Geometría del Triángulo y Cuadrilátero

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Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica: Respuesta a un
Desafío (UCV 0402)
Asignatura: Geometría del Triángulo y del Cuadrilátero
Autor(a)/Universidad: Universidad de Concepción
Horas presenciales por semana: 7 horas
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 14 horas
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación
pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones
informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le
permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y
comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y
moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al
mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso.
El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer y las evaluaciones han sido alineadas con
los estándares y competencias del perfil de egreso para la formación inicial de profesores del segundo ciclo
básico. Los siguientes estándares y competencias tienen un énfasis principal en este curso:
Estándar 6
Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo,
rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el
triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de
clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción
y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida
angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas de regiones y perímetro de
la circunferencia; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el
concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para
determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio
de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una
disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.
Organiza, planifica y diseña actividades que guíen los procesos de enseñanza hacia procesos de
conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación de
figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en construcciones geométricas, para
deducir propiedades a partir de figuras construidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y
para deducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las
orientaciones didácticas presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos
actuales acerca del aprendizaje.
Competencia 1, eje 2:
Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de
enseñar.
Competencia 2, eje 2:
Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña y utiliza
este conocimiento para planificar su enseñanza.
Competencia 8, eje 2:
Comprende cómo motivar a sus estudiantes para facilitar su aprendizaje a través del uso de recursos variados
(incluidas las TIC’s)
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El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:
Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de transformaciones
isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce transformaciones isométricas en variados
contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y los elementos que la generaron. Aplica
transformaciones y usa simetrías para analizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrar
propiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones de organizar, planificar, diseñar actividades
de aprendizaje basada en la resolución de problemas para los contenidos presentes en el marco de los planes y
programas vigentes en Matemática y de generar instancias evaluativas de estos aprendizajes.
Competencia 7, eje 2:
Crea experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes integrar el conocimiento,
destrezas y métodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje.
II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para el logro de los estándares/competencias)
Conocimientos
 Reconoce y comprende las diferentes características que definen a los ángulos, triángulos,
cuadriláteros, polígonos y circunferencia como también los distintos criterios de clasificación de ellas.
 Comprende el concepto de congruencia de figuras poligonales y reconoce pares de figuras
congruentes. Demuestra sus afirmaciones utilizando criterios de congruencia.
 Deduce, comprende y demuestra propiedades y relaciones fundamentales en ángulos, triángulos,
cuadriláteros y polígonos, fundamentándolas, cuando corresponda, con teoremas de congruencia.
 Comprende el concepto de equivalencia de figuras y demuestra teoremas de equivalencia.
 Comprende la noción de medida y de unidad de medición, para superficies y regiones angulares.
Además, relaciona, selecciona y utiliza unidades de medida adecuadas para medir ángulos, trazos,
figuras y superficies, en situaciones problemáticas
 Deduce y demuestra fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas de regiones planas, comprendiendo
el significado de área relacionándolo con la medida de la superficie y el de perímetro con la adición de
las longitudes de todos los lados de la figura o de la superficie que la delimita.
Procedimentales
 Aplica propiedades y relaciones fundamentales en ángulos, triángulos, cuadriláteros y polígonos en la
resolución de problemas geométricos.
 Construye con regla y compás diferentes figuras planas, conocidos algunos de sus elementos y
considerando sus características propias; describiendo, además, sus procesos de construcción.
Complementa dichos procesos constructivos utilizando un software de construcción geométrica.
 Establece un criterio de secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos a figuras
planas señalados en los Planes y Programas de 5° a 8° año básico.
Actitudes
 Reconoce y valora los aportes de la geometría euclidiana en las distintas manifestaciones
arquitectónicas, artísticas y estructurales presentes en la humanidad en distintas épocas.
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III. Lecturas Requeridas:
 Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”, Ediciones Universidad Católica de
Chile.
 Cano, O (1963) “Geometría”.
