Documento 218270

SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES II.
OPCIÓN A
 0 2
 y B =
EJERCICIO 1: Sean las matrices A = 
 3 0
a b

 .
 6 1
a) Calcule los valores de a y b para que A B = B A
b) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X B – A = I2.
Solución.
Apartado a)
AB=BA
 0 2  a b   a b  0 2   12 2   3b 2a  12  3b  b  4


  

  
  
  
 3 0  6 1   6 1  3 0   3a 3b   3 12   2a  2  a  1
Apartado b)
a = 1, b = 0.
 x1 x 2   1 0   0

 
  
 x3 x 4   6 1   3
 x1  6 x 2 x 2   0

  
x

6
x
x
3
4
4

 3
2 1

0   0
2 1

0   0
0

1 
0

1 
 x1  6 x 2  0 x 2  2   1 0 



x 4   0 1 
 x3  6 x 4  3
Por tanto:
x4  1
x1  6 x 2  1 
x3  6 x 4  3  0
x 2
 2

x2  2  0
 x1  11

x4  1
x3  3
1
SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
  11 2 

En consecuencia, concluimos que: X  
  3 1
EJERCICIO 2: Sea la función definida de la forma


f ( x)  


2x
x 1
x2
si
2 x 2  10x si
x2
a) Halle el dominio de f.
b) Estudio la derivabilidad de f en x = 2.
c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa
x = 0.
Solución:
Apartado a)
El dominio de definición es todo   1 ya que el denominador de la primera
función se anula para x = 1, mientras que la segunda función es continua puesto que
es una función polinómica.
Apartado b)
Para ver la derivabilidad de la función en x = 2, estudiemos antes su continuidad
en ese punto.
1. f (2)  22  102  12.
2. lim f ( x)  ?
2
x 2
Estudiemos los límites laterales.
2a.
f ( x)  lim f 2  h   lim
lim
f ( x)  lim f 2  h  lim 22  h  102  h  12
x 2 
2b.
22  h 
4
2  h  1
lim
x2
h 0
h 0
2
h0
h0
Luego la función no es continua en el punto x = 2 y, por tanto, no es derivable en
ese punto.
2
SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
Veamos también la definición de derivada de una función en un punto,
calculando, en este caso, las derivadas laterales en el punto x = 2.
22  h 
 12
f (2  h)  f (2)
4  2h  12  2h
f  (2)  lim
 lim 2  h  1
 lim

h
h
 h1  h 
h 0
h 0
h 0
16  14h
 lim
 
h 0 hh  1
f (2  h)  f (2)
22  h   102  h   12
 lim

h
h
h 0
h 0
h 2  2h 
 2
h
2
f  (2)  lim
lim
h 0
Luego la función no es derivable en x = 2.
Apartado c)
Para x = 0, y = 0 la recta pasa por (0 , 0) y tiene como pendiente la derivada de la
función en x = 0.
La función derivada para valores de x < 2 es la siguiente:
f x  
2x  1  2 x
x  1
2

2
x  12
f 0  2
La recta tangente será:
y  0  2x  0  y  2 x
EJERCICIO 3:
Parte I
a) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que P(A) = 0.5,
que P(B) =0.4 y que P A  B   0.8, determine P A / B .
b) Sean C y D dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que P(C) = 0.3,
que P(D) = 0.8 y que C y D so independientes, determine PC  D .
Parte II
El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley
Normal de media  días y desviación típica 3 días.
3
SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
a) Determine un intervalo de confianza para estimar  , a un nivel de confianza del
97%, con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8.1 días.
b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar  con
un error máximo de 1 día y un nivel de confianza del 92%?
Solución Parte I:
Apartado a)
P A / B  
p A  B 
P B 
P A  B  P A  PB  P A  B  0.5  0.4  0.8  0.1
0.1 1
  0.25
Entonces: P A / B  
0.4 4
Apartado b)
Por ser independientes C y D:
PC  D  PC PD  0.30.8  0.24
Por lo tanto:
PC  D  PC   PD  PC  D  0.3  0.8  0.24  0.86
Solución Parte II.
Apartado a)
Ley de probabilidad: N  , 3    3.
Nivel de confianza: 97%. Es decir z  z 0.03  z0.015  2.17
2
2
Media: x  8.1.
Muestra aleatoria: n = 100.
El intervalo de confianza para la media poblacional tiene la siguiente expresión:


 
 x  z
, x  z

2
2
n
n

Sustituyendo:
4
SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla


  
3
3 
 x  z
, x  z
   8.1  2.17
,8.1  2.17
 
2
2
n
n 
100
100 

8.1  2.170.3, 8.1  2.170.3  7.449, 8.751 días.
Apartado b)
El tamaño de la muestra seleccionada se calcula mediante la siguiente expresión:
 2 z 
2
n
 error





2
Los datos de los que disponemos son lo siguientes:
Error máximo: 1.
Nivel de confianza: 92%. Es decir z  z 0.04  1.75
2
Ley de probabilidad: N  ,3
De esta forma:
 2 z 
2
n
 error

