediante la siguiente expresión:
 z  
n 2 
 error 


2
Los datos de los que disponemos son lo siguientes:
Error máximo: 1.5 horas.
Nivel de confianza: 98.5%. Es decir z  2.43
2
Ley de probabilidad: N ,4
De esta forma:
 2.43 4 
n
  41.9
 1.5

2
En consecuencia, el tamaño mínimo de coches que debemos coger de la muestra
debe ser de 42 para que el error cometido por el intervalo de confianza para la media sea
de 1.5 horas.
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OPCIÓN B
EJERCICIO 1:
a) Dibuje el recinto definido por las siguientes restricciones:
x  y  2; x  y  0; x  0;
y4
b) Determine el máximo y el mínimo de la función F (x, y) = x + y en el recinto
anterior y los puntos donde se alcanzan.
1 4
c) ¿Pertenece el punto  ,  al recinto anterior? Justifique la respuesta.
3 3
Solución:
Apartado a)
y=4
(4, 4)
(0, 4)
x=0
x-y=0
(0, 2)
(1, 1)
(0, 0)
(2, 0)
7
x+y=2
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Cada recta divide al plano en dos semiplanos. Para ver que semiplano determina dad
desigualdad tomamos un punto cualquiera de uno de los semiplanos y vemos si
verifica la desigualdad.
Los vértices del polígono que constituye el recinto son (1, 1), (0, 2), (0, 4) y (4, 4).
Apartado b)
Sabemos que una función alcanza su máximo y mínimo absolutos en los puntos
vértices del recinto que constituye el conjunto de soluciones posibles.
Veamos, en cual de ellos, la función F (x, y) = x + y tiene su valor máximo:
F (1, 1) = 1 + 1 = 2
F (0, 2) = 0 + 2 = 2
F (0, 4) = 0 + 4 = 4
F (4, 4) = 4 + 4 = 8
El valor máximo de la función objetivo se alcanza en el punto (4, 4)
El valor mínimo de la función se alcanza en los puntos (1, 1) y (0, 2), así como
en todos los puntos del segmento que uno los puntos (1, 1) y (0, 2).
Apartado c)
1 4
El punto  ,  no pertenece al recinto puesto que no cumple una de las
3 3
1 4 5
restricciones x  y  2 ya que    2 .
3 3 3
EJERCICIO 2: Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la
atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función:
C(t )  0.2 t 2  4 t  25, 0  t  25
siendo t los años transcurridos desde el año 2000.
a) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación?
b) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?
c) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t = 8.
Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o
decrecimiento.
Solución:
Apartado a)
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Calculemos el valor de t para el que la función alcanza un máximo:
C (t )  0.2 2 t  4  0  0.4 t  4  0  t  10 será un posible punto máximo.
C (t )  0.4  0  Para t  10 la función alcanza un máximo. Por tanto, en el año
2010 el nivel de contaminación será máximo.
Apartado b)
Si C(t )  0.2 t 2  4 t  25 es la función del nivel de contaminación, este alcanzará
el valor cero cuando 0  0.2 t 2  4 t  25  t 2  20t  125  0.
t
20  400  500
2

25
 5
Luego sólo se alcanza el valor cero para t = 25. Entonces en el año 2025 se tendrá
nivel de contaminación cero.
Apartado c)
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de C (t ) en t = 8 será la derivada de la
función C (t ) para el valor indicado.
C (t )  0.4 t  4  C 8  0.8
Como la pendiente es 0.8 y es positiva significa que la función es estrictamente
creciente en el punto t = 8, es decir, el nivel de contaminación crece en el año 2008.
EJERCICIO 3: En un centro escolar, los alumnos de 2º de Bachillerato pueden cursar,
como asignaturas optativas, Estadística o Diseño Asistido por Ordenador (DAO). El
70% de los alumnos estudia Estadística y el resto DAO. Además el 60% de los alumnos
que estudia Estadística son mujeres y de los alumnos que estudian DAO son hombres el
70%.
a) Elegido un alumno al azar ¿cuál es la probabilidad de que éste sea hombre?
b) Sabiendo que se ha seleccionado a una mujer ¿cuál es la probabilidad de que
estudie Estadística?
Solución:
Apartado a)
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Sean los sucesos E = {el alumno elegido al azar estudia Estadística}, DAO= {el
alumno elegido al azar estudia DAO}, H = {el alumno elegido al azar es hombre} y
M = {el alumno elegido al azar es mujer}.
Sabemos que P (E) = 0.7, P (DAO) = 0.3, P (M / E) = 0.6 y P (H / DAO) = 0.7.
Podemos deducir, en función de lo anterior, que P(H / E) = 0.4 y P(M / DAO) = 0.3.
Por el Teorema de la Probabilidad Total obtenemos:
PH   PE PH / E   PDAOPH / DAO  0.70.4  0.30.7  0.49
Veamos el diagrama de árbol:
Alumno / Alumna
P (H/E) = 0.4
P(E) = 0.7
P (M/E) = 0.6
P (H/DAO) = 0.6
P(DAO) = 0.3
P (M/DAO) = 0.4
Apartado b)
Aplicamos el teorema de Bayes:
P E  M 
PM / E PE 


PM 
PM / E PE   PM / DAOPDAO
0.60.7
0.42


 0.82
(0.6)(0.7)  (0.3)(0.3 0.51
P E / M  
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De otra forma:
Como PH   0.49  PM   1  0.49  0.51.
P E / M  
PE  M  PM / E PE  0.42


 0.82
PM 
PM 
0.51
EJERCICIO 4: En un estudio de mercado del automóvil en una ciudad se ha tomado
una muestra aleatoria de 300 turismos y se ha encontrado que 75 de ellos tiene motor
diesel. Para un nivel de confianza del 94%,
a) Determine el intervalo de confianza de la proporción de turismos que tienen
motor diesel en esa ciudad.
b) ¿Cuál es el error máximo de la estimación de la proporción?
Apartado a)
El tamaño de la muestra es n = 300.
75
 0.25
La proporción de los turismos con motor diesel es Pˆ 
300
Como n  3, nPˆ  3000.25  75  5 y n 1  Pˆ  3000.75  225  5, utilizamos
el siguiente intervalo de confianza para la proporción poblacional:




Pˆ 1  Pˆ
 Pˆ  Z


2
n

 


Sustituyendo:

 0.25  Z 

2

0.250.75    0.25  1.88 0.250.75   0.203, 0.297
300




300


Valor z  :
2
Nivel de confianza: 94%, es decir, 0.94.
Entonces el nivel de significación   0.06  z  z 0.06  z 0.03  1.88
2
2
Es decir, la proporción de coches con motor diesel de la ciudad se sitúa entre el 20.3% y
el 29.7% a un nivel de confianza del 94%
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Apartado b)
Sabemos que E  Z

2

0.250.75  0.047  4.7%
Pˆ 1  Pˆ
 1.88
n
300
El 4.7% es el máximo error de la estimación realizada.
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