 Clemens, S; O’Daffer, P; Cooney, T (1998) “Geometría”, Pearson / Addison Wesley.
 Coxeter, H. S. M (1989) “Introduction to geometry”, John Wiley & Sons.
 Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria.
 Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley.
 Pogorélov, A. V. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir.
IV. Otros recursos:
 http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub=
 http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php
 MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”, MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”, MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año básico”, MINEDUC, 2da
ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año básico”, MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”, MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”, MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Tercer año medio”, MINEDUC, 2da ed.
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales
actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)
1. Construcción de figuras utilizando un software geométrico
Estándar 6/ Competencia
8
Construye utilizando un software geométrico (Cabri II, por ejemplo) circunferencias inscritas, circunscritas y
exinscrita a un triángulo. Analizan posiciones de los centros de ellas según el tipo de triángulo y deducen
propiedades particulares en cada una de ellas centrando la atención en las que están definidas en un triángulo
equilátero.
2. Figuras congruentes en el arte y arquitectura
Estándar 6 - 8 / Competencia 7
En grupo, investigan sobre la presencia de las figuras congruentes (tesselaciones, por ejemplo) en el arte,
arquitectura y naturaleza, mostrando además la relación de esta razón con otras áreas de la matemática.
3. Análisis de Textos Escolares y Planes y Programas
Estándar 6 / Competencia 2
En grupo, analizan los planes de estudio de 4to básico a 1ro medio, identificando aquellos contenidos mínimos
obligatorios (CMO) en los que estén involucrados los temas referidos a triángulos y cuadriláteros relacionándolos
con los aprendizajes esperados respectivos. Utilizan textos escolares para analizar la consistencia conceptual y
grado de complejidad utilizados en ellos y se pertinencia con los CMO y aprendizajes esperados de los planes y
Programas..
4
VI. Evaluaciones Clave
EVALUACIÓN 1
1. Estándar 6 / Competencia 1
2. Justificación:
Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender al triángulo como una figura fundamental en la
geometría, cuyas características permiten sustentar el estudio de otras figuras geométricas. Además, y debido a
que los procedimientos de construcción de triángulos se basan en los criterios de congruencia, es necesario que
el profesor comprenda y aplique los teoremas de congruencia de triángulos en la deducción de las propiedades y
teoremas que deberá enseñar en 2do ciclo. Esto les permitirá comprender los procesos de construcción
geométricas de triángulos y, posteriormente, de otras figuras geométricas. Además, el docente debe comprender
las distintas formas de clasificar triángulos, tema que es abordado como uno de los contenidos mínimos
obligatorios del programa oficial de estudios de 2do ciclo.
3. Pre-requisitos:
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:
 Comprender y reconocer los conceptos de punto, segmento, recta, rayo, ángulo, perpendicularidad y
paralelismo, figura.
 Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos y segmentos de medidas
determinadas.
 Comprender la noción de simetría y de eje de simetría.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores en formación clasificarán triángulos según distintos elementos, reconocerá pares de figuras
congruentes, deducirá propiedades de triángulos y construirá triángulos a partir de información dada.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
Los profesores en formación, mediante la aplicación de los criterios de congruencia, identificarán figuras
congruentes (triángulos y otros polígonos), descomponiéndolas, cuando sea posible, en triángulos congruentes.
Demuestran todas sus afirmaciones
Paso 2:
Individualmente, clasifican diversos triángulos según medida de sus lados o de sus ángulos interiores. Identifican
además aquellos triángulos en los que es posible descomponerlos en triángulos congruentes. Relacionan esta
propiedad con la simetría, y los clasifican según el número de ejes de simetría que poseen. Establecen una
relación entre estos tres tipos de clasificaciones.
Paso 3:
Construyen geométricamente triángulos a partir de medidas determinadas, o bien, a partir de elementos dados
(trazos que definen lados o elementos secundarios y/o ángulos). Describen sus construcciones y demuestran que
su respuesta es la requerida usando los criterios de congruencia.
Paso 4:
Para una colección de triángulos de distintos tipos, construyen geométricamente sus alturas, simetrales y
bisectrices, deducen propiedades de éstas y establecen las condiciones para que se cumplan (identifican aquellas
regularidades propias de determinado tipo de triángulo, por ejemplo). Enuncian sus resultados como teoremas, y
los demuestran.
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o
actitudes (textos, sitios de la red, otros):
 Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador).
 Textos escolares de Matemática y Textos de Universitarios de Geometría.
 Planes y programas del subsector Educación Matemática (4to a 8vo básico) y Matemática (1ro a 3ro
medio).
5
Rúbrica de evaluación
Paso
1
2
No logra el estándar
(0 puntos)
Logra parcialmente el estándar
(10 puntos)
Logra suficientemente
el estándar
(30 puntos)
Logra estándar con profundidad
(40 puntos)
No identifica correctamente figuras
congruentes; o bien, identifica
triángulos congruentes, pero no
fundamenta su respuesta.
Identifica triángulos congruentes, y
fundamenta sin criterios de
congruencia.
Identifica triángulos congruentes, y
fundamenta sin criterios de
congruencia.
Identifica triángulos y polígonos
congruentes,
fundamentando
mediante
descomposición
y
criterios de congruencia de
triángulos.
Identifica polígonos congruentes,
pero no descompone los polígonos
en triángulos congruentes.
Identifica polígonos congruentes, y
fundamenta
mediante
descomposición, pero sin usar
criterios de congruencia.
Clasifican los triángulos según
medida de sus lados y ángulos.
Clasifican los triángulos según
medida de sus lados y ángulos.
Descomponen
en
triángulos
congruentes e identifican la
simetría de estos triángulos.
Descomponen
en
triángulos
congruentes e identifican la
simetría de estos triángulos.
Establecen que un triángulo puede
tener 0 o 1 eje de simetría.
Establecen que un triángulo puede
tener 0 (escaleno), 1 (isósceles) o
3 equilátero) ejes de simetría.
Construyen
geométricamente
triángulos dados algunos de sus
elementos
(principales
o
secundarios).
Describen y demuestran su
construcción en lenguaje formal.
Analizan la existencia de otras
soluciones.
Deducen propiedades correctas
para los distintos tipos de
triángulos.
Los enuncian como teoremas y los
demuestran.
Clasifican los triángulos solamente
según medida de sus lados o
según medida de sus ángulos.
No descomponen un triángulo
simétrico
en
dos
triángulos
congruentes,
o
bien,
descomponen en triángulos no
congruentes.
Clasifican los triángulos según
medida de sus lados y ángulos.
Descomponen
en
triángulos
congruentes, pero no identifican
que
estos
triángulos
son
simétricos.
3
Construyen
geométricamente
triángulos dados solamente sus
tres lados.
Describen su construcción en
lenguaje no formal.
No dan una demostración.
Construyen
geométricamente
triángulos, dados algunos de sus
elementos principales.
Describen su construcción en
lenguaje no formal.
Dan una explicación en lenguaje
no formal.
Construyen
geométricamente
triángulos, dados algunos de sus
elementos principales, o dada
alguna característica de éste.
Describen su construcción en
lenguaje formal.
Demuestran en lenguaje formal.
4
Deducen propiedades de forma
incorrecta. (por ej: la altura de
cualquier triángulo es eje de
simetría).
Deducen propiedades correctas
para los distintos tipos de
triángulos, pero no los enuncian
como teoremas. (es decir, no
identifican hipótesis ni tesis
correctamente).
Deducen propiedades correctas
para los distintos tipos de
triángulos.
Los enuncian como teoremas y
dan una explicación no formal a
ellos, pero no los demuestran.
Explican la propiedad en lenguaje
no formal.
