Ejercicios olimpíadas de 2º nivel

2º NIVEL
1. El número de dos cifras x7 multiplicado por el número de dos cifras y9 es igual al número de
cuatro cifras zz33. Dar los posibles valores de los dígitos x, y, z.
2. Un atleta se entrena en una pista de 3 kilómetros. Hace el primer kilómetro caminando, el
segundo corriendo y el tercero en bicicleta. Si hubiera hecho los 3 km en bicicleta hubiese
tardado 10 minutos menos de los que tardó.
Nuestro atleta corre al doble de la velocidad que camina, y anda en bicicleta al triple de la
velocidad que camina. Calcular cuánto tarda en correr un kilómetro.
3. Sea ABCD un cuadrilátero de lados AB, BC, CD y DA, tal que AB=AC, AD=BD y
. Calcular la medida del ángulo
.
4. Una hoja rectangular de 120  144 cuadriculada en cuadritos de 1  1 se corta en dos
triángulos mediante un corte rectilíneo a lo largo de una diagonal. Determinar el número de
cuadritos de 1  1 que quedaron divididos por este corte.
ACLARACIÓN: Un cuadrito de 1  1 queda dividido por el corte si tiene una parte en cada uno
de los dos triángulos en que se dividió la hoja.
5. La figura muestra 5 balanzas con objetos y los pesos totales en cada balanza:
110 g
80 g
140 g
130 g
100 g
Una de las balanzas funciona mal y las otras 4 indican el peso correcto. Determinar cuál es la
balanza que funciona mal y hallar los pesos de cada objeto ,  y .
ACLARACIÓN: Todos los  son de igual peso, y lo mismo ocurre con todos los  y todos los .
6. En un cuadrado ABCD de lados AB=BC=CD=DA=14 se considera un punto E en el lado AD.
La perpendicular a CE trazada por C corta a la prolongación del lado AB en F. Si se sabe que el
área del triángulo CEF es 116, calcular el área del triángulo AEF.
7. Consideramos el conjunto de los 17 primeros enteros positivos, {1,2,3,...,17}. Hay que
elegir dos números de este conjunto tales que la multiplicación de esos dos números sea igual
a la suma de los restantes 15 números.
8. Un rectángulo se dividió en 9 rectángulos más pequeños mediante paralelas a su lados. En 5
de esos rectángulos pequeños se indica el perímetro. Calcular el perímetro del rectángulo
inicial.
9. En un triángulo acutángulo ABC sea D en el lado BC tal que AD
que BE
AC. Si
BC y E en el lado AC tal
, AB = 15 y AE = 9, calcular la medida de AD
10. Hallar los seis números que se deben escribir en cada una de las seis casillas vacías para
obtener un cuadrado mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales tienen la
misma suma.
11. Ana, Beto, Ceci, Dany y Eva tienen entre los cinco 80 monedas de un peso. La cantidad de
monedas que tienen en conjunto Beto y Dany es igual a la quinta parte de las que tienen, en
conjunto, Ana y Ceci. La cantidad de monedas que tienen en conjunto Ceci y Dany es igual a 6
veces las que tienen, en conjunto, Ana y Beto. Determinar cuántas monedas tiene cada uno si
se sabe que Beto tiene 2 monedas más que Ana.
12. Sean P y Q puntos del plano tales que
. La circunferencia de centro Q y radio 25
corta al segmento PQ en A.
La recta perpendicular a PQ trazada por A corta a la circunferencia de centro P y radio 41 en
los puntos B y C.
Calcular la medida del segmento BC.
13. Escribir en cada vértice un número entero del 1 al 12 inclusive, sin repeticiones, de modo
que en cada uno de los 5 cuadrados la suma de los cuatro números de sus vértices sea la
misma.
14. Para recorrer el camino entre A y B el tren de pasajeros tarda 7 horas y el tren de carga
tarda 5 horas. A las 8:00 hs sale un tren de pasajeros de A hacia B y un tren de carga de B
hacia A. A las 9:45 hs la suma de las distancias recorridas por los dos trenes hasta ese
momento es igual a 357 kilómetros. Calcular la longitud del camino que separa a los trenes
entre si a las 9:45 hs.
15
sombreada.
16. En un colegio, el 81% de los alumnos estudia inglés y el 80% de los alumnos estudia
computación. La proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que estudian
computación es igual al doble de la proporción de los alumnos que estudian inglés entre los
que no estudian computación. Hallar el porcentaje de alumnos de la escuela que no estudia ni
inglés ni computación.
17. La profesora escribe en el pizarrón una fila de dígitos 8 y le pide a un alumno que
intercale algunos signos + para que la suma que quede indicada tenga resultado 1000. Dar
todas las posibilidades para la cantidad de dígitos 8 que debe escribir la profesora para que la
tarea del alumno tenga solución.
18. En el triángulo ABC, sea P un punto interior. La recta AP corta al lado BC en D, la recta BP
corta al lado AC en E y la recta CP corta al lado AB en F. Se sabe que área (APF) =168;
área(BPD)=80; área (CPD) = 60 y área (CPE) = 70.
Calcular el área del triángulo APE y el área del triángulo BPF.
19. En la tabla de la figura x, y, z representan números enteros. La suma de los cuatro
números de la primera fila es igual a 78; la suma de los cuatro
números de la cuarta fila es igual a 102 y la suma de los cuatro números de la segunda
columna es igual a 81. (Tal como se indica en la figura.)
Hallar la suma de los 16 números de la tabla.
20. Un pequeño avión tarda 7 horas más que otro en ir de A a B. Las velocidades de los dos
aviones son 660 km/h y 275 km/h. Calcular la
distancia entre A y B.
21. Sea ABC un triángulo rectángulo con
,
y
. Se traza por B la perpendicular a AC, que corta a AC en D.
Sea E en el lado AC tal que
.
Se traza por E la perpendicular a AC que corta a AB en F. Calcular la medida del segmento EF.
Hallar todos los números naturales n menores que 1000 tales que n2 termina en 44, es decir,
n2 tiene sus dos últimas cifras iguales a 4.
Consideramos todos los números naturales de cuatro cifras distintas que tienen las cifras
ordenadas de menor a mayor, como por ejemplo 2569.
22. Si hacemos la lista de todos estos números, ordenados de menor a mayor, ¿cuál es el
número de cuatro cifras que ocupa la posición 97a?
23. Sea ABC un triángulo obtusángulo con ^A < ^C < ^B.La bisectriz exterior del ángulo ^A
intersecta a la prolongación del lado CB en X y la bisectriz exterior del ángulo ^B intersecta a
la prolongación del lado AC en Y. Si AX = AB = BY, calcular la medida del ángulo ^A.
NOTA:En un triángulo ABC, la bisectriz exterior del ángulo ^A es la recta perpendicular a la
bisectriz de ^A que pasa por A.
^A es "el ángulo A"
24. Si la mediana y la altura correspondientes a un mismo vértice de un triángulo dividen al
ángulo en tres ángulos iguales, hallar los ángulos del triángulo.
En cada casilla de un tablero cuadrado de 11x11 casillas se ha escrito un número mayor o
igual que -1 y menor o igual que 1 (no necesariamente entero) de modo tal que la suma de los
cuatro números ubicados en cada cuadrado de 2x2 sea siempre igual a 0. Hallar el máximo
valor posible de la suma de los 121 números escritos en el tablero.
25. Sea ABCD un cuadrado. Se consideran el punto E en el interior del lado AD y el punto F en
la prolongación del lado AB, de modo que ECF=90o. Si el cuadrado ABCD tiene área 256 y el
triángulo ECF tiene área 200, calcular la longitud del segmento BF.
En cada jugada del juego Pares y Nones, el jugador que acierta recupera lo que apostó y
recive, además, una cantidad igual a la apostada. Juan apostó cinco veces 1 peso, cinco veces
5 pesos, cinco veces 25 pesos, cinco veces 125 pesos y cinco veces 625 pesos. Despues de las
25 jugadas tenía 2823 pesos más que antes de empezar a jugar. Decidir en cuantas jugadas
acertó.
26. Sean r y s dos rectas y t una recta que corta a r en C y a S en D, formando un ángulo de
17o. Sea E en el segmento CD. La perpendicular a r y s que pasa por E, corta a r en A y a s en
B. Si DE=2.BC, hallar la medida del ángulo BCE.
Utilizando números enteros mayores o iguales que cero, determinar 4 conjuntos de 4 números
cada uno, tales que todo número entero n, 0 n 255, se pueda expresar como la suma de 4
números, uno de cada conjunto.
27. Hallar 12 números reales mayores que cero (no necesariamente distintos) tales que cada
uno de ellos sea igual a la suma de los cuadrados de los restantes 11. ¿Es posible hallar otros
12 números con la misma propiedad?
Hallar el mayor número natural de 6 cifras, todas distintas de cero, que es múltiplo del número
que resulta al borrarle la primera cifra de la izquierda.
En el trapecio ABCD, de lados no paralelos AB y CD, sea M el punto medio de CD. Se traza por
M la perpendicular a la recta AB, que intersecta a dicha recta en R.
Sabiendo que el segmento AB mide 21 y el segmento MR mide 37, hallar el área del trapecio
ABCD.
28. Consideramos el conjunto de los 17 primeros enteros positivos, {1,2,3,...,17}. Hay que
elegir dos números de este conjunto tales que la multiplicación de esos dos números sea igual
a la suma de los restantes 15 números.
29. Un rectángulo se dividió en 9 rectángulos más pequeños mediante paralelas a su lados. En
5 de esos rectángulos pequeños se indica el perímetro. Calcular el perímetro del rectángulo
inicial.
30. En un triángulo acutángulo ABC sea D en el lado BC tal que AD
que BE
AC. Si
BC y E en el lado AC tal
, AB = 15 y AE = 9, calcular la medida de AD.
31. Una avioneta recorrió 400 kilómetros. Los primeros 100 los hizo a 150 km/h, los siguientes
100 los hizo a 300 km/h, los terceros 10 los hizo a 450km/h, y los últimos 100 a 600 km/h.
Calcular la velocidad promedio de la avioneta en su recorrido de 400km.
32. Hallar el menor múltiplo de 84 formado exclusivamente por dígitos 6 y 7.
33. Dado un triángulo equilátero ABC, consideramos tres rectas: la perpendicular a AB trazada
por A, la perpendicular a BC trazada por B y la perpendicular a CA trazada por C. Estas tres
rectas determinan un nuevo triángulo equilátero de lado 6. Calcular el lado del triángulo ABC.
34. Carlos escribe la lista de todos los números naturales menores que 10000 que tienen
exactamente dos dígitos 1 consecutivos. (Por ejemplo, 113, 5112, 1181 están en la lista de
Carlos, pero 1312, 2111 no están en la lista de Carlos.) Hallar cuántos números tiene la lista
de Carlos.
35. El triángulo ABC tiene A = 67° y B= 79°. Sean P en el lado AB, Q en el lado BC y R en el
lado CA tales que los ángulos APR = BPQ, BQP = CQR y CRQ = ARP . Hallar las medidas de los
ángulos del triángulo PQR. NO VALE MEDIR.
36. Hallar el menor número natural que satisface las siguientes tres condiciones
simultáneamente: tiene resto 24 en la división por 57; tiene resto 73 en la división por 106 y
tiene resto 126 en la división por 159.
37. En el pizarrón está escrito un número de tres cifras, todas distintas. Ana intercambia la
primera cifra con la última. La suma del número escrito en el pizarrón más el número de Ana
es igual a 92 veces la suma de los dígitos del número escrito en el pizarrón. Determinar todos
los posibles valores del número escrito en el pizarrón.
38. Se embaldosa un pasillo de 2 x 7 utilizando siete baldosas grises de 2 x l cada una.
Determinar de cuántas maneras puede quedar embaldosado el pasillo.
39. Sean A, B, C tres vértices consecutivos de un hexágono regular de lado 10, y M el punto
medio del lado BC. Determinar la longitud del segmento AM. NO VALE MEDIR.
40. En un colegio, el 81% de los alumnos estudia inglés y el 80% de los alumnos estudia
computación. La proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que estudