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Ecuaciones del Plano
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El plano su ecuación y su gráfica según el valor de los coeficientes de su ecuación
Fecha de inclusión en Alipso.com: 2009-12-20
Enviado por: Juan Carlos Pérez Pérez ([email protected])
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Ecuaciones del Plano
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El plano su ecuación y su gráfica según el valor de los coeficientes de su
ecuación Agregado: 20 de DICIEMBRE de 2009 (Por Juan Carlos Pérez Pérez) | Palabras: 815 | Votar! |
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>Material educativo de Alipso relacionado con Ecuaciones del PlanoFunciones y Ecuaciones.: Exámen de
Funciones lineales.. Ecuaciones- rectas- funciones.: Ecuaciones de la Recta. Representar en la Recta: Enlaces
externos relacionados con Ecuaciones del Plano
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según el valor de los coeficientes de su ecuación", "articleBody": "
Autor: Juan Carlos Pérez Pérez
([email protected])
Este apunte fue enviado por su autor en formato PPT (Powerpoint). Para
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Ecuación del Plano Para
determinar un plano se necesitan un punto P0 (x0 ,y0
,z<¡) y un vector V(A;B;C) normal al plano.
La ecuación del
plano viene entonces dada por la
relación:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0)
= 0 A.x+
B.y+ C.Z + D = 0 (1)
Donde: D = -A.x0 - B.y0 - C.z0
CASOS PARTICULARES
• a) Plano paralelo al eje OX. Se
tiene A = 0 y la ecuación toma la forma:
B.y + C.z + D = 0
Siendo el vector director normal al plano de la forma:
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Ecuaciones del Plano
• b) Plano paralelo al eje OY.
Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + C.z + D = 0
Siendo
el vector director normal al plano de la forma:
• c) Plano paralelo al eje OZ.
Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + D-0
Siendo el vector
director normal al plano de la forma
• d) Plano que pasa por el origen.
Se tiene D = 0 y la
ecuación general toma la forma: A.x + B.y + C.z = 0
e) Plano
perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la
forma: C.z + D-0 ;
ecuación general toma la
z: Cte.
Esta ecuación puede considerarse
también como la correspondiente a un plano paralelo al plano XOY
• ) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al
= 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma: B.y + D-0 ;
plano XOZ. Se tiene en este caso A
y: Cte.
g) Plano
perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B
0, C = 0 y la ecuación general toma la
forma: A.x + D-0 ;
=
x: Cte.
Plano que pasa por dos puntos
Siendo Po , P1 y P2 tres puntos no consecutivos pertenecientes a un
plano, podemos considerar un punto
genérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:
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Ecuaciones del Plano
Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es
que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:
Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la
ecuación segmentaria del plano. Se trata de
saber la
ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos:
x = a ; y = b ; z = c.
Según lo anterior se
P0 = (a,0,0) ; P1 =
tiene:
(0,b,0) ; P2 = (0,0,c) ;
P = (x,y,z) Y la ecuación segmentaria del plano quedará en la forma:
•y desarrollando el determinante: 
 •b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c o, lo que es igual : 
Ecuación normal del plano
Conocidos los cosenos directores de un vector perpendicular al plano y siendo
al origen de coordenadas, la ecuación del plano toma la forma:
d la distancia
del plano
Posiciones relativas de dos planos
Siendo los planos de ecuaciones:
El ángulo que en general forman dichos planos viene dado por la ecuación:
Cuando los
planos son paralelos, los vectores directores
son linealmente dependientes y, por lo tanto, uno de ellos se
puede poner como combinación lineal del otro. Esto se expresa en la forma:
Cuando los planos son perpendiculares, se tiene y la ecuación (2) toma la forma:
• o lo que es igual:
• AVA2 + BVB2 + CVC2 - O
Ecuación general de la recta
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Ecuaciones del Plano
Conociendo un punto de una recta y su vector director, la
Si consideramos la recta en el espacio, la ecuación que la
ecuación que la determina toma la forma:
determina es:
A partir de la ecuación (3) podemos obtener
la ecuación de la recta en forma paramétrica. Haciendo la
relación de proporcionalidad igual a t, nos queda :
Una recta puede venir determinada por la intersección de dos planos:
Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas
El ángulo formado por
dos rectas es el mismo que el formado por sus vectores directores y viene dado,
como en el caso de los planos, por la ecuación:
Cuando dos rectas son paralelas sus vectores directores
son linealmente dependientes y, por tanto,
son proporcionales. La condición de paralelismo entre rectas será, por tanto:
Cuando dos rectas son perpendiculares, sus cosenos directores tienen producto
se traduce por la ecuación:
escalar nulo, lo que
a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 = 0
Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.-Siendo,
respectivamente:
ai+b.j+c.k ; Ai + B J + C.k
Los vectores directores de una recta y un plano, sabemos que el
vector director de la recta lleva la
misma dirección que esta y que el vector director del plano es perpendicular al
plano. Las condiciones de
perpendicularidad o paralelismo entre ellos será, por tanto:
Paralelismo : A.a + B.b + C.c = 0
Perpendicularidad :
Bibliografia:
Alipso.com - http://www.alipso.com
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Ecuaciones del Plano
•http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/EcuPlanRec.htm
•http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/node15.html
Este
apunte fue enviado por su autor en formato PPT (Powerpoint). Para poder visualizarlo correctamente (con
imágenes, tablas, etc) haga click aquí o aquí si desea abrirla en ventana nueva. " }
Autor: Juan
Carlos Pérez Pérez ([email protected])
Este apunte fue enviado por su autor en formato PPT
(Powerpoint). Para poder visualizarlo correctamente (con imágenes, tablas, etc) haga click aquí o aquí si
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Ecuación del Plano
Para
determinar un plano se
necesitan un punto P0 (x0 ,y0 ,z<¡) y un vector V(A;B;C) normal al plano.