6
EVALUACIÓN 2
1. Estándar 6 / Competencia 1
2. Justificación:
Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender al cuadrilátero, y sus distintas formas de
clasificación, pues es una figura fundamental en la geometría de enseñanza básica. Además, debe ser capaz de
deducir, comprender y demostrar las propiedades de cuadriláteros, pues éstas fundamentan diversas relaciones
métricas. Finalmente, debe comprender, deducir y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de regiones
delimitadas por cuadriláteros y triángulos.
3. Pre-requisitos:
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:
 Comprender y reconocer los conceptos de punto, segmento, recta, rayo, ángulo, perpendicularidad y
paralelismo, figura.
 Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos y segmentos de medidas
determinadas.
 Comprender y aplicar el concepto de congruencia y los criterios de congruencia.
 Comprender la noción de simetría y de eje de simetría.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores en formación clasificarán cuadriláteros según distintos criterios, deducirán y demostrarán
propiedades de cuadriláteros y construirán cuadriláteros a partir de información dada. Finalmente, deducirán y
aplicarán fórmulas para el cálculo de áreas de regiones delimitadas por cuadriláteros y triángulos.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
Dada una colección de cuadriláteros convexos, los clasifica como pertenecientes a la familia de los trapezoides,
trapecios o paralelogramos, fundamentando de acuerdo a la cantidad de lados paralelos y señalando en cada uno
el nombre por el cual es identificado en la familia a la que pertenece. Además dada una colección de
paralelogramos los clasifica según el número de ejes de simetría
Paso 2:
En parejas o ternas, construyen un mapa conceptual que relacione los elementos geométricos involucrados en el
concepto de cuadrilátero y en sus clasificaciones.
Paso 3:
Construyen geométricamente cuadriláteros convexos, a partir de elementos dados y/o características específicas
siendo de capaz de escribir formalmente los procesos constructivos. Dada una colección de cuadriláteros
reconoce aquellos que son inscriptibles y circunscriptibles justificando a partir de los teoremas relativos a la
inscriptibilidad y la circunscriptibilidad; además aplica dichos teoremas para resolver problemas geométricos que
involucren este tipo de cuadriláteros.
Paso 4:
A partir de cuadriláteros convexos construidos geométricamente, deducen de ellos las propiedades métricas y
angulares presentes en los planes y programas de 5° básico a 1° medio, discuten sus afirmaciones y las enuncian
como teoremas, los que finalmente demuestran.
Paso 5:
Deducen fórmulas para el área de regiones delimitadas por cuadriláteros y triángulos. Utilizan la noción de
equivalencia de figuras para demostrar sus afirmaciones. Aplican estas fórmulas en la resolución de problemas
geométricos.
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o
actitudes (textos, sitios de la red, otros):
 Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador).
 Textos escolares de Matemática.
 Planes y programas del subsector Educación Matemática (4to a 8vo básico) y Matemática (1ro a 3ro
medio).
7
Rúbrica de evaluación
Paso
No logra el estándar
(0 puntos)
Logra parcialmente el estándar
(10 puntos)
Logra suficientemente el estándar
(30 puntos)
Logra estándar con profundidad
(40 puntos)
1
Clasifica sin fundamentar o clasifica
incorrectamente
al
menos
un
cuadrilátero o al menos uno de los
paralelogramos.
Clasifica la colección de cuadriláteros
sólo señalando la familia a la cual
pertenece según la cantidad de pares
de lados paralelos, sin identificar el
nombre que recibe en la familia
respectiva.
Clasifica la colección de cuadriláteros
señalando la familia a la cual
pertenece según la cantidad de pares
de lados paralelos, identificando el
nombre que recibe en la familia
respectiva.
No
identifica
correctamente
la
colección de paralelogramos utilizando
los ejes de simetría como argumento
Elabora
un
mapa
conceptual
estableciendo enlaces entre niveles de
jerarquía contiguos.
Identifica correctamente la colección
de paralelogramos argumentando
con los ejes de simetría
Elabora
un
mapa
conceptual
estableciendo enlaces entre niveles
de jerarquía contiguos y no
contiguos.
Construye
geométricamente
cuadriláteros
según
condiciones
dadas, escribiendo formalmente los
pasos y argumentando
los
procedimientos utilizados en la
construcción.
Clasifica la colección de cuadriláteros
sólo señalando la familia a la cual
pertenece según la cantidad de pares
de lados paralelos, identificando el
nombre que recibe en la familia
respectiva e identifica correctamente
la colección de paralelogramos,
justifica utilizando los ejes de simetría
2
Elabora sólo una secuencia de
contenidos.
3
No
construye
geométricamente
cuadriláteros o los construye sin
argumentar
los
procedimientos
utilizados y sin escribir formalmente
los pasos de la construcción.
No
reconoce
cuadriláteros
inscriptibles ni circunscriptibles y
tampoco argumenta utilizando los
teoremas respectivos.
No resuelve problemas geométricos
que
involucran
cuadriláteros
inscriptibles y circunscriptibles.
4
5
Deducen propiedades de forma
incorrecta. (Por ej: las diagonales de
cualquier
paralelogramo
son
perpendiculares).
No deducen fórmulas para calcular el
área de una superficie delimitada por
un triángulo ni por un rectángulo. No
resulten problemas de cálculo de
áreas.
Construye
geométricamente
cuadriláteros
según
condiciones
dadas, escribiendo formalmente los
pasos
y
argumentando
los
procedimientos
utilizados
en
la
construcción.
No reconoce cuadriláteros inscriptibles
ni
circunscriptibles
y
tampoco
argumenta utilizando los teoremas
respectivos.
No resuelve problemas geométricos
que
involucran
cuadriláteros
inscriptibles y circunscriptibles.
Deducen propiedades correctas para
los distintos tipos de cuadriláteros.
No enuncian las deducciones como
teoremas. (es decir, no identifican
hipótesis ni tesis correctamente).
Deducen la fórmula para determinar el
área de un paralelogramo y un
triángulo, sin resolver problemas en
donde deban utilizarla.
Elabora
un
mapa
conceptual
estableciendo enlaces entre niveles
de jerarquía contiguos y no contiguos
fundamentando cada enlace.
Construye
geométricamente
cuadriláteros
según
condiciones
dadas, escribiendo formalmente los
pasos y argumentando
los
procedimientos utilizados en la
construcción.
Reconoce cuadriláteros inscriptibles
y circunscriptibles argumentando
según los teoremas respectivos.
Reconoce cuadriláteros inscriptibles
y circunscriptibles argumentando
según los teoremas respectivos.
No resuelve problemas geométricos
que
involucran
cuadriláteros
inscriptibles y circunscriptibles.
Resuelve problemas geométricos que
involucran cuadriláteros inscriptibles
y circunscriptibles.
Deducen propiedades correctas para
los distintos tipos de cuadriláteros.
Deducen propiedades correctas para
los distintos tipos de triángulos.
Enuncian las deducciones como
teoremas y dan una explicación no
formal a ellos, pero no los
demuestran.
Deducen la fórmula para determinar
el área de un paralelogramo, un
triángulo y un trapecio sin resolver
problemas en donde deban utilizarla.
Enuncian las deducciones
teoremas y las demuestran.
Demuestran la fórmula para calcular
el área de un triángulo equilátero en
función de la longitud del lado.
como
Resuelven problemas de áreas
aplicando las fórmulas deducidas.
Explican las demostraciones de
teoremas que utilizan áreas de
triángulos y cuadriláteros (ejemplo:
teorema de Pitágoras y teorema de
Ceva)
6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:
Evaluación clave 1
40 puntos
Estándar 6/Competencia 1
Evaluación clave 2
40 puntos
Estándar 6/Competencia 1
Total de puntos: 80
8