2
2

   2 (1.75) 3   110.25

1



En consecuencia, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 111 enfermos.
5
SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II.
OPCIÓN B
EJERCICIO 1:
a) Represente gráficamente la región determinada por las siguientes restricciones:
2 x  y  6; 4 x  y  10;  x  y  3; x  0;
y0
b) Calcule el máximo de la función f (x , y) = 4x + 2y – 3 en el recinto anterior e
indique dónde se alcanza.
Solución:
Apartado a)
4x + y = 10
(0, 10)
-x+y=3
(1, 4)
(0, 6)
2x + y = 6
(2, 2)
(0, 3)
(3, 0)
(-3, 0)
(0, 0)
(2.5, 0)
6
SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
Los vértices son (0, 0), (0, 3), (1, 4), (2, 2) y (2.5, 0).
Apartado b)
El máximo de la función objetivo se alcanza en los vértices del recinto. Veamos,
en cual de ellos, la función f (x , y) = 4x + 2y – 3 tiene su valor máximo:
f (0 , 0) = – 3
f (0 , 3) = 4 (0) + 2 (3) – 3 = 3
f (2.5 , 0) = 4 (2.5) + 2 (0) – 3 = 7
f (1 , 4) = 4 (1) + 2 (4) – 3 = 9
f (2 , 2) = 4 (2) + 2 (2) – 3 = 9
El máximo se alcanza en los puntos (1 , 4) y (2 , 2) y en todos los infinitos
puntos del segmento de la recta que los une, que será combinación lineal de estos dos
vertices.
 x 2  ax  b

EJERCICIO 2: Sea la función f definida mediante f ( x)  
 L( x )

si
x 1
si
x 1
a) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = -1.
b) Para a = -1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en x = -1 y en x = 1.
Solución:
Apartado a)
Si f es continua, lo será en x = 1 que es donde la función tiene un punto que debe
analizarse.
Por tanto, ha de cumplirse que
lim
1. f (1)  L1  0 .
2. lim f ( x)  ?
f ( x)  f 1.
x 1
x 1
Estudiemos los límites laterales.
7
SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
lim
2b. lim
2a.

x1
x 1
f ( x)  lim 1  h  a 1  h  b  1  a  b
2
h0
f ( x)  lim L1  h  L1  0
h0
Para que la función sea continua en x = 1 tendrá que cumplirse que 1  a  b  0 .
Si f tiene un mínimo en x = - 1, la función es f ( x)  x 2  ax  b y tendrá que
cumplirse que f (1)  0.
Como f ( x)  2x  a  f  1  2  a  2  a  0  a  2.
Dado que 1  a  b  0  b  a  1  3  b  3.
Apartado b)
Derivabilidad en x = -1.
f ( x)  x 2  x  1  f ( x)  2x  1  f  1  3. Entonces la función es derivable
en x = -1 y su derivada es f (1)  3.
Derivabilidad en x = 1.
Primero veremos si la función es continua en x = 1, que es donde la función tiene un
punto que debe analizarse.
Por tanto, ha de cumplirse que
lim
f ( x)  f 1.
x 1
1. f (1)  L1  0 .
2. lim f ( x)  ?
x 1
Estudiemos los límites laterales.
lim
2b. lim
2a.
x1
x 1
f ( x)  lim 1  h  1  h  1  1
2
h0
f ( x)  lim L1  h  L1  0
h0
Como los límites laterales son distintos podemos afirmar que la función no es
continua en x = 1, esto implica que la función no es derivable en ese punto.
Veámoslo también aplicando la definición de derivada de una función en un punto:
8
SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
f a   lim
h 0
f a  h   f a 
h
Derivadas laterales:
f  a   lim
h 0
f a  h   f a 
h
f  a   lim
h 0
f a  h   f a 
h
Una función es derivable cuando f a   f  a   f  a .
f  (1)  lim
h 0
 lim
h 0
1
1  h  1.
1
f  (1)  lim
h 0
lim
h 0
f (1  h)  f (1)
L1  h   L1
L1  h  0
 lim
 lim
  ( L' Hôpital) 
h
h
h
0
h 0
h 0
1  h   1  h   1  0 
f (1  h)  f (1)
1  2h  h 2  1  h  1
 lim
lim
h
h
h
h 0
h 0
2
h2  h 1 1

 .
h
0
Por tanto, la función no es derivable en x = 1.
EJERCICIO 3:
Parte I
Se sabe que el 30% de los individuos de una población tiene estudios superiores;
también se sabe que, de ellos, el 95% tiene empleo. Además, de la parte de la población
que no tiene estudios superiores, el 60% tiene empleo.
a) Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo.
b) Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule la
probabilidad de que tenga estudios superiores.
Parte II
Sea la población {1, 2, 3, 4}.
a) Construya todas las muestras posibles de tamaño 2, mediante muestreo
aleatorio simple.
9
SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
b) Calcule la varianza de las medias muestrales.
Solución Parte I:
Consideremos los sucesos S = {los individuos tienen estudios superiores} y E = {los
individuos tienen empleo}.
P (S) = 0.3
P (E) = 0.95
Veamos el diagrama de árbol:
P (E/S) = 0.95
P(S) = 0.3
P (E’/S) = 0.05
P (E/S’) = 0.6
P(S’) = 0.7
P (E’/S’) = 0.4
Apartado a)
Aplicamos el teorema de la probabilidad total:
PE   PS PE / S   PS PE / S   0.30.95  0.70.6  0.705
Apartado b)
Aplicamos el teorema de Bayes:
PS / E  
0.950.3  0.7
PS  E 
PE / S PS 


P E 
PE / S PS   PE / S PS 
0.705
10
SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
Solución Parte II:
Apartado a)
El número de muestras de tamaño dos será:
C 4, 2 
4 x3
6
2
Veámoslas:
{1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}.
Apartado b)
Calculemos, en primer lugar, la media muestral:
6
X 
X
i 1
i
6
1,2  X 1  1.5
1,3  X 2  2
1,4  X 3  2.5
2,3  X 4  2.5
2,4  X 5  3
3,4  X 6  3.5
X 
1.5  2  2.5  2.5  3  3.5 15

 2.5
6
6
6
Var X  

X
i 1
6
2
i
X
2
2
2
2
2
2
2

1.5  2  2.5  2.5  3  3.5
2

 2.5 
6
40
 6.25  6.66  6.25  0.41.
6
11