GVIIBIC_IV

Aplica la regla
Plan de clase (1/3)
Escuela: ______________________________________ Fecha: ______________
Profesor (a): _______________________________________________________
Curso: Matemáticas 7
Eje temático: SN y PA
Contenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una
regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales
que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números
y de figuras.
Intenciones didácticas:
Que los alumnos construyan sucesiones de números con progresión aritmética y con
progresión geométrica a partir de la regla general o de la regla de la regularidad,
respectivamente, dadas en lenguaje común.
Consigna: Organizados en equipos realicen lo que se indica a continuación.
1. El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las
posiciones de los primeros cinco términos de una sucesión.
ENTRADA
Posición
1, 2, 3, 4, 5,...
MÁQUINA
Regla general:
Al número de la
posición se
multiplica por dos
y al resultado se le
resta dos.
SALIDA
Sucesión
0, 2, 4, 6, 8,...
a) Aplica la regla que emplea la máquina y determina los términos que están en las
posiciones 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 de la sucesión. _____________
___________________________________________________________________
b) Si se introducen los números 50, 100, 500 y 1000, ¿cuáles son los términos de la
sucesión que corresponden a estas posiciones? __________________________
2. Otra máquina emplea la regla de regularidad siguiente: “Al número anterior se
multiplica por 3 para obtener el siguiente término”. Si el primer término de la sucesión
es 5, determina los primeros 6 términos de la sucesión: _________________________
Consideraciones previas:
Es importante dejar claro que cuando se dice “regla general”, se hace referencia a la regla
que permite determinar cualquier término de una sucesión en función de su posición. Y
cuando se dice “regla de la regularidad”, se refiere al enunciado que indica el patrón de
comportamiento de los términos de una sucesión, por ejemplo:
En la sucesión: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,…
La regla general es 3n + 2, en donde n es el número de la posición. Si deseamos conocer
el término de la posición 20, basta sustituir a n por 20 en 3n + 2.
La regla de la regularidad de los elementos de la sucesión puede enunciarse de varias
maneras, por ejemplo: “va de tres en tres”, “al término anterior se le suma 3 y se obtiene el
siguiente”, etcétera.
Dicho lo anterior, en la sucesión del primer problema, la cual representa una progresión
aritmética, se emplea la regla general; mientras que la sucesión del segundo problema
que representa una progresión geométrica, se utiliza la regla de la regularidad. La razón
por la cual en el segundo problema no se utiliza la regla general es porque su deducción
es compleja para este nivel, su representación simbólica es una función exponencial.
En el primer problema, se espera que los alumnos no tengan ninguna dificultad para
determinar los términos de la sucesión que están en las posiciones10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19 y 20. Por ejemplo, para el término que está en la posición 10, basta
multiplicar este número por 2 y al resultado restarle 2, en este caso, el término que resulta
es 18. Lo mismo se debe hacer para calcular los números de la sucesión que están en las
posiciones 50, 100, 500 y 1000. Es probable que algunos alumnos confundan entre el
número de la posición y el término de una sucesión; por lo que hay que estar pendiente de
esta situación y en caso de que suceda, vale la pena aclararlo desde un principio y que no
sea obstáculo para que los alumnos realicen adecuadamente los cálculos.
En el segundo problema se trata de que los alumnos a partir de la regla de regularidad,
determinen los primeros seis términos de la sucesión geométrica (5. 15, 45, 135, 405,
1215,…)
Para reafirmar los conocimientos adquiridos, se sugiere proponer los siguientes
problemas:
 Si la regla que permite determinar cualquier término de una sucesión es: Al número
de la posición del término se multiplica por 2 y el resultado se le suma 3. Encuentra
los primeros 10 términos de la sucesión.
 Una sucesión está determinada por la siguiente regla de regularidad. “Al número
anterior se multiplica por 3 para obtener el siguiente término”.
Si el primer término de la sucesión es 10 ¿cuáles son los primeros 5 términos de la
sucesión?
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Encuentra la regla
Plan de clase (2/3)
Escuela: _____________________________________ Fecha: _______________
Profesor (a): ________________________________________________________
Curso: Matemáticas 7
Eje temático: SN y PA
Contenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una
regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales
que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números
y de figuras.
Intenciones didácticas:
Que los alumnos formulen, en lenguaje común, reglas generales que permitan determinar
cualquier término de sucesiones con progresión aritmética.
Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema:
Cada vez que Claudia resuelve problemas de sucesiones, la estrategia que le funciona es
representar la información en una tabla para relacionar el número de la posición de la
figura y el número de elementos que la componen; por ejemplo, para la sucesión:
La tabla que construyó en su análisis de la sucesión es la siguiente:
Número de la posición de la figura.
Número de cuadrados
Diferencia del número de cuadrados
entre dos figuras consecutivas
1
5
2
9
4
3
13
4
4
17
4
5
21
4
6
25
4
Con sus propias palabras, formulen una regla que permita determinar el número de
cuadrados de cualquier figura de la sucesión.
Regla: ___________________________________________________________
____________________________________________________________
Consideraciones previas:
Para encontrar la regla de formación de la sucesión es necesario relacionar el número de
la posición de la figura con el números de elementos de la misma; por lo que si los
alumnos no se les ocurre cómo relacionar el número de la posición con cada término de la
sucesión, se les puede plantear la siguiente pregunta: ¿Qué operación hay que hacer con
