Vectores tridimensionales. La resolución de problemas en tres

Vectores tridimensionales.
La resolución de problemas en tres dimensiones se simplifica si los vectores
se representan en forma vectorial cartesiana, por lo tanto utilizaremos estas
expresiones.
Un vector puede tener uno, dos o tres componentes rectangulares a lo largo
de los ejes coordenados x, y, z, dependiendo de la forma como el vector se
encuentre orientado en relación con sus ejes. Considerando un vector en el primer
octante (que tiene las tres componentes positivas) como muestra la figura, se
podrán representar las componentes,
El vector F se podrá representar por la suma vectorial de sus componentes
rectangulares como,
Magnitud. Al igual que se realizó en los sistemas de fuerzas en el plano, la
magnitud del vector F se puede determinar por medio del teorema de Pitágoras
(agregando solamente la componente z).
Dirección. Para definir la dirección de un vector se requieren tres ángulos,
denominados ángulos directores coordenados (alfa),  (beta) y  (gama).
La definición de los ángulos directores se realiza con los llamados cosenos
directores, los cuales se obtienen a través de los triángulos rectángulos mostrados
en las siguientes figuras.
Para la determinación de los ángulos utilizamos las funciones coseno es decir,
Por lo tanto:
Así se pueden determinar los ángulos directores ,
y .
Vector unitario y la dirección.
En un sistema tridimensional se utiliza el conjunto de los vectores unitarios
cartesianos (i, j y k) para designar las direcciones de los ejes x, y y z
respectivamente. Hay que tener presente que los vectores unitarios tienen una
magnitud de 1 y son adimensionales.
Representación vectorial cartesiana. Para estas expresiones utilizamos los
vectores unitarios
La expresión vectorial cartesiana de un vector que se encuentra en el primer
octante será,
Dirección ( ,
y ). Un vector se expresa en función de su magnitud y su
dirección, por lo tanto:
Donde: F = vector fuerza
F = magnitud del vector F
= dirección del vector F
Por lo tanto la dirección la podemos expresar dividiendo, la expresión vectorial
de F entre la magnitud de F :
Teniendo en cuenta:
;
;
Se tiene la expresión para la dirección en función de los ángulos directores,
Teniendo en cuenta que los vectores unitarios tienen una magnitud de 1,
entonces de la ecuación anterior se puede formular una relación importante entre
los cosenos directores:
Con esta ecuación se puede determinar uno de los ángulos directores cuando
se conocen los otros dos.
Páginas de ayuda para poder visualizar los vectores en el
espacio.
Ejemplo de vector tridimensional. COORDENADAS.
http://www.cidse.itcr.ac.cr:80/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorialgeova-walter/software/puntos3D.html
Ejemplo de vector tridimensional. VECTOR UNICO Y COMPONENTES.
http://www.cidse.itcr.ac.cr:80/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorialgeova-walter/software/flehas3D.html
Ejemplo de vector tridimensional. VECTOR UNICO Y COMPONENTES.
http://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/op_applet_23.htm
Ejemplo de vector tridimensional. SUMA DE VECTORES.
http://www.cidse.itcr.ac.cr:80/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorialgeova-walter/software/sumavectores3D.html