Fisicia I - Servidor de Apoyo al Sistema Escolarizado -

Unidad I Estática de la partícula
1.1 Conceptos básicos
El Análisis Estructural es la parte de la Mecánica que estudia las
ESTRUCTURAS, consistiendo este estudio en la determinación de los
esfuerzos y deformaciones a que quedan sometidas, por la acción de
agentes externos (cargas gravitatorias, fuerzas sísmicas, de vientos,
variaciones térmicas, etc.)
Las estructuras se componen de una o más piezas ligadas entre sí y
al medio exterior, de modo de formar un conjunto estable. Esto es,
un conjunto capaz de recibir cargas externas, resistirlas internamente
y transmitirlas a sus apoyos, donde esas fuerzas externas
encontrarán su sistema estático equilibrante.
Las piezas que componen una estructura poseen evidentemente tres
dimensiones. En general pueden ocurrir dos casos:
Dos dimensiones son pequeñas con relación a la tercera: le
llamaremos barra y estará representada por su eje (lugar geométrico
del centro de gravedad de su sección transversal), por ejemplo:
vigas, columnas (figura MI-1a).
Una dimensión es pequeña con relación a las otras dos. Es el caso de
las losas o placas, cuyo espesor es pequeño respecto a su superficie
(figura MI-1b).
En nuestro curso, en su primera parte, realizaremos el estudio de
estructuras diseñadas con material homogéneo (madera, hierro) y en
la segunda parte, estructuras en hormigón armado como material
heterogéneo.
El concepto de fuerza es un concepto primario, su definición no es
sencilla. La noción de fuerza es fundamentalmente intuitiva: podemos
ejercer una fuerza sobre un cuerpo por medio de un esfuerzo
muscular; una locomotora ejerce fuerza sobre los vagones que
arrastra; un resorte estirado ejerce fuerza sobre las piezas que fijan
sus extremos etc. En todos los casos son fuerzas por contacto.
Hay también fuerzas de acción a distancia,
es decir, sin contacto, debidas a la existencia de campos
gravitatorios, eléctricos, magnéticos, etc.
De todas maneras la noción intuitiva sugiere que la fuerza es una
cantidad VECTORIAL, es decir, con dirección, magnitud o
intensidad y sentido (figura MI-2).
Momento de una fuerza
En general, una fuerza aplicada sobre un cuerpo produce una
traslación, si está en reposo y no impedido su movimiento.
En el caso de la figura MI-3, hay un punto O impedido de trasladarse,
entonces el cuerpo girará alrededor del punto O por acción de la
fuerza P.
La rotación se mide por el MOMENTO que es el producto de la
intensidad de la fuerza P por la mínima distancia que va desde el
punto O hasta la línea de acción de la fuerza: M = P x d (la mínima
distancia desde un punto hasta una recta se mide sobre la
perpendicular a dicha recta).
1.2 Fuerzas
Resultante
concurrentes
coplanares:
Supongamos un muro de mampostería el cual está solicitado por las
fuerzas P1, P2, P3, y P4, las que están contenidas en su plano (figura
MI-4).
Sea S el punto de concurrencia de sus rectas de acción. El efecto de
estas fuerzas es equivalente al de una fuerza resultante única R, cuya
recta de acción debe pasar, naturalmente, por S.
Para encontrar la magnitud, dirección y sentido de la resultante se
procede de la siguiente manera:
Partir de un polo M (figura 5), se lleva a escala de fuerzas, una a
continuación de la otra, las fuerzas P1, P2, P3, P4. La recta que une
el origen de la primera con el extremo de la última define la
resultante del sistema (suma de vectores gráficamente).
Se comprende que el muro, con las fuerzas actuantes, no está en
equilibrio, sino que tiende a desplazarse en la dirección de la
resultante, y podemos establecer que:
“Para que un sistema de fuerzas concurrentes esté en
equilibrio, es decir, para que su resultante sea nula, es
necesario que el polígono de fuerzas construido a partir de un
origen M cualquiera, sea cerrado.”
En el ejemplo planteado, para lograr el equilibrio, el terreno deberá
reaccionar con una fuerza igual y de sentido contrario a R, y aplicada
en su misma recta de acción.
Equilibrio de fuerzas: solución gráfica
Estudiaremos el tema planteándonos la resolución del sistema que
ilustra la figura MI-6. Un peso de 1000 kg. está soportado por dos
cables, CA y CB.
Se pide encontrar los esfuerzos en los cables, y la magnitud,
dirección y sentido de cada reacción de apoyo.
Para que el punto C esté en equilibrio, los cables CA y CB tendrán
que realizar esfuerzos tales que la suma vectorial sea igual a cero, es
decir, un polígono cerrado.
Se dibuja la carga conocida (a escala de fuerzas) y por sus extremos
trazamos rectas paralelas a la dirección de los cables (figura MI-7).
Así nos quedan definidos inmediatamente dos segmentos que nos
dan la magnitud, en la misma escala, del esfuerzo de cada cable Sa y
Sb. El sentido se lo colocamos de manera que la suma (P + Sa +
Sb) sea igual a cero (polígono cerrado). Sa y Sb (llevados a la figura
MI-6) son los esfuerzos que los cables realizan sobre el punto C para
mantenerlo en equilibrio.
Ahora aislemos uno de los cables, por ejemplo el CB y veamos qué
fuerzas exteriores a él actúan (figura MI-8).
En el extremo C está el esfuerzo Sa del otro cable y la carga de 1000
kg, que sumados vectorialmente, es decir, uniendo el origen del
primero con el extremo del último, da la resultante Rm, en dirección,
magnitud y sentido, que actúan en el extremo C.
Para que el cable CB esté en equilibrio, en el extremo B deberá
aparecer una fuerza igual y de sentido contrario a Rm, que será
precisamente, la reacción en el apoyo B (RB).
Faltan una imágenes que no se pueden mostrar
Observando el cable CB en la figura MI-8 vemos que está en
equilibrio, y como las fuerzas exteriores lo están tratando de alargar,
decimos que está traccionado.
Idéntico razonamiento se puede hacer con el cable CA, en donde
vemos que en el extremo C actúan P y Sa (figura MI-9).
Sumados vectorialmente P y Sa, da la fuerza resultante Rn. El
equilibrio del cable CA se logra por la fuerza reactiva RA del apoyo A.
Equilibrio de fuerzas: solución analítica
Veamos cómo se determinarían analíticamente las incógnitas RA y
RB en el caso del problema que ilustró la figura MI-6 y que se repite
en la figura MI-10, anotando los ángulos que forman las fuerzas
concurrentes (RA, RB y P).
Las ecuaciones que posibilitan la solución analítica del problema
surgen de la misma exigencia de polígono cerrado. Si el polígono
formado por cargas y reacciones (fuerzas concurrentes) está cerrado,
la suma de las proyecciones de estas fuerzas sobre cualquier sistema
de ejes ortogonales x e y, contenidas en su plano de acción, vale
cero.
Así se llega a las conocidas ecuaciones de equilibrio:
Fxi = 0
Fyi = 0
Donde Fxi y Fyi designan, las proyecciones de una cualquiera de las
fuerzas exteriores sobre los ejes x e y, respectivamente, y la
sumatoria se debe extender a todas las fuerzas del sistema.
Proyectando las fuerzas de la figura 10 sobre un par de ejes
ortogonales x e y, y fijando a priori el sentido de las reacciones,
resultan las siguientes ecuaciones de proyección, que hacemos igual
a cero por tratarse de un sistema de fuerzas en equilibrio:
Fx = 0
Fy = 0
-RA + RB x cos 45 = 0
- P + RB x sen 45 = 0
Desplazamiento de una fuerza a una dirección paralela
a sí misma
En el gráfico central de la figura MI-11 podemos observar que si
mantenemos la fuerza P en su ubicación original y agregamos en otro
punto cualquiera dos fuerzas P opuestas entre sí (en este ejemplo
ubicadas en el centro del plano),
el sistema resultante es
equivalente al primero.
El nuevo sistema está constituido por la fuerza P dirigida hacia abajo
en el punto central, y por una cupla o par de fuerzas (formada por las
otras dos), de Momento igual a M = P x a
y este nuevo sistema
es equivalente al original.
No se altera el efecto cinemático de una fuerza P desplazándola
paralelamente a su línea de acción, a la distancia a, siempre que se
agregue una cupla de momento P x a.
Fuerzas coplanares no concurrentes
Para determinar la intensidad, dirección y sentido de la resultante
aplicamos el método gráfico o analítico visto anteriormente.