el número de la posición de la figura para obtener el número de cuadrados que la
conforman? A partir de esta pregunta, se espera que los alumnos prueben con varios
cálculos; por ejemplo, que multipliquen por 5 el número de la posición.
Cada vez que den una respuesta verbal, pedirles que verifiquen si se cumple con las otras
parejas de números de la tabla, si no es así, que continúen en la búsqueda.
Es probable que surjan respuestas verbales que corresponde a la regularidad que
encuentran en la sucesión, pero que no es la regla general; por ejemplo:
“Le va sumando de cuatro en cuatro”
“Le suma cuatro al término anterior para obtener el siguiente término”
“Sumarle cuatro al término”
En caso de que a nadie se le ocurra probar con multiplicar el número de la posición por la
constante aditiva (4), sugerirles que lo hagan y luego que vean cuánto se debe sumar o
restar al producto para obtener el número de la sucesión.
La regla que permite determinar el número de cuadrados de cualquier figura de la
sucesión es: “Multiplicar por 4 la posición del término y al resultado sumarle 1”.
Se pretende que a partir de resolver varios problemas, los alumnos lleguen a darse cuenta
que una forma de encontrar la regla general de una sucesión con progresión aritmética, es
multiplicar el número de la posición del término por la constante aditiva y analizar cuánto
se tiene que sumar o restar al resultado para obtener el término de la sucesión; por lo que
es importante no darles la receta.
Si el tiempo lo permite, se les puede pedir que a partir de la regla que determinaron,
encuentren los términos de la sucesión que están en las posiciones 10, 50, 100 y 1000.
Para reafirmar los conocimientos adquiridos se podrían plantear los problemas siguientes:
 Escribe una regla general que permita determinar el número de cuadrados de
cualquier figura de cada una de las siguientes sucesiones:
a)
Regla: __________________________________________________
a)
Regla: __________________________________________________
 Genera una sucesión de números, cuya diferencia entre dos términos consecutivos
sea siempre 5. Luego escribe con palabras la regla que permita calcular cualquier
término de la sucesión.
 Para cada caso, escribe la regla general que permite determinar cualquier término
de la sucesión.
a) 6, 10, 14, 18, 22, 26, …
Regla: _____________________________________________________
b) 3, 5, 7, 9, 11, 13, …
Regla: _____________________________________________________
c) 1/12, 4/12, 7/12, 10/12,…
Regla: _____________________________________________________
Observaciones posteriores:
1.
¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
2.
¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
3.
Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
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Útil
Uso
limitado
Pobre
¿Cuál es la regularidad?
Plan de clase (3/3)
Escuela: __________________________________ Fecha: _________
Profesor (a): ____________________________________________________
Curso: Matemáticas 7
Eje temático: SN y PA
Contenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una
regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones
generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o
geométrica, de números y de figuras.
Intenciones didácticas:
Que los alumnos formulen, en lenguaje común, la regla de la regularidad o del patrón
de comportamiento de los elementos de una sucesión con progresión geométrica.
Consigna. En equipo, completen las siguiente sucesiones y escriban con palabras
una regla que defina la regularidad de cada una.
Regla: _____________________________________________________________
________________________________________________________________
Regla: _____________________________________________________________
________________________________________________________________
Consideraciones previas:
Las sucesiones que se plantean en este plan son de progresión geométrica. En el primer
caso se trata de una sucesión con progresión geométrica creciente porque su razón es
mayor que 1, es decir, 2. En el análisis que hagan los alumnos de esta sucesión, se
espera que puedan darse cuenta que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando
por 2 al anterior, excepto el primer término.
Las reglas generales de este tipo de sucesiones son exponenciales; por lo que es difícil
que los alumnos de este nivel puedan obtenerla por los conocimientos necesarios para tal
fin. Por ejemplo, para esta sucesión, la regla general para determinar cualquier término de
la sucesión es: Dos elevado al número de la posición del término; es decir, (an = 2n).
Como puede verse, esta expresión es exponencial.
En este tipo de sucesiones, es suficiente que los alumnos lleguen a identificar el
comportamiento de los términos pero no a la regla general; se espera que los alumnos
lleguen a escribir la regla que corresponde a la regularidad o patrón de comportamiento
entre los términos como: “Cada término se obtiene multiplicando por 2 al término anterior.”
Con respecto a la segunda sucesión, se espera que los alumnos determinen que la razón
de crecimiento es ½, es decir, que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el
término anterior por ½; por lo que la regla que corresponde a la regularidad o patrón de
comportamiento entre los términos es la siguiente: “Cada término se obtiene multiplicando
por 1/2 al término anterior.”
Para reafirmar los conocimientos adquiridos se podrían plantear los problemas siguientes:

Encuentra el octavo término de cada una de las
siguientes sucesiones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

3, 9, 27, 81, 243,…
3, 6, 12, 24, 48,...
1, 0.1, 0.01, 0.001,...
1,1/4,1/16,1/64,...
2, 6, 18, 54, 162,...
5, 5/3, 5/9, 5/27, …
54, 36, 24, 16, …
El cuarto término de una sucesión con progresión
geométrica es 40. Si cada término se obtiene multiplicando al anterior por 2, encuentra
el primer, segundo y tercer términos de la sucesión.
Observaciones posteriores:
1.
¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
2.
¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
3.
Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre