Teoría y ejercicios

CONCEPTO DE HOMOTECIA.
Sea k un número positivo, cuando aplicamos una homotecia de centro O y razón k a un
punto cualquiera P, obtenemos otro punto P' de la semirrecta que definen O y P, de
manera que
Al punto P' lo denominaremos homólogo de P.
Ten en cuenta que si k<1, el punto P' queda situado entre O y P.
Las homotecias también se pueden aplicar a polígonos. Se trata de hacer la operación descrita
previamente con cada uno de sus vértices.
La homotecia de centro O y razón k la notaremos como
ACTIVIDAD 1

Dibuja un triángulo como el de la figura y aplícale las homotecias
y
También se pueden considerar homotecias en la que la razón sea negativa, en la figura
tienes el efecto de aplicar una homotecia de centro O y razón -2 al Triángulo ABC:
Cuando la razón es negativa, el centro de la homotecia queda situado entre el punto y su
imagen.
Resumiendo:
1) El centro de homotecia es el punto en el que concurren las rectas que determinan los
puntos de una figura y sus correspondientes homólogos.
2) La razón de homotecia se calcula hallando el cociente entre OA y OA’ , siendo A un
punto cualquiera. El signo de ésta dependerá de la posición de O respecto de A y A'.
3) Una homotecia transforma un segmento AB en otro paralelo A'B', k veces el primero.
En consecuencia, la razón también se halla dividiendo la longitud de dos segmentos
homólogos.
ACTIVIDADES 2:
a)En la figura tienes un triángulo rectángulo ABC y su homotético
A’B’C’.
Halla la razón de la homotecia y calcula todas las dimensiones de los dos triángulos.
¿Qué relación hay entre los perímetros de figuras homotéticas?
b)En la figura tienes dos triángulos. Determina si son homotéticos y calcula, en su caso, el
centro, la razón de la homotecia y las dimensiones de los triángulos.
c)Señala el centro y la razón de homotecia en los siguientes casos:
d)Completa la figura sabiendo que A' es la imagen de A por una homotecia y que su razón
vale 3. Indica el centro de homotecia.
Completa la figura sabiendo que A' es la imagen de A, y que B' es la de B. Indica el centro y
la razón de homotecia.
Relación entre las áreas de figuras homotéticas
Los triángulos de la figura son homotéticos de razón k, se tiene que:
la razón entre áreas es el cuadrado de la razón de homotecia.
La propiedad anterior se mantiene para cualquier figura.
APLICACIONES DE HOMOTECIAS.
Al cálculo de distancias.
a) Deseamos calcular la profundidad del pozo, para ello disponemos del aparato de la figura y
nos disponemos en la forma que nuestro protagonista.
Los triángulos ABC y AB’C’ son homotéticos, en consecuencia es igual la razón entre lados
homólogos:
Como los lados AB, BC y B’C’ son fáciles de medir, podemos despejar la longitud AB’.
Sólo hay que restarle la altura del aparato para conocer la profundidad del pozo.
b) Trabajo con recipientes cónicos.
Sobre un depósito cónico que contiene líquido se toman los siguientes datos
Podemos esquematizar la situación anterior de la siguiente manera:
Si aplico el teorema de Pitágoras en ABC, obtengo que h=3.
Como ABC y ADE son homotéticos, sus lados homólogos son proporcionales:
x / h =10 / 4
cambiando h por 3 y despejando, x = 30/4 = 8'5.
c) Aplicaciones relacionadas con la ingeniería.
En el siglo VI a. C. el tirano Polícrates ordenó a Eupalinos la construcción de un túnel, que se
conserva en parte actualmente, para llevar agua atravesando el monte Castro. La longitud del
túnel era de 1 Km, debiéndose perforar desde las dos laderas del monte. El error que se cometió
en el centro, donde las dos mitades debían encontrarse, fue de 10 m en horizontal y 3 m en
vertical.
Deseamos construir un túnel que una los puntos T y L. Para ello se bordea el monte como indica
la figura .Es posible tomar las medidas de los segmentos dibujados en trazo continuo, a partir de
éstas es fácil obtener las del triángulo imaginario TAL:
LA=EN-TU
TA=UN-EL
Conocidas éstas construiremos fácilmente el triángulo TOS, de manera que sea homotético al
TAL:
Dibujamos los lados TO y SO paralelos y proporcionales a TA y LA respectivamente. Sólo
habrá que prolongar la línea ST para salir por el lugar señalado con una L.
Si deseamos conocer previamente las dimensiones del túnel, bastará con aplicar el teorema de
Pitágoras en el triángulo TAL.
ACTIVIDADES 3
a)El ingeniero traza una línea AC paralela a la línea base de 15 m de largo. ¿Con qué longitud
ha de trazar CD para que prolongando DA se llegue a B?
A PARTIR DE LAS HOMOTECIAS SE DEFINEN LAS SEMEJANZAS.
En la figura tienes el resultado de aplicarle al triángulo ABC las siguientes transformaciones:
Le aplicamos la homotecia, y al resultado A’B’C’ lo sometemos a:
1) una traslación.
2) una simetría.
3) un giro.
Obtenemos, de manera respectiva, los triángulos A1 B1 C1, A2 B2 C2 y A3 B3 C3.
Observamos que en cualquiera de los casos, los lados correspondientes son proporcionales y los
ángulos no han variado. La razón de proporcionalidad es la de la homotecia.
¿En algún caso cambia la orientación de la figura
Diremos que cualquiera de los triángulos resultantes es semejante al ABC.
La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer un movimiento y
una homotecia. Llamaremos razón de semejanza a la razón de la homotecia
correspondiente.
Semejanza de polígonos
Dos polígonos semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y los lados
homólogos proporcionales. Cualquiera de ellos se obtiene aplicando una semejanza sobre
el otro.
APLICACIONES DE LA SEMEJANZA
Medidas indirectas.
Fernando se coloca con una estaca para comparar su sombra con la del edificio del instituto. A
continuación, su amiga Teresa comprueba que la distancia desde el final de la sombra hasta la
base de la estaca es de 2'45m, y hasta la base del edificio de 13'1m. Como sabemos que la
longitud de la estaca es de 3m, podremos calcular la altura del edificio:
Como los triángulos ABC y A’B’C son semejantes ytendrán sus lados homólogos
proporcionales:
Mide unos 16 m.
ACTIVIDAD 4: Planos a escala.
El plano de la figura es semejante a la distribución real de una vivienda. Sabiendo que la terraza
tiene una anchura de 2 m:
a) Calcula los m2 que tiene cada habitación.
b) Tenemos, para el salón, un mueble de 50 cm de fondo y 3 m de longitud, Dos tresillos de 0'8
m de fondo por 2 m de largo, una mesa baja de 60 x 120, dos sillones de orejas de que ocupan
0'8 m2, una mesa circular de 120 cm de diámetro y dos sillas de brazos que ocupan un poco
menos que los sillones de orejas. Distribuye los muebles en el salón utilizando la misma escala,
y decide si hemos de buscar otro apartamento con un salón más amplio.
Semejanza de triángulos
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.
Son ángulos homólogos:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados
homólogos proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de
semejanza.
ACTIVIDADES 5
1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un
poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
2.Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos
de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
Criterios de semejanza de triángulos
1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos igual.
ACTIVIDAD 6.
Razona si son semejantes los siguientes triángulos:
Criterios de semejanza de triángulos rectángulos
1Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
2Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
3Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un
cateto.