En cuanto a la posición de la línea de acción de la resultante, se
determina calculando su brazo de palanca r desde un punto
cualquiera del plano, considerado centro de momento, mediante el
Teorema de Momentos de Varignon: “El momento de la
resultante de cualquier sistema de fuerzas respecto a un
punto es igual a la suma algebraica de los momentos de las
componentes”.
Como ya conocemos el valor de la resultante, será suficiente despejar
de la ecuación anterior el valor del brazo de palanca r desde el punto
T
elegido como centro de momentos, y por donde pasará la
resultante:
Condiciones de equilibrio
Para un cuerpo, sometido a la acción de fuerzas exteriores, estar en
equilibrio significa que dichas fuerzas no provocan traslación alguna
ni rotación del cuerpo. Consideremos nuevamente la figura MI-12 (a)
y agreguemos una sexta fuerza P6 de valor igual y de sentido
contrario a la resultante, pero que no coincida con la posición de la
misma, tal como indica la figura MI-13.
Es evidente que si se construyera un polígono con las fuerzas dadas,
éste resultaría cerrado, es decir, resultante nula. Sin embargo, el
cuerpo no está en equilibrio.
El cuerpo está sometido a una cupla resultante que tiende a hacerlo
girar en sentido horario.
Vamos a establecer qué condición analítica debe cumplirse para
asegurar que no rote, es decir, que no exista cupla resultante.
Si en la figura MI-13 tomamos momentos de todas las fuerzas
respecto al punto T, llegaríamos a la conclusión que:
MT = R x r
Es decir, con el agregado de la fuerza P6 = 9,1t hemos logrado
resultante nula (no-traslación), pero no el equilibrio a la rotación.
Evidentemente el equilibrio, es decir, la inexistencia de una cupla
resultante, exige que R x r = 0, es decir,
M = 0, cosa que se
lograría si P6 tuviera la misma recta de acción que R.
LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UN SISTEMA DE
FUERZAS SON:
POLÍGONO DE FUERZAS CERRADO Y CUPLA RESULTANTE
NULA.
• De la condición de polígono de fuerzas cerrado se deduce: la suma
algebraica de las proyecciones de las fuerzas dadas, sobre un par
cualquiera de ejes ortogonales, debe ser cero.
• De la condición que establece cupla resultante nula se deduce: la
suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas, respecto de
cualquier punto del plano, debe ser igualmente nula.
Estas condiciones se expresan analíticamente mediante las siguientes
ecuaciones de equilibrio:
Fx = 0
Fy = 0
M=0
En donde Fx y Fy son las proyecciones ortogonales de cada una de
las fuerzas F, y M el momento de cada una de las fuerzas respecto
de un punto del plano.
La sumatoria se extiende a todas las fuerzas del sistema.
1.3 Componentes rectangulares de una fuerza
(vector)
MAGNITUD ESCALAR
Es aquella que se determina suficientemente por medio de un
número, positivo o negativo, que exprese su cantidad. Son
cantidades escalares la masa, tiempo, temperatura, trabajo, etc.
MAGNITUD VECTORIAL
Es aquella que para su completa determinación se necesita su
cantidad o magnitud, dirección y sentido. Son magnitudes vectoriales
la velocidad, aceleración, fuerza, torque, etc.
VECTOR
Es la expresión, o representación de una cantidad perteneciente a
una magnitud vectorial. El vector es para la magnitud vectorial, lo
que es el número para la magnitud escalar.
El vector se representa por medio de un segmento orientado OP; la
longitud del segmento es el módulo o magnitud del vector, la
dirección del segmento es la correspondiente al vector y la flecha
indica el sentido del vector. El punto O es el origen o punto de
aplicación y P es el extremo del vector.(Fig. 1).
Fig.1 Representación de un vector
Fig.2 Igualdad de vectores
IGUALDAD DE VECTORES
Dos vectores y son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y
sentido, como se muestra en la Fig 2.
VECTOR NEGATIVO
Dado un vector , el vector negativo u opuesto de es el que tiene la
misma magnitud, dirección y sentido contrario, como se muestra en
la Fig. 3
SUMA DE VECTORES COPLANARES
Vectores coplanares son aquellos que se encuentran contenidos en un
mismo plano. Para sumar estos vectores existen varios métodos:
Fig.3 Vector Negativo
Fig.4 Método del Paralelogramo
La suma de dos vectores y se
obtiene fijando los vectores al mismo punto de aplicación O y
construyendo un paralelogramo con y como dos lados contiguos del
paralelogramo. La diagonal que pasa por O representa la suma de los
vectores y . (Fig. 4)
a) METODO DEL PARALELOGRAMO:
Consideremos los vectores y , la suma de
estos vectores puede encontrarse colocando el origen de en el
extremo de y luego uniendo el origen de con el extremo de .(Fig. 5)
b) METODO DEL TRIANGULO:
Fig.5 Método del Triángulo
Consideremos la suma de tres vectores y
para hallar la suma se coloca sucesivamente el origen de uno de los
vectores con el extremo del otro y finalmente uniendo el origen del
primero con el extremo del ultimo. (Fig. 6).
c) METODO DEL POLIGONO:
Fig.6 Método del Polígono
RESTA DE VECTORES
Consideremos los vectores y , la resta de los vectores - se obtiene
sumando el vector minuendo con el vector negativo del sustraendo
(Fig. 7), o sea:
Fig.7 Resta de Vectores
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
El producto de un escalar n por un vector , es otro vector que tiene la
misma dirección y sentido pero con la magnitud n veces al de , o sea:
VECTOR UNITARIO
Es todo vector de magnitud la unidad. Todo vector se puede
representar por el producto de un vector unitario de igual dirección y
sentido de .
VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES
Son los vectores y , que tienen por direcciones las correspondientes a
los eje X,Y y Z del sistema cartesiano. (Fig. 8).
Fig.8 Vectores Unitarios Rectangulares
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN UN
PLANO
Consideremos un vector , este vector se puede descomponer en dos
vectores Ax y Ay perpendiculares entre si en las direcciones de los
ejes X y Y respectivamente (Fig. 9). Estos dos vectores son las
componentes rectangulares del vector
Fig.9 Componentes Rectangulares de un vector plano
PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar entre dos vectores y , como se muestra en la Fig.
10, se define como:
Fig.10 Producto Escalar entre dos vectores
Para el caso en que los vectores y estén representados en función de
sus componentes rectangulares,
PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial entre dos vectores y , como se muestra en la
figura 11, se define como:
El resultado de este producto resulta ser un vector cuya magnitud es
AB Sen q y su dirección es perpendicular al plano que contiene los
dos vectores y .
Para el caso en que los vectores y estén representados en función de
sus componentes rectangulares,
1.4
Condiciones de equilibrio, primera ley de newton.
La primera ley de Newton, conocida también como Ley de
inercía, nos dice que si sobre un cuerpo no actua ningún otro,
este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta
con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que
equivale a velocidad cero).
Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende
de cual sea el observador que describa el movimiento. Así,
para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando
lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien
que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el
interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se
necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el
movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir un
tipo especial de sistemas de referencia conocidos como
Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos
sistemas de referencia desde los que se observa que un
cuerpo sobre el que no actua ninguna fuerza neta se mueve
con velocidad constante.
En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia
inercial, puesto que siempre hay algún tipo de fuerzas
actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible
encontrar un sistema de referencia en el que el problema que
estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en
un sistema inercial. En muchos casos, suponer a un
observador fijo en la Tierra es una buena aproximación de
sistema inercial.
Unidad II. Estática del cuerpo rígido
2.1 Introducción
En general un cuerpo puede tener tres tipos distintos de movimiento
simultáneamente.
De traslación a lo largo de una trayectoria, de rotación mientras se
está trasladando, en este caso la rotación puede ser sobre un eje que
pase por el cuerpo, y si a la vez este eje esta girando en torno a un
eje vertical, a la rotación del eje del cuerpo rotante se le llama
movimiento de precesión (por ejemplo un trompo), y de vibración de
cada parte del cuerpo mientras se traslada y gira. Por lo tanto el
estudio del movimiento puede ser en general muy complejo, por esta
razón se estudia cada movimiento en forma independiente.
Cuando un cuerpo está en rotación, cada punto tiene un movimiento
distinto de otro punto del mismo cuerpo, aunque como un todo se
esté moviendo de manera similar, por lo que ya no se puede
representar por una partícula. Pero se puede representar como un
objeto extendido formado por un gran número de partículas, cada
una con su propia velocidad y aceleración. Al tratar la rotación del
cuerpo, el análisis se simplifica si se considera como un objeto rígido
y se debe tener en cuenta las dimensiones del cuerpo.
Cuerpo rígido. Se define como un cuerpo ideal cuyas partes
(partículas que lo forman) tienen posiciones relativas fijas entre sí
cuando se somete a fuerzas externas, es decir es no deformable. Con
esta definición se elimina la posibilidad de que el objeto tenga
movimiento de vibración. Este modelo de cuerpo rígido es muy útil en
muchas situaciones en las cuales la deformación del objeto es
despreciable.
El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de
movimiento de traslación y de rotación. Para hacer su descripción es
conveniente estudiar en forma separada esos dos movimientos.
Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el
cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún
eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con
una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza.
Se prefiere usar la palabra torque y no momento, porque esta última
se emplea para referirnos al momento lineal, momento angular o
momento de inercia, que son todas magnitudes físicas diferentes para
las cuales se usa una misma palabra.
Analizaremos cualitativamente el efecto de rotación que una fuerza
puede producir sobre un cuerpo rígido. Consideremos como cuerpo
rígido a una regla fija en un punto O ubicado en un extremo de la
regla, sobre el cual pueda tener una rotación, y describamos el efecto
que alguna fuerza de la misma magnitud actuando en distintos
puntos, produce sobre la regla fija en O, como se muestra en la
figura 6.1. Una fuerza F1 aplicada en el punto a produce una rotación
en sentido antihorario, F2 en b produce rotación horaria y con mayor
rapidez de rotación que en a, F3 en b pero en dirección de la línea de
acción que pasa por O no produce rotación, F4 inclinada en b produce
rotación horaria con menor rapidez de rotación que F2; F5 y F6
aplicadas perpendiculares a la regla no producen rotación. Por lo
tanto existe una cantidad que produce la rotación del cuerpo rígido
relacionada con la fuerza, que definimos como el torque de la fuerza.
2.3 Momento de una fuerza respecto a un punto
Representación de una fuerza que pasa por dos puntos
Sin perder generalidad,
se puede suponer que
un punto, por el que
pasa la fuerza, es el
origen, ya que éste es
arbitrario, y el otro
tiene coordenadas (x, y,
z), [Fig. 1-1]
Figura 1-1
Si la fuerza va dirigida de
O hacia A, el vector
unitario irá en la misma
dirección y es:
[1-2]
donde los vectores , y
son vectores unitarios dirigidos
sobre los ejes x, y, z respectivamente. Se debe notar que
, es el vector que va desde O hasta A;y
, la distancia del segmento OA.
Entonces, matemáticamente la fuerza
O hacia A se representa así:
, de magnitud F, dirigida de
[1-3]
Puesto que un vector en tres dimensiones se representa como:
[1-4]
donde Fx, Fy, y Fz son las componentes rectangulares en las
direcciones x, y, z; se deduce que:
[1-5]
Si la línea de acción de la fuerza no pasa por el origen, [Fig. 1-2],
entonces:
[1-2]’
donde
La fuerza
,
,
,
y
.
se representa como:
[1-6]
Nótese que el mismo resultado se obtendría si el origen de
coordenadas se hubiera tomado en A.
En este caso:
,
,
[1-5]’
Figura 1-2
La dirección de una fuerza se puede especificar por medio de los
parámetros angulares
-3].
Figura 1-3
Puesto que
,
, [Fig. 1-4a], donde
y
además,
,
, y
[Fig.1-4b],
y
,
donde
entonces
o
[1-7]
(a)
Figura 1-4
(b)
De la ecuación [1-1] se puede concluir que:
es un vector unitario, lo cual se puede demostrar hallando la
magnitud
de
,
en
efecto:
Otra forma de especificar la
dirección de una fuerza es
utilizando los ángulos que su línea
de acción forma con los ejes
coordenados, [Fig. 1-5]. Para una
mejor
visualización
de
estos
ángulos, en la figura 1-6 se
muestra la fuerza en planos que
contienen los ejes coordenados.
Figura 1-5
Se ve en la figura que:
[1-8]
Por lo tanto
Figura 1-6
Entonces, de acuerdo a la ecuación [1-1], se tiene que
[1-9]
y por consiguiente
[1-10]
Se debe tener en la cuenta que para especificar la dirección de una
fuerza por medio de los ángulos directores, es suficiente especificar
dos de ellos y el tercero se determina de la ecuación [1-10].
Representación de una fuerza que pasa por dos
puntos
Sin perder generalidad,
se puede suponer que
un punto, por el que
pasa la fuerza, es el
origen, ya que éste es
arbitrario, y el otro
tiene coordenadas (x, y,
z), [Fig. 1-1]
Figura 1-1
Si la fuerza va dirigida de
O hacia A, el vector
unitario irá en la misma
dirección y es:
[1-2]
donde los vectores , y
son vectores unitarios dirigidos
sobre los ejes x, y, z respectivamente. Se debe notar que
, es el vector que va desde O hasta A;y
, la distancia del segmento OA.
Entonces, matemáticamente la fuerza
O hacia A se representa así:
, de magnitud F, dirigida de
[1-3]
Puesto que un vector en tres dimensiones se representa como:
[1-4]
donde Fx, Fy, y Fz son las componentes rectangulares en las
direcciones x, y, z; se deduce que:
[1-5]
Si la línea de acción de la fuerza no pasa por el origen, [Fig. 1-2],
entonces:
[1-2]’
donde
La fuerza
,
,
,
y
.
se representa como:
[1-6]
Nótese que el mismo resultado se obtendría si el origen de
coordenadas se hubiera tomado en A.
En este caso:
,
,
[1-5]’
Figura 1-2
La dirección de una fuerza se puede especificar por medio de los
parámetros angulares
-3].
Figura 1-3
Puesto que
,
, [Fig. 1-4a], donde
y
además,
,
y
, y
[Fig.1-4b],
,
o
[1-7]
donde
entonces
(a)
Figura 1-4
(b)
De la ecuación [1-1] se puede concluir que:
es un vector unitario, lo cual se puede demostrar hallando la
magnitud
de
,
en
Otra forma de especificar la
dirección de una fuerza es
utilizando los ángulos que su línea
de acción forma con los ejes
coordenados, [Fig. 1-5]. Para una
mejor
visualización
de
estos
ángulos, en la figura 1-6 se
muestra la fuerza en planos que
contienen los ejes coordenados.
Figura 1-5
Se ve en la figura que:
[1-8]
Por lo tanto
efecto:
Figura 1-6
Entonces, de acuerdo a la ecuación [1-1], se tiene que
[1-9]
y por consiguiente
[1-10]
Se debe tener en la cuenta que para especificar la dirección de una
fuerza por medio de los ángulos directores, es suficiente especificar
dos de ellos y el tercero se determina de la ecuación [1-10].
2.3 Momento de una fuerza con respecto a un punto
Si sobre un cuerpo actúa una
fuerza, cuyo línea de acción
pasa por el punto A del
cuerpo[Fig. 1-7], se define el
momento de esa fuerza con
respecto a O,
, como
Figura 1-7
Entonces,
por
definición,
el
momento
de
una
fuerza F con respecto
a un punto, es un
vector perpendicular
al plano formado por
y cuya
dirección cumple con
la regla de la mano
derecha [Fig. 1-8].
Figura 1-8
Además el vector
ese punto.
, por estar relacionado con O, debe pasar por
Si B es otro punto sobre la
línea de acción de
, de la
figura
1-9
se
ve
que
entonces:
Figura 1-9
El segundo término de la ecuación de la derecha es igual a cero pues,
y
son colineales. De lo anterior se puede enunciar una
fórmula más general para el momento de una fuerza con respecto a
un punto diciendo que:
ya que
[1-11]
Donde es un vector que
va desde O a cualquier
punto sobre la línea de
acción de
[Fig. 1-10].
Figura 1-10
,
A partir de la definición de
momento de una fuerza con
respecto a un punto, ecuación
[1-11],
puesto
que
y
, [Fig. 1-11],
se tiene que:
Figura 1-11
[1-12]
Como
, entonces
[1-13]
son las componentes
rectangulares
del
vector
Figura 1-12
momento
que la fuerza
produce con respecto a O. No es
necesario
memorizar
las
fórmulas de la ecuación [1-13],
mejor entender físicamente lo
que ellas representan, veamos:
si se aplica el principio de
transmisibilidad
al
sistema
representado en la figura 1-11,
se obtiene el sistema de la
figura 1-12, en ésta se puede
ver que, por ejemplo, la fuerza
tiende a hacer rotar el cuerpo
alrededor del eje Y con una
“intensidad”
en la dirección
positiva, y la misma fuerza
tiende a hacer girar el cuerpo
alrededor del eje Z con una
“intensidad”
en la dirección
negativa. La fuerza
no tiene
efecto de rotación sobre el eje
x.
Un análisis similar se puede hacer para las otras dos componentes,
[Fig. 1-13]. El principio de transmisibilidad dice “Si una fuerza se
traslada sobre su línea de acción, el efecto que esa fuerza produce
sobre el cuerpo, si se considera rígido, sigue siendo el mismo que
antes de trasladarse”
Figura 1-13
Como se sabe, el producto vectorial de dos vectores, se puede
obtener a partir del determinante de la matriz conformada por los
vectores unitarios, las componentes del vector de posición
componentes de la fuerza
, así:
y las
[1-12]’
Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al
producto vectorial del vector posición de la fuerza por el vector
fuerza.
La analogía de la llave y el tornillo, nos
ayuda a entender el significado físico de
la magnitud momento, y a determinar
correctamente el módulo, la dirección y el
sentido del momento de una fuerza:



El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la distancia
desde el punto O a la recta de dirección de la fuerza). M=Fd
La dirección perpendicular al plano que contiene la fuerza y el
punto, la que marca el eje del tornillo.
El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando
hacemos girar a la llave.
MOMENTO O TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO.
Sean:
Una fuerza que está aplicada en un punto A de un sólido rígido
como se indica en la figura 104.
Un
punto
del
sólido
alrededor
del cual
éste
puede
El vector de posición de A, tomando como origen el punto O.
rotar.
Fig. 104
Se define el momento o torque de la fuerza
y se designa por
con respecto al punto O
como:
Observaciones:
1. El simbolo < class="large3"> corresponde a una letra del alfabeto
griega y se lee tao, también se designa el momento con respecto al
punto O por
2. De la definición del producto vectorial se derivan las siguientes
consecuencias que se pueden observar en las figuras 105 y 106.
FIGURA 105.
MAGNITUD DE
, siendo el ángulo que determinan los dos vectores
cuando los aplicamos en un mismo punto; observemos que no
necesariamente, el ángulo determinado entre el vector
y la
aplicación de
en su extremo que corresponde realmente a su
suplemento pero que, erróneamente, en muchas ocasiones se toma
como el ángulo entre los dos vectores.
FIGURA 106.
Vemos que en el
rectángulo, donde OH representa la distancia
del punto O a la linea de acción de
, que
y por lo tanto
se tiene tambien que:
a la distancia OH se le denomina
brazo de palanca, y una consecuencia inmediata de la expresión
anterior es que la magnitud del torque de la fuerza
es
independiente del punto de aplicación de ésta sobre su línea de
acción, puesto que la distancia de O a la recta es constante.
Remitiendonos de nuevo a la ecuación inicial para
establecer otra interpretación interesante que se
descomponer la fuerza
podemos
origina al
en dos componentes rectangulares así: una
componente paralela al vector
y otra componente perpendicular a
éste; que designamos respectivamente por
observar en la figura 107.
y
como podemos
FIGURA 107.
Se tienen en consecuencia las siguientes expresiones para
Cada expresión puede ser de mayor o menor utilidad, dependiendo
de los datos específicos del problema a estudiar.
Anotemos finalmente que las unidades en las que se expresa la
magnitud del torque, en el sistema MKSC corresponde al producto
Newton.metro. Recordando algo anteriormente visto, tenemos que,
en el mismo sistema, el trabajo también se expresa en este mismo
producto, designando como Joule la unidad para el trabajo. No
obstante utilizaremos el Joule únicamente para las unidades del
trabajo y en el caso del torque los designamos explicitamente como
Newton.metro. Mas adelante daremos una explicación detallada del
significado del torque.
DIRECCIÓN DE
y
y por lo tanto es perpendicular al plano que determinan
los vectores
y
cuando ellos no son paralelos. En consecuencia la
recta de acción de
representa el eje respecto al cual tiende a girar
el cuerpo cuando está sujetó en O y se le aplica la fuerza
SENTIDO DE
El sentido de
está indicado por la regla de la mano derecha, como
lo estudiamos en la definición del producto vectorial. Para el caso de
la
situación
analizada
determinado por
y
el
vector
está
"entrando"
al
plano
como lo indicamos en la figura 105, 106 y 107;
esta regla nos indica además el sentido del giro que la fuerza tiende
a imprimir al sólido rígido, alrededor de un eje determinado por la
línea de acción de
y que pasa por O.
En este caso el sentido del giro es horario y por convención lo
indicaremos con el simbolo
como se indica en la figura 108,
asignandole signo negativo al módulo de
en caso contrario si el
sentido es antihorario lo indicaremos con el simbolo
asignandole
signo positivo al módulo de
FIGURA 108.
Esta caracterización de
nos permite, por último comprender
cabalmente el significado de este objeto físico que resumiremos así:
la magnitud de
mide la tendencia de la fuerza
a imprimir al sólido
rígido un movimiento de rotación cuando el cuerpo tiene el punto O
fijo.
7.3.4. Como ya fué observado previamente, el momento
de una
fuerza respecto a un punto, no depende de la situación real del punto
de aplicación de la fuerza a lo largo de su linea de acción
(recordemos que la fuerza corresponde a un vector deslizante).
Recíprocamente el momento
de una fuerza no determina la
posición del punto de aplicación de la misma.
Sin embargo, el momento
de una fuerza
de magnitud, dirección y
sentidos dados, determina completamente la recta de acción de
efecto, la recta de acción de
al vector
. En
se encuentra en un plano perpendicular
y que pasa por O; y la distancia de la recta al punto O es
igual al cociente
además el sentido de
y el signo asignado nos
permite precisar a que lado de O se determina la recta.
Podemos plantear además una nueva expresión para el principio de
transmisibilidad, como consecuencia de todo lo anterior, en los
siguientes términos: Dos fuerzas y
son equivalentes, si y sólo si,
son iguales y tienen momentos iguales respecto a un punto dado O.
Esto lo podemos simbolizar así,
y
son equivalentes si y sólo si
y
2.4 TEOREMA DE VARIGNON.
Èl momento respecto de un punto dado O de la resultante de varias
fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de cada
una de las fuerzas respecto al mismo punto O.
Esto es, si las fuerzas
,
; se aplican en un punto P,
como se indica en la figura 109, podemos concluir inmediatamente
por la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la
suma, que:
FIGURA 109.
Debemos anotar que esta propiedad fue establecida por primera vez
por el matemático francés Pedro Varignon (1654-1722), mucho antes
de la introducción del álgebra vectorial, y de allí surgió el nombre
para este teorema. No sobra destacar como la matemática crea
instrumentos cada vez mas refinados y ágiles que permiten la
formalización de propiedades validadas empiricamente como la
anteriormente citada.
El resultado anterior permite sustituir la determinación directa del
momento de una fuerza , por la determinación de los momentos de
dos o más fuerzas componentes. Esto es particularmente util en la
descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares. Sin
embargo, puede resultar más útil en algunos casos descomponer
componentes que no sean paralelas a los ejes coordenados.
2.5 Momento de una fuerza respecto a un eje
en
2.4 Momento de una fuerza con respecto a un eje
Retomando el concepto
de momento de una
fuerza con respecto a un
punto se puede hacer
notar
que
las
componentes
rectangulares [Fig. 116], que representan la
tendencia a la rotación
alrededor de los ejes
coordenados se obtienen
proyectando el momento
sobre cada uno de los
Figura 1-16
ejes así:
Donde
son los cósenos directores del vector
.
En forma vectorial las ecuaciones anteriores se pueden expresar
como:
Para determinar el momento
de una fuerza con respecto a
cualquier
otro
eje,
por
ejemplo el eje OL, que pasa
por O, [Fig. 1-17], se
proyecta el momento
sobre el eje tal que:
Figura 1-17
O en forma vectorial:
Donde
es un vector unitario dirigido en la dirección OL. Se debe
hacer notar que el momento así definido es un escalar; puesto que el
momento con respecto a un eje es un vector; para expresarlo como
tal, se multiplica su magnitud por el vector unitario dirigido sobre su
línea de acción así:
[1-14]
Para hallar una expresión
más general del momento de
una fuerza con respecto a un
eje consideremos la figura 118.
Sea
P
un
punto
cualquiera sobre el eje OL,
como:
Figura 1-18
[1-15]
De la figura se ve que
Como
y que
entonces:
es cero, resulta que
[1-16]
Pero
es el momento de la fuerza con respecto a P; por
consiguiente se puede decir que el momento de una fuerza
con
respecto a un eje es igual a la proyección sobre él mismo, del
momento del la fuerza con respecto a cualquier punto contenido en el
eje.
Aunque las ecuaciones [1-15] y [1-16], expresan que:
No
se
puede
desprevenidamente,
sea igual a
afirmar,
que
, esto
es; que el momento de
respecto a O sea igual al
momento de con respecto a
P. Lo que las ecuaciones [115] y [1-16] indican es que la
Figura 1-19
proyección de
y
sobre
el eje OL son iguales.Para
entender esto, véase la figura
1-19.
Para comprender mejor
física y geométricamente
el momento de una fuerza Entonces el momento con respecto
con respecto a un eje,
de magnitud
consideremos la figura 1-al eje será
donde
d
es
la
distancia
20. Por un punto A sobre
y OL.Ahora
la línea de acción de laperpendicular entre
se puede
fuerza
se puede trazarbien, la componente
un plano P perpendiculardescomponer, en general, en una
al eje OL. En general lacomponente
radial
y
una
fuerza
se
puedecomponente
tangencial
;
descomponer
en
dosobviamente
no produce momento
con respecto a OL, entonces
fuerzas
y
, siendo
paralela al eje y
lapodemos concluir que la única
que
produce
momento
componente perpendicularfuerza
respecto
a
un
eje
es
la
componente
al eje contenida en el
plano P. Como ya setangencial y que el valor de dicho
mencionó, la componentemomento es
no produce momento
respecto a OL.
.
Figura 1-20
2.6 Momento de un par de fuerzas
Momento de un par de fuerzas
Un par de fuerzas, o simplemente un par, son dos fuerzas iguales, de
sentido contrario y no colineales.
En
la
figura
1-14
se
representa un par de fuerzas
actuando sobre un cuerpo y
los vectores de posición
y
en dos puntos sobre sus
respectivas líneas de acción.
El momento con respecto a O
del par de fuerzas será:
Figura 1-14
Figura 1-15
En la figura 1-15 se puede ver que
el momento de un par es un vector
perpendicular al plano definido por
las rectas de acción de las fuerzas y
su sentido cumple con la regla de la
mano derecha. La magnitud del
momento del par es
Como el efecto de traslación de un
Es importante anotarpar es nulo ya que son dos fuerzas
que el momento del pariguales y de sentido contrario, el
es
independiente
delúnico efecto de un par es tender a
origen de coordenadasrotar el cuerpo alrededor de un eje
puesto que lo es, porperpendicular al plano definido por
esto se dice que ellas fuerzas. Por esta razón un par de
momento de un par defuerzas se especifica habitualmente
fuerzas es un vectorpor el momento que produce, a este
momento se le designa simplemente
libre.
par.
Unidad III. Dinámica de la partícula
3.1 cinemàtica
3.1.1 Conceptos básicos
Movimiento rectilíneo
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una
línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que
medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán
positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a
la izquierda del origen.
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante
una función x=f(t).
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en
posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la
posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado
x=x'-x en el
t=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.
Velocidad
La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por
Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el
t tan pequeño como sea posible, en el límite
t tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del
tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos
el siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su
posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se
expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:






2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s)
x’ (m)
Δx=x'-x
3
2.1
2.01
2.001
2.0001
...
46
23.05
21.2005
21.020005
21.00200005
...
25
2.05
0.2005
0.020005
0.00200005
...
Δt=t'-t
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
...
0
m/s
25
20.5
20.05
20.005
20.0005
...
20
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la
velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es
una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a
cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t




La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
La
posición
del
móvil
en
el
instante
2
2
2
x'=5(t
t) +1=5t +10t t
t +1
x=x'-x=10t t
t2
La velocidad media <v> es
t
t
es
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando
el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente,
hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.
En el instante t=2 s, v=20 m/s
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo.
Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el
instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración
media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de
velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado
t=t'-t.
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media
t tiende a cero, que es la definición de la
derivada de v.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m.
Hallar la expresión de

La velocidad

La aceleración del móvil en función del tiempo.
Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento
Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el
desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la
integral definida.
El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los
instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la
suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los
instantes t0 y t.
En la figura, se muestra una
gráfica de la velocidad en
función del tiempo, el área
en color azul mide el
desplazamiento
total del
móvil entre los instantes t0 y
t, el segmento en color azul
marcado en la trayectoria
recta.
Hallamos la posición x del
móvil en el instante t,
sumando la posición inicial
x0
al
desplazamiento,
calculado
mediante
la
medida del área bajo la
curva v-t o mediante cálculo
de la integral definida en la
fórmula anterior.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley
v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4 m del
origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad
Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil
entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en
función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0
que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un
registro de la aceleración en función del tiempo.
En la figura, el cambio de velocidad
v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el
valor numérico de la integral definida
en la fórmula anterior.
Conociendo el cambio de velocidad vv0, y el valor inicial v0 en el instante
t0, podemos calcular la velocidad v en
el instante t.
Ejemplo:
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea
recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el
instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la
expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de
movimiento rectilíneo son
3.1.2 Movimiento rectilíneo uniforme
Un movimiento rectilíneo uniforme es
aquél cuya velocidad es constante,
por tanto, la aceleración es cero. La
posición x del móvil en el instante t
lo podemos calcular integrando
o gráficamente, en la representación
de v en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las
ecuaciones del movimiento uniforme resultan
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Un movimiento uniformemente
acelerado
es
aquél
cuya
aceleración es constante. Dada la
aceleración podemos obtener el
cambio de velocidad v-v0 entre los
instantes
t0
y t, mediante
integración, o gráficamente.
Dada la velocidad en función del
tiempo,
obtenemos
el
desplazamiento x-x0 del móvil
entre los instantes t0 y t,
gráficamente
(área
de
un
rectángulo
+
área
de
un
triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las
fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las
siguientes.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en
la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0
Interpretación geométrica de la derivada
El siguiente applet, nos puede ayudar a entender el concepto de
derivada y la interpretación geométrica de la derivada
Se elige la función a representar en el control de selección titulado
Función, entre las siguientes:
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se observa la representación de la función elegida
Con el puntero del ratón se mueve el cuadrado de color azul, para
seleccionar una abscisa t0.
Se elige el aumento, 10, 100, ó 1000 en el control de selección
titulado Aumento



Cuando se elige 100 ó 1000, la representación gráfica de la
función es casi un segmento rectilíneo. Se mide su pendiente
con ayuda de la rejilla trazada sobre la representación gráfica
Se calcula la derivada de la función en el punto de abscisa t0
elegido
Se comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor
de la derivada en t0.
Ejemplo:
Elegimos la primera función y el punto t0=3.009
Elegimos ampliación 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se
muestra en la figura.
La derivada de dicha función es
para t0=3.0 la derivada tiene vale -1.0
CinemaApplet1 aparecerá en un explorador compatible con
JDK 1.1.
Pulsar el botón titulado Nuevo, mover con el puntero del ratón
el pequeño cuadrado de color azul
Integral definida
Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el
desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t. En los casos en
los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el
desplazamiento se calcula fácilmente
Si
v=35
m/s,
el
desplazamiento del móvil
entre los instantes t0=0
y
t=10
s
es
Δx=35·10=350 m
Si
v=6·t,
el
desplazamiento del móvil
entre los instantes t0=0
y t=10 s es el área del
triángulo de color azul
claro Δx=(60·10)/2=300
m
Si
v=-8·t+60.
el
desplazamiento del móvil
entre los instantes t0=0
y t=10 s es la suma de
las
áreas
de
dos
triángulos:


el de la izquierda
tiene un área de
(7.5·60)/2=225
el de la derecha
tiene un área de (20·2.5)/2=-25.
El desplazamiento es el
área total Δx=225+(20)=200 m
En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado,
siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura
En el instante ti-1 la velocidad del móvil es vi-1, en el instante ti la
velocidad del móvil es vi. La velocidad media <vi> en el intervalo
de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es
El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δti=ti-ti1 comprendido entre ti-1 y ti es aproximadamente el área del
rectángulo <vi>·Δti. El desplazamiento total x-x0 entre el instante
inicial t0, y el instante final t=tn es, aproximadamente
donde n es el número de intervalos
Si v=-t2+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre
el instante t0=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale
xx0≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=57
7.5 m
Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un
intervalo dado (t0, t) es muy grande Δti→0. En el límite, el
desplazamiento se expresa como
Si v=-t2+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t0=0 y
t=10 s vale
Actividades
Se elige la función a representar en el control de selección titulado
Función, entre las siguientes:
v=-t2+14t+21
v=-8t+60
v=35
v=2t2-12t-12
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se arrastra el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color azul,
y se pulsa el botón titulado Área.
Se arrastra hacia la derecha el el pequeño cuadrado de color azul,
y se vuelve a pulsar el botón titulado Área y así sucesivamente,
hasta un máximo de 15 veces.
Se representa y se calcula el área <vi>·Δti de cada rectángulo que
se suma al área calculada previamente.
3.1.3 Movimiento de proyectiles
Quisiera ahora recordar al lector que para calcular todas estas
cantidades acerca del movimiento de un proyectil, hemos hecho los
siguientes supuestos o hipótesis.
1. La independencia de los movimientos horizontal y vertical
2. El principio de inercia o la tendencia de los cuerpos a continuar
en su estado de movimiento.
3. Se desprecia la resistencia del aire.
La independencia de los movimientos en las direcciones horizontal y
vertical es una aproximación que nos simplifica mucho los cálculos y
que se puede comprobar con un experimento relativamente sencillo
como el que se muestra en la figura 7. Pero no debemos
preocuparnos por ello si funciona. Muchas veces en física se hacen
supuestos para simplificar los problemas. Y sabemos que estos
supuestos son razonables porque nos permiten disparar obuses y dar
en el blanco. Y si el lector está pensando que el ejemplo es muy
bélico, desgraciadamente gran parte del conocimiento científico ha
tenido sus primeras grandes aplicaciones en el contexto militar. Pero
esto es culpa de las relaciones sociales humanas. Donde no hay
bombas atómicas o siquiera armas de fuego, la gente se sigue
matando a cuchilladas, a pedradas o a palo limpio. Esa es la triste
circunstancia humana.
Figura 7. Montaje experimental para demostrar la independencia de
los movimientos vertical y horizontal.
El principio de inercia es una observación fundamental para entender
las propiedades del movimiento. Cuando se explica a alguien el
principio de inercia no suele encontrarlo difícil de entender. Pero es
más difícil que aprenda a utilizarlo en la práctica, puesto que en
nuestro inconsciente tenemos la asociación de ideas: "si un cuerpo se
mueve es porque algo lo está moviendo". Esa asociación es bastante
cierta cuando miramos a nuestro alrededor, porque los objetos que
se mueven siempre están sujetos al rozamiento, ya sea por el
contacto con otros cuerpos o por el roce con el aire. Un ejemplo obvio
de la inercia de un cuerpo lo tiene usted cuando lanza un objeto
verticalmente hacia arriba. Una vez que el objeto está en el aire no
hay nada que lo impulse hacia arriba, al contrario, tenemos la
gravedad que lo tiende a traer hacia abajo y por eso termina
finalmente cayendo. Pero antes de que esta caída se produzca, el
cuerpo asciende durante un instante. Si no existiera la inercia, por
mucho que tratáramos de impulsar el cuerpo hacia arriba, este
tendría que seguir el curso de la atracción gravitatoria y caer
directamente. Nos sentiríamos un poco confundidos si cada vez que
tiráramos un objeto, por mucho que lo impulsáramos, se fuera
directamente hacia el suelo. Pero hay una objeción a todo esto: ¿no
podría ser que al tirar el cuerpo le estoy comunicando una fuerza que
permanece en el cuerpo después de lanzarlo?. La objeción es seria,
pues fue mantenida durante muchos siglos antes del renacimiento
por un grupo de sabios aristotélicos, es decir, seguidores de las
doctrinas físicas del gran sabido de la antigüedad, Aristóteles (384322 a.C.). Veamos lo que sucedería si esto fuera cierto: habría que
suponer que ese impulso que hemos comunicado tiene que ir
agotándose a medida que el cuerpo asciende, puesto que si no fuese
así el cuerpo ascendería indefinidamente. Ahora bien, al principio la
fuerza de impulso debería superar a la gravedad y llegaría un
momento en que tendrían que igualarse. Eso parece que tendría que
suceder justo cuando el cuerpo alcanza la máxima altura, pues justo
en ese instante el objeto se detiene para empezar el descenso. Pero
en ese momento tendría que suceder una de las siguientes cosas:
bien la fuerza de impulso desaparece de súbito, bien sigue
disminuyendo a medida que desciende el cuerpo. El primero de los
casos parece más magia que física y en el segundo tendríamos que
suponer que los cuerpos que están descendiendo están sometidos a
una fuerza de impulso hacia arriba, cosa que parece absurda. El
lector puede continuar con esta línea de razonamiento, pero puede
fiarse de mi palabra si le digo que no conseguirá nada complicándose
la vida de esa manera. Como ve, el principio de inercia (aunque
también pudiera tener algo de magia) nos ahorra meternos en
atolladeros que no parecen tener una salida tan sencilla.
Veamos por último qué ocurre cuando consideramos el rozamiento
con el aire. En la caída de un objeto se observa que éste tiende a
alcanzar una velocidad límite en la caída, independientemente de la
altura de la que caiga si ésta es suficientemente grande (más
información interesante aquí). Esa velocidad límite depende de las
características aerodinámicas del objeto. Esto está en acuerdo con
considerar que la fuerza de rozamiento aumenta con el cuadrado de
la velocidad y que el frenado debido al rozamiento se puede englobar
de forma aproximada en una desaceleración contraria a la gravedad y
dada aproximadamente por:
a = 0.3 v2/M
donde M es la masa del cuerpo.
Sin embargo, para velocidades tan altas como 600 km/h, el
rozamiento directo es despreciable si la forma aerodinámica del
objeto es relativamente buena. Sin embargo, está claro que debe
haber algún efecto a considerar, puesto que el proyectil desplaza
cierta mas de aire en su movimiento, y para ello necesitará utilizar
parte de su "energía de movimiento". Este hecho ya fues señalado
por Isaac Newton en su gran obra "Principios matemáticos de la
filosofía natural" (habitualmente denominada "Principia"). El
razonamiento de Newton fue algo así como: el proyectil aparta el aire
de su camino comunicándole una velocidad del mismo orden que la
velocidad con la que se mueve el propio proyectil, y por tanto éste se
detendrá cuando haya movido una masa de aire del orden de su
propia masa (esto está basado en un principio denominado
"conservación del impulso, o momento lineal" que se explicará a su
debido tiempo"). Supongamos que el proyectil se mueve una longitud
L a través de un medio (como pueda ser el aire o el agua). La masa
del medio que se ha desplazado debe ser proporcional a la densidad
del medio dM y a la longitud L. Por otro lado, la masa del proyectil es
proporcional a su densidad dP y a su longitud l. (En realidad
deberíamos hablar de volúmenes, pero si el lector medita un poco, el
volumen es una superficie por una longitud, pero la superficie es
aproximadamente la misma en ambos casos). Entonces debe
cumplirse que:
L / l = dP / dM
Por ejemplo, para un proyectil de acero (con una densidad unas 10
veces la densidad del agua) de un metro de longitud que se mueve
por el aire (con una densidad de unas 1000 veces menor que la del
agua), tenemos que la relación de longitudes es de 10000. Es decir,
que sería capaz de recorrer uno 10 km antes de detenerse. En el
agua sólo, un proyectil sólo recorrería unas 10 veces su longitud (de
ahí que los torpedos tengan que llevar su propio motor). Si el lector
se fija, la longitud de penetración en el medio no depende de la
velocidad inicial. Según George Gamov, esto confundió a los expertos
militares estadounidenses que en un principio empezaron a dejar caer
explosivos desde alturas cada vez mayores para conseguir que estos
estallaran a mayor profundiada en el suelo, que veían una y otra vez
como la longitud de penetración no dependía de lo alto que lo dejaran
caer.
El movimiento de un proyectil es parabólico y en el vacio
resultade la composición de un movimietno horizontal
rectilíneoy
uniforme,
y
un
movimiento
vectorial
uniformemente variado por la acciónde la aceleración de la
gravedad. (Retardado en la primera partey acelerado en la
segunda parte).
El movimiento ocurre en un espacio vacío de tal manera que
no setiene en cuenta el efecto que el aire pueda tener en el
movimiento.
3.1.4 Movimiento circular
En esta sección, vamos a definir las magnitudes características de un
movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento
rectilíneo.
Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una
circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el
movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.
Posición angular,
En el instante t el móvil se encuentra en
el punto P. Su posición angular viene
dada por el ángulo , que hace el punto
P, el centro de la circunferencia C y el
origen de ángulos O.
El ángulo
, es el cociente entre la
longitud del arco s y el radio de la
circunferencia r,
=s/r. La posición
angular es el cociente entre dos
longitudes y por tanto, no tiene
dimensiones.
Velocidad angular,
En el instante t' el móvil se encontrará en
la posición P' dada por el ángulo
. El
t=t'-t
comprendido entre t y t'.
Se denomina velocidad angular
desplazamiento y el tiempo.
media
al
cociente
entre
le
Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular
en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en
un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Aceleración angular,
Si en el instante t la velocidad angular del
móvil es
y en el instante t' la velocidad
angular del móvil es
. La velocidad
angular del móvil h
t=t'-t
comprendido entre t y t'.
Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio
de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar
dicho cambio.
La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la
aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a
cero.
Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular
Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos
calcular su desplazamiento
- 0 entre los instantes t0 y t, mediante
la integral definida.
El producto
representa el desplazamiento angular del móvil
entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento
total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares
infinitesimales entre los instantes t0 y t.
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad angular en
función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento
angular total del móvil entre los instantes t0 y t, el arco en color azul
marcado en la circunferencia.
Hallamos la posición angular
del móvil en el instante t, sumando
la posición inicial 0 al desplazamiento, calculado mediante la medida
del área bajo la curva -t o mediante cálculo de la integral definida
en la fórmula anterior.
Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad
angular
Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del
móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad
angular
en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de
velocidad
- 0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a
partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.
En la figura, el cambio de velocidad
- t, o el
0 es el área bajo la curva
valor numérico de la integral definida en
la fórmula anterior.
Conociendo el cambio de velocidad
angular
- 0, y el valor inicial 0 en el
instante inicial t0, podemos calcular la
velocidad angular
en el instante t.
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de
movimiento circular son similares a las del movimiento rectilíneo.
Movimiento circular uniforme
Un movimiento circular uniforme es
aquél cuya velocidad angular
es
constante, por tanto, la aceleración
angular es cero. La posición angular
del móvil en el instante t lo podemos
calcular integrando
-
0
-t0)
o gráficamente, en la representación
de
en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las
ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del
movimiento rectilíneo uniforme
Movimiento circular uniformemente acelerado
Un movimiento circular uniformemente
acelerado es aquél cuya aceleración
es constante.
Dada la aceleración angular podemos
obtener el cambio de velocidad
angular
- 0 entre los instantes t0 y
t,
mediante
integración,
o
gráficamente.
Dada la velocidad angular
en
función del tiempo, obtenemos el
desplazamiento
- 0 del móvil entre
los instantes t0 y t, gráficamente (área
de un rectángulo + área de un
triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas
del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las
del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en
la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento
θ-θ0
3.2 Cinética
3.2.1 Segunda Ley de Newton
La segunda ley de Newton se conoce como la ley del movimiento de
las partículas. Dice que si sobre un cuerpo de masa m actúa una
fuerza F entonces éste recibe una aceleración a tal que F=ma.
Los eventos, los controles móviles y las condicones dibujar-si de
los gráficos forman un conjunto poderoso de herramientas para crear
actividades interactivas con Descartes 3. Esta escena intenta ilustrar
cómo pueden utilizarse estas herramientas para crear actividades
interactivas.
La escena tiene 10 textos, pero sólo muestra uno a la vez. Cuando el
alumno pulsa arrancar comienza una animación, el texto cambia
cuando la partícula pasa del punto x=5 (ver la condición dibujar-si
de los diversos textos). Al llegar a x=10 la animación cesa y aparece
el control interno móvil de respuesta que permite al alumno
responder. Si contesta mal la condición del evento denominado MAL
se cumple y hace aparecer un texto indicando al alumno que su
respuesta es incorrecta y que debe repetir la animación y usar una
calculadora si le hace falta para encontrar la respuesta correcta. Si la
respuesta es correcta el evento sigue se cumple y aumenta el valor
de una variable de estado a que lleva el control de cuál es la
actividad actual.
La quinta y última actividad no pide una respuesta sino que verifica si
el alumno ha encontrado los valores que se le pedían y en tal caso
dice que el alumno acertó y de lo contrario no hace nada, dejando a
la iniciativa del alumno el problema de qué hacer para continuar y
terminar el ejercicio (lo que debe hacer es encontrar los valores
correctos y ponerlos en los controles). Sugerimos al lector mirar con
cuidado en el panel auxiliares las condiciones de los eventos
denominados termina y reinicia. Verá que son bastante complicadas
pues deben tener en cuenta las diferencias entre los diferentes casos,
incluso en la quinta actividad (a=4) debe cuidar que el alumno haya
realizado la animación después de poner en los controles los números
correcto (vea cómo se usa la variable reiniciado, que se hace cero
cuando se tocan los controles de la masa y la fuerza y se hace 1 sólo
cuando la animación comienza).
Como puede verse se trata de una interacción compleja que no es
fácil programar, pero el ejemplo muestra que es posible hacerlo. Se
recomienda a los autores que deseen crear este tipo de interacciones,
comenzar con casos más sencillos e ir depurando y sofisticando la
interacción poco a poco. Se requiere bastante trabajo y paciencia
para crear algo así, independientemente de si se programa en
Descartes o en cualquier lenguaje de programación.
Segunda
ley:
ley fundamental de la dinámica que establece que la relación entre la
fuerza aplicada a un cuerpo y su aceleración es una constante.
donde k es la masa del cuerpo. Podemos decir que: F = ma
Donde se observa que si F = 0 entonces a = 0 y se llegara a la
primera ley o principi
Segunda
ley
del
movimiento
de
Newton:
El cambio de movimiento es siempre proporcional a la fuerza
motriz que se imprime; y se efectúa en la dirección de la línea
recta según la cual actúa la fuerza. Newton nos legó una
fórmula matemática para averiguar su trayectoria cuando actúa
esa u otra fuerza:
F = ma
Fuerza igual masa por aceleración. Si una fuerza cualquiera
genera un movimiento, una fuerza doble generará un
movimiento doble, una fuerza triple un movimiento triple, ya
sea que la fuerza actúe enteramente y de una vez, o
gradualmente
y
sucesivamente.
.
.
Frente a la acción de una fuerza neta, un objeto experimenta
una aceleración:


directamente proporcional a la fuerza neta
inversamente proporcional a la masa del objeto.
a = F/m
Recuerde, que


F es la fuerza neta
m es la masa en la cual actúa sobre ella la fuerza neta.
Es una herramienta poderosa para contestar con precisión
preguntas como las siguientes: ¿qué órbitas son posibles para
planetas y cometas ante la atracción del Sol? ¿Qué curva
describe en el aire el ombligo de un bañista que se tira a la
piscina desde un tablón? ¿Qué ángulo tiene que darle un
futbolista a la pelota para que llegue lo más lejos posible? O, si
el Sol y su séquito de planetas giran a novecientos mil
kilómetros por hora en torno al centro de la galaxia, distante
doscientos cuarenta mil billones de kilómetros, ¿cuál es la masa
contenida en el interior?, etc. (Respuestas: las órbitas posibles
son las que se forman por la intersección de un plano con un
cono: el círculo, la elipse y la hipérbole; la curva del ombligo
del bañista es una parábola; el ángulo es de 45 grados si
dejamos fuera el freno del aire; la masa es de unas cien mil
millones de masas solares, etc.)
Es, con la matemática de la segunda ley de Newton, que
podemos calcular qué velocidad hay que imprimirle a un cohete
para que se escape de la Tierra y se quede por ahí dando
vueltas. Curiosamente, los cálculos que debemos realizar no
dependen de la masa del cohete. Cualquier objeto de cualquiera
de los tres reinos, incluido en ello una nave espacial, deben
alcanzar la misma velocidad para escapar de las garras del
planeta madre: cuarenta mil doscientos ochenticuatro
kilómetros por hora o once mil ciento noventa kilómetros por
segundo. Si es menos, el objeto vuelve a la Tierra. Si es más se
escapa para siempre. Claro está, que cualquiera de los objetos
que logren escapar de la atracción gravitatoria del planeta,
perfectamente pueden ser capturados por la gravedad de otro
planeta o del mismo Sol. De hecho, estimando cuidadosamente
la velocidad para cada parte de la trayectoria a recorrer, gracias
a lo que nos enseña esa famosa segunda ley, ha sido posible
enviar naves espaciales no tripuladas a Marte y posarse en la
superficie del planeta. Viajar por Júpiter, Saturno, Urano y
Neptuno, como lo hicieron las naves Voyager en 1977. O orbitar
a Júpiter y sus satélites como actualmente lo hace la Galileo.
Siempre aquí, salta la pregunta ¿y qué pasa con la luz? ¿puede
escaparse? Aunque es un tema, dado la focalización literaria de
este trabajo, que debemos de tratar con algunos detalles, aquí
podemos señalar que la luz es distinta, se dice que no tiene
masa, y por tanto la segunda ley parece no funcionar. Si
sabemos que escapa, pues si no fuese así, profesionales como
los astrónomos no tendrían trabajo, ya que no veríamos ni la
Luna, ni el Sol, ni cuerpo alguno en el espacio, serían puros
agujeros negros. Pero insisto, es una cuestión que volveremos
sobre ella en más detalles en capítulos posteriores. Por ahora,
sigamos con Newton y sus leyes.
o de inercia.
3.2.2 Trabajo y energía
Toda región del espacio donde una magnitud -ya sea escalar o
vectorial- toma un valor diferente en cada instante de tiempo y en
cada punto de la región se denomina CAMPO. Nos ocuparemos
particularmente de aquellos que no cambien en el tiempo, CAMPOS
ESTACIONARIOS.
Como ejemplos de campos ESCALARES podríamos citar el campo de
temperaturas en el interior de una habitación, el campo de
densidades del globo terráqueo, el campo de presiones en el interior
de un fluido, etc.
Un tipo especial de campos vectoriales es el campo de FUERZAS y de
él hablaremos en este capítulo. Diremos que un campo de fuerzas es
una región del espacio donde la fuerza toma un valor diferente en
cada punto de la región...
Hasta ahora habiamos entendido la interacción (fuerza) entre
partículas mediante el contacto o bien mediante la acción a distancia.
El concepto de campo de fuerzas viene a sustituir estas concepciones
y será una nueva forma de entender la interacción entre partículas,
suponiendo una como la creadora del campo y la segunda como la
detectora (sensible) del campo de fuerzas. Es decir, una partícula con
ciertas propiedades crea un campo (perturba las propiedades del
medio que la rodea) el cual será detectado (aparece una fuerza sobre
ella) si introducimos en esa región del espacio perturbado otra
partícula sensible (con propiedades análogas a la creadora) al
campo...
Estamos hablando ya de la interacción entre partículas mediante el
concepto de campos de fuerzas.
Trabajo y energía
Se denomina trabajo infinitesimal realizado por una fuerza sobre una
partícula que experimenta un desplazamiento elemental, al producto
escalar de la fuerza por el desplazamiento.
Obsérvese el carácter escalar del trabajo cuyas dimensiones son
ML2T-2 siendo el Julio la unidad en el S.I.
Si pretendemos calcular el trabajo finito entre dos posiciones (A y B)
habríamos de integrar la expresión (1.1)
Si pretendemos calcular el trabajo
finito entre dos posiciones (A y B)
habríamos de integrar la expresión
(1.1) quedándonos:
A y B, límites de integración
(posiciones de la partícula); C, línea
de ciculación (trayectoria).
En general el trabajo realizado sobre una partícula depende de la
fuerza que lo realiza, de las posiciones inicial y final y de la
trayectoria seguida por la partícula .
En el caso particular de una fuerza constante que coincide en
dirección y sentido con el desplazamiento:
Quedándonos la expresión particular para el trabajo aprendida en
cursos anteriores..
Se define potencia instantánea a la variación con el tiempo del
trabajo... P=dT/dt, P=Fdr/dt, P=Fv; la potencia media se obtendría
multiplicando la fuerza escalarmente por el incremento de la
velocidad. La ecuación de dimensiones de la potencia es ML 2T-3 y su
unidad en el S.I. el watio; otras unidades utilizadas son el caballo de
vapor (CV=735 w) y el caballo de vapor inglés (HP=746w).
Teorema del trabajo y de la energía cinética
Sea F la fuerza neta aplicada a una partícula que se mueve a través
de una trayectoria C entre las posiciones A y B...
Sabemos que
Al
ser
F
la
fuerza
neta
F=ma,F=mdv/dt),sustituyendo nos queda:
El
trabajo
total
realizado
sobre
una partícula que
se desplaza entre
dos posiciones A y
B a través de C
coincide
con
la
variación
de
la
energía cinética de
la partícula entre
ambas posiciones.
Fuerzas conservativas. Energía potencial
Existe un tipo especial de fuerzas cuyo trabajo realizado a través de
cualquier trayectoria que una dos posiciones de la partícula es
siempre el mismo...(independencia de la trayectoria).
A las fuerzas con estas características se les denomina fuerzas
conservativas, que como vemos realizan un trabajo nulo si la
partícula se desplaza a través de una linea cerrada.
Como ejemplo de estas fuerzas vamos a presentar la fuerza
gravitatoria en las proximidades de la superficie terrestre (P=mg) y
la fuerza recuperadora de un resorte (Hooke), que para mayor
simplicidad
nos
ocuparemos
sólo
de
las
deformaciones
unidimensionales y elegiremos el origen de nuestro sistema de
referencia en el punto de equilibrio del resorte (F=-Kxi)...
Si nos fijamos en las expresiones obtenidas en ambos casos para el
trabajo observaremos que éste puede escribirse como la diferencia de
una magnitud tomada en dos situaciones diferentes.
Es decir, el trabajo realizado por este tipo de fuerzas también puede
expresarse como la variación de una magnitud cambiada de signo. A
esta magnitud se le denomina energía potencial y nosotros la
representaremos por U.
Resumiendo, diremos, el trabajo realizado por los campos de
fuerza conservativos sobre una partícula que se mueve en el
interior de ellos entre dos posiciones (A y B) es igual a la
variación de la energía potencial, asociada a estos campos,
cambiada de signo.
Energía potencial
El siguiente paso podría ser el de plantearnos el cálculo del trabajo
conocidas las energías potenciales de la partícula en dos posiciones
del campo. Para conocer la energía potencial asociada a una partícula
en el interior de un campo conservativo hemos de elegir un lugar del
campo -región, espacio perturbado...- donde hagamos la energía
potencial de la partícula nula (nivel cero de energías potenciales).
Para cada campo de fuerzas conservativo se elegirá un NCEP
dependiendo del observador.
Planteándose el cáculo del trabajo realizado por un campo de fuerza
conservativo sobre una partícula que se mueve desde una posición
cualquiera (A) hasta el NCEP, observaremos que:
el significado físico de la energía potencial asociada a una
partícula en el interior de un campo de fuerzas conservativo no es
otra cosa que el trabajo realizado por este campo de fuerzas
sobre la partícula cuando se desplaza desde donde se
encuentre hasta el NCEP.
Así, en los ejemplos que estamos tratando, resulta conveniente elegir
como NCEP el suelo, Usuelo=0, si estamos tratando del campo de
fuerzas gravitatorio en las proximidades de la superficie terrestre y si
tratamos del campo de fuerzas elásticas (Hooke) resulta cómodo
elegir el NCEP en el punto de equilibrio del resorte -si además hemos
colocado el origen del observador en el p.e.- tendremos que Ux=0=0.
Las expresiones para la energía potencial en ambos campos quedarán
como sigue:
Asi pues, la energía potencial -gravitatoria- asociada a una partícula
de masa m por encontrarse en el interior del campo gravitatorio
terrestre a una distancia y del suelo es U(y)=mgy y la energía
potencial -elástica- asociada a una partícula que se encuentra unida
al extremo libre de un resorte (Hooke) deformado una distancia x de
su posición de equilibrio es U(x)=Kx2/2.
Si quisiéramos obtener la expresión de la energía potencial asociada
a una partícula en el interior de cualquier otro tipo de campos de
fuerzas conservativos sólo tendríamos en cuenta el significado físico
de U(x,y,z) y la elección del NCEP.
Hablemos ahora de las fuerzas contra campo y así poder definir,
también, la U(x,y,z) en función de aquellas. Las FCC son fuerzas de
igual módulo, dirección y de sentido contrario a las fuerzas del
campo. Por ello se puede decir también que la energía potencial
asociada a una partícula en un lugar del interior de un campo de
fuerzas conservativo coincide con el trabajo realizado por la FCC
cuando la partícula se desplaza desde el NCEP hasta dicho
lugar.
Teorema de conservación de la energía para una partícula
Vamos a deducir este teorema suponiendo en primer lugar que todas
las fuerzas que realizan trabajo sobre la partícula son conservativas;
Se denomina energía mecánica de una partícula al conjunto de la
cinética y todas las potenciales que posea la partícula, diciendo,
entonces, si sobre una partícula sólo realizan trabajo fuerzas
conservativas la energia total se conserva.
Supongamos ahora que las fuerzas que realizan trabajo son
conservativas y no conservativas; aquí el trabajo total puede
expresarse como suma de dos aportaciones (trabajo realizado por las
fuerzas conservativas más el realizado por las FNC)...
En este caso la variación de la energía total de una partícula sobre la
que realizan trabajo FC y FNC coincide con el trabajo realizado por
estas últimas, quedando el teorema anterior como caso particular de
éste.