1-FIGURAS SEMEJANTES - ies campos de amaya

TEMA 8
SEMEJANZA Y TRIÁNGULOS
4º ESO - OPCIÓN B
1-FIGURAS SEMEJANTES
Dos figuras son semejantes si mediante el zoom (homotecias)
y movimientos (giros, traslaciones y simetrías) coinciden. Esto
es, si tienen la misma forma pero tamaño diferente.
Por ejemplo: las fotocopiadoras y las cámaras fotográficas
realizan figuras semejantes
Como los polígonos vienen determinados por sus lados y por
sus ángulos, dos polígonos son semejantes si los lados
homólogos son proporcionales (con el zoom se multiplican
todos los lados por el mismo número) y sus ángulos iguales
(las homotecias, los giros, las traslaciones y simetrías no modifican los ángulos de las figuras).
Se llama razón de semejanza r al cociente de las longitudes de lados homólogos.
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej1.htm
Encontramos figuras semejantes en la vida corriente en:
 Fotografías
 Maquetas de monumentos, copias de cuadros famosos, reproducciones de coches,....
 Planos y mapas
 Una hora DIN A4 tienen una curiosa propiedad: si la partimos por la mitad, cada uno de los
dos trozos es semejante a la hoja inicial.
Ejercicios:
1- Fotografías:
2- Un rectángulo tiene unas dimensiones de 15 cm x 20 cm. Si el lado menor de otro rectángulo
semejante a él mide 6 cm, ¿cuánto mide el lado mayor?
3- Escalas: En un mapa escala 1:300000 la distancia que separa dos ciudades es de
5 cm. ¿A qué distancia real se encuentran ambas ciudades?
http://www.matematicas.pacogarces.com/2ESO/semejanza/escala_mapa.htm
4- Observa el dibujo. Sabiendo que el chico mide 1,75 m, calcula las dimensiones
reales (largo y ancho) de la puerta. (Dibujar una puerta de 2’5 cm x 5 cm y un chico
de 4’5 cm)
2- LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN DE FIGURAS SEMEJANTES
- Longitud: En dos figuras semejantes la razón de semejanza es el cociente entre dos lados
homólogos.
- Áreas: En dos figuras semejantes el cociente de sus áreas es el cuadrado de su razón de semejanza.
- Volumen: En dos figuras semejantes el cociente de sus volúmenes es el cubo de su razón de
semejanza.
Se puede observar en este applet de geogebra el área y el volumen de figuras semejantes:
http://www.aguilardelafrontera.com/jommv/semejanza/area%20y%20volumen.html
Ejercicios: ejemplo y ejercicio 13 pág 147, 8 pág 153, 44 y 45 pág 152
3-TEOREMA DE THALES
El teorema dice que si dos rectas se cortan por rectas paralelas,
los segmentos que estas paralelas definen en las rectas guardan
la misma proporción.
Se puede visualizar
http://www.luciademedrano.es/mate/TeoremaTales.html
Es decir:
AE EC AC


AD DB AB
De lo que se deduce:
AC AB CB


AE AD ED
Ejercicio: ejercicio 3 pág 141 y 23 pág 150
4- CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS SEMEJANTES POR HOMOTECIA
Por ejemplo: construcción de un pentágono semejante a otro de razón 2
http://www.geogebra.org/en/upload/files/spanish/cares/semejanza2.html
Este procedimiento se fundamenta en el Teorema de Thales
Ejercicio: Construye una figura semejante a la del ejercicio 2, pág 140, del libro, con razón de
semejanza 2 y otra con razón de semejanza ½.
5- TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES
Dos triángulos son semejantes  se pueden poner en posición de Tales
Dos triángulos en posición de Thales son semejantes. Observa:
http://www.matematicas.pacogarces.com/2ESO/semejanza/triangulos_tales.htm
Dos triángulos semejantes se pueden poner en posición de Thales. Observa:
http://www.matematicas.pacogarces.com/2ESO/semejanza/triangulos_semejantes.htm
Por tanto, dos triángulos son semejantes si cumplen una de estas condiciones (es decir, se pueden
poner en posición de Thales):
- Tienen dos ángulos iguales
- Tienen un ángulo igual y los lados que lo forman sean proporcionales
- Tienen los tres lados proporcionales
Lo podemos ver en estos applets de geogebra:
http://www.aguilardelafrontera.com/jommv/semejanza/triangulos%20semejantes.html
Ejercicios: 4 y 5 de la pág142 del libro.
Ejercicio: Aplicación del T. Thales: Cálculo de la altura de un edificio a partir de la sombra
http://www.geogebra.org/en/upload/files/GeometriaDinamica.org/piramideyfulanito.html
Ejercicio: Obtener la anchura de un río (sin tener un puente cerca, ni poder vadearlo).
http://www.dmae.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/angulos/ang_semeja.htm
Ejercicio: pág 146: 10
6- SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
De lo anterior se deduce:
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual
Como consecuencia de la semejanza de triángulos rectángulos, se tiene:
En un triángulo rectángulo,
la altura sobre la hipotenusa determina dos triángulos semejantes al original y entre ellos.
Observa: http://www.jorge-fernandez.es/proyectos/angulo/temas/temaf/app_f4.html
7- TEOREMA DE PITÁGORAS: triángulos rectángulos
Un triángulo es rectángulo

La suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
Demostración:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/pitagoras2.htm
Ejercicios (puntos 6 y 7): pág 143: 6. , pág 151: 28a, 29a, 29c, 30a, pág 152: 49, pág 153: 10
Ejercicios (T. Pitágoras): pág 146: 11 , pág 151: 35 y 37, pág 152: 38 y 47