Sea s t una señal de AM representada como s t A 1 m f t cos ct donde f t 1. es una señal de amplitud máxima igual a uno, es decir f t 1 y m es el “índice de modulación” 2 f t 20dB o sea la potencia para dicha señal. Se sabe además que f t cumple con 10log 12 media de la señal modulante está 20dB por debajo de su potencia peak. Se ha determinado que cuando no se modula (o sea si m 0 ) la potencia transmitida es de 20.000 Watts. Para lo que sigue se debe asumir que A , f t y c no cambian. I. Para el máximo índice de modulación compatible con la detección de envolvente, determine cuanta potencia se tendrá en la portadora y en la suma de la potencia de las bandas laterales. (15 puntos) II. Si se exigiera que del total de potencia transmitida, el 50% correspondiera a la de las dos bandas laterales ¿Cuál sería el índice de modulación? ¿Cuánto sería la potencia total? ¿Qué tipo de demodulador se utilizaría en el receptor? (15 puntos) Solución A2 2R 1 2 2 1 2 2 1 m2 2 Potencia en bandas laterales: Pbl A m f t A m Pport 2R 2R 100 100 1 2 1 2 2 1 1 Potencia total: Ptot A A m Pport 1 m2 2R 2R 100 100 Si R es la resistencia de carga, entonces la potencia de portadora es: Pport Para máximo índice de modulación compatible con detección de envolvente, m=1 la potencia de portadora no cambia, es Pport Pbl Pport A2 20.000Watts 2R y la de las bandas laterales es 1 200Watts 100 Si la potencia de bandas laterales debe ser igual a la de la portadora: 1 2 2 1 2 2 1 m2 2 A m f t A m Pport Pport 2R 2R 100 100 por lo tanto Pbl m2 1 m 10 100 y la potencia total será: 1 2 1 2 2 1 100 Ptot A A m Pport 1 2Pport 40.000Watts 2R 2R 100 100 Dado que en este caso m>1, para demodular habría que utilizar un detector de producto o sincrónico, usando una portadora recuperada. 2. En el sistema indicado la señal s t resulta de la combinación de dos señales modulantes m1 t y m2 t , multiplicadas mediante moduladores balanceados por portadoras ortogonales cos ct y sen ct . Las señales m1 t y m2 t son secuencias arbitrarias de pulsos, cada uno de duración T y de amplitud que puede (al azar) ser +1 o -1 según se indica. El receptor es el esquema que se indica en la figura y su objetivo es entregar señales a partir de las cuales se puedan recuperar m1 t y m2 t . El divisor de fase entrega una señal periódica cuya fase (y por lo tanto frecuencia) es la cuarta parte de la de la señal de entrada al divisor. Transmisor m1(t) Modulador Balanceado antena transmisor s(t) Sumador m1(t) 1 Filtro pasabanda frecuencia central c/2 cos(ct) -1 T 2T 3T 4T m2(t) Oscilador senoidal Desfase 90° sen(ct) 1 Modulador Balanceado seg -1 m2(t) antena receptor s(t) Desfase 90° T 2T 3T Modulador Balanceado 1 4T sout1(t) Receptor s2(t) Sistema cuadrático r(t) r2(t) Sistema cuadrático Filtro pasabanda frecuencia central c/2 p(t) Divisor de fase /4 Filtro pasabanda frecuencia central c/2 Modulador Balanceado 2 sout2(t) I. Considerando que es suficiente transmitir los pulsos con un ancho de banda tal que se deje pasar el 90% de su energía, especifique de que ancho debe ser el filtro pasabanda del transmisor. (10 puntos) II. Obtenga expresiones para sout1 t y sout 2 t . Especifique que anchos deberían tener los dos filtros pasabanda del receptor. (20 puntos) III. Especifique si es posible a partir de las salidas de los moduladores balanceados 1 y 2 del receptor recuperar las señales m1 t y m2 t (10 puntos) Solución Según se analizó en clases, un pulso rectangular de duración T tiene el 90% de su energía contenida en el rango 0 a 1/T [Hz]. Este es el “ancho de banda esencial” en banda base. Se desprende que al modular (o sea multiplicar por la portadora) el ancho de banda será como en todo sistema DSB-SC igual al doble del ancho de banda base, es decir 2/T (dos bandas laterales) Al receptor llega s t m1 t cos ct m2 t sen ct La señal elevada al cuadrado puede escribirse como: s 2 t m2 t cos2 ct m22 t sen 2 ct 2m1 t m2 t sen ct cos ct 1 1 m1 t m2 t sen 2ct 2 c eliminará la componente continua (o sea el valor 2 “uno” y debe dejar pasar la señal m1 t m2 t sen 2ct que sólo puede tomar los valores El primer filtro pasabanda, centrado en sen 2ct o -sen 2ct . Esta es una señal de pulsos de duración mínima T, multiplicada por una portadora y por lo tanto su ancho de banda será igual a la de la señal s t . El primer filtro pasabanda del receptor debe por lo tanto tener un ancho de banda del orden de 2/T Al elevar nuevamente al cuadrado se obtiene: 1 1 r 2 t m12 t m22 t sen 2 2ct cos 4ct 2 2 El segundo filtro debe ser angosto ya que lo que interesa recuperar es p t =cos 4ct Dividiendo la fase por 4 se obtiene cos ct . En consecuencia a la salida del desfasador se tendrá sen ct . La salida del Modulador Balanceado2 será entonces sout1 t m1 t cos 2 ct m2 t sen ct cos ct m t m t 1 1+cos 2ct 2 sen 2ct 2 2 y la salida del Modulador Balanceado1 será sout 2 t m1 t sen ct cos ct m2 t sen 2 ct m2 t m t 1-cos 2ct 1 sen 2ct 2 2 Si se filtran pasabajos las salidas de los moduladores balanceados, se obtienen las señales m1 t y m2 t en las salidas 1 y 2 respectivamente 3. Se transmite una señal de AM con modulación por una sinusoide pura de frecuencia 3kHz: s t A 1 m cos mt cos ct . La señal es demodulada mediante un receptor que utiliza un detector sincrónico (figura inferior). Para un índice de modulación m 0.1 se ha medido que la relación señal a ruido a la salida de este receptor es de 3dB. I. Calcule en dB la relación señal a ruido a la entrada del detector (o sea después del filtro pasabanda) (10 puntos) II. Calcule en dB la relación señal a ruido de salida que se habría obtenido con el receptor basado en detector de envolvente. Justifique debidamente cualquier aproximación. (10 puntos) III. Calcule en dB la relación señal a ruido a la salida del detector de envolvente si m es igual al mayor valor que se puede utilizar para dicho tipo de demodulador. (10 puntos) antena receptor s(t) Detector de envolvente filtro pasabanda, ancho de banda 10kHz antena receptor s(t) Modulador Balanceado 2 filtro pasabanda, ancho de banda 10kHz 2cos(ct) Oscilador senoidal filtro pasabajos, frecuencia de corte 5kHz Solución La relación señal a ruido de salida para una señal de la forma: s AM t A f t cos ct es 2 f 2 (t ) S S 2 . N out A f 2 (t ) N i En nuestro caso f t A m cos mt 1 S A2m2 S Reemplazando f t A2 5 103 . 2 N out 100 N i S S S dB dB 20 dB . Por lo tanto 23 dB N out N i N i 2 y y como en S S Si se hubiera utilizado un detector de envolvente, sería el mismo pues N out N in m 0.1 consecuencia 1 Para m 1 que 2 S N out es el mayor valor compatible con demodulación de envolvente A S S 2 2 S 2 S En dB esto es N dB N dB 10 log 3 dB out i A2 N i 3 N i A2 =23-1.8=21.2dB 2 2