La ecuación del
plano
viene entonces dada por la relación:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0)
= 0 A.x+
B.y+ C.Z + D = 0 (1)
Donde: D = -A.x0 - B.y0 - C.z0
CASOS PARTICULARES
• a) Plano paralelo al eje OX. Se
tiene A = 0 y la ecuación toma la forma:
B.y + C.z + D = 0
Siendo el vector director normal al plano de la forma:
• b) Plano paralelo al eje OY.
Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + C.z + D = 0
Siendo
el vector director normal al plano de la forma:
• c) Plano paralelo al eje OZ.
Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + D-0
Siendo el vector
director normal al plano de la forma
• d) Plano que pasa por el origen.
Se tiene D = 0 y la
ecuación general toma la forma: A.x + B.y + C.z = 0
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Ecuaciones del Plano
e) Plano
perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la
forma: C.z + D-0 ;
ecuación general toma la
z: Cte.
Esta ecuación puede considerarse
también como la correspondiente a un plano paralelo al plano XOY
• ) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al
= 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma: B.y + D-0 ;
plano XOZ. Se tiene en este caso A
y: Cte.
g) Plano
perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B
0, C = 0 y la ecuación general toma la
forma: A.x + D-0 ;
=
x: Cte.
Plano que pasa por dos puntos
Siendo Po , P1 y P2 tres puntos no consecutivos pertenecientes a un
plano, podemos considerar un punto
genérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:
Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es
que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:
Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la
ecuación segmentaria del plano. Se trata de
saber la
ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos:
x = a ; y = b ; z = c.
Según lo anterior se
P0 = (a,0,0) ; P1 =
tiene:
(0,b,0) ; P2 = (0,0,c) ;
P = (x,y,z) Y la ecuación segmentaria del plano quedará en la forma:
•y desarrollando el determinante: 
 •b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c o, lo que es igual : 
Ecuación normal del plano
Conocidos los cosenos directores de un vector perpendicular al plano y siendo
al origen de coordenadas, la ecuación del plano toma la forma:
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d la distancia
del plano
Ecuaciones del Plano
Posiciones relativas de dos planos
Siendo los planos de ecuaciones:
El ángulo que en general forman dichos planos viene dado por la ecuación:
Cuando los
planos son paralelos, los vectores directores
son linealmente dependientes y, por lo tanto, uno de ellos se
puede poner como combinación lineal del otro. Esto se expresa en la forma:
Cuando los planos son perpendiculares, se tiene y la ecuación (2) toma la forma:
• o lo que es igual:
• AVA2 + BVB2 + CVC2 - O
Ecuación general de la recta
Conociendo un punto de una recta y su vector director, la
Si consideramos la recta en el espacio, la ecuación que la
ecuación que la determina toma la forma:
determina es:
A partir de la ecuación (3) podemos obtener
la ecuación de la recta en forma paramétrica. Haciendo la
relación de proporcionalidad igual a t, nos queda :
Una recta puede venir determinada por la intersección de dos planos:
Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas
El ángulo formado por
dos rectas es el mismo que el formado por sus vectores directores y viene dado,
como en el caso de los planos, por la ecuación:
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Ecuaciones del Plano
Cuando dos rectas son paralelas sus vectores directores
son linealmente dependientes y, por tanto,
son proporcionales. La condición de paralelismo entre rectas será, por tanto:
Cuando dos rectas son perpendiculares, sus cosenos directores tienen producto
se traduce por la ecuación:
escalar nulo, lo que
a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 = 0
Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.-Siendo,
respectivamente:
ai+b.j+c.k ; Ai + B J + C.k
Los vectores directores de una recta y un plano, sabemos que el
vector director de la recta lleva la
misma dirección que esta y que el vector director del plano es perpendicular al
plano. Las condiciones de
perpendicularidad o paralelismo entre ellos será, por tanto:
Paralelismo : A.a + B.b + C.c = 0
Perpendicularidad :
Bibliografia:
•http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/EcuPlanRec.htm
•http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/node15.html
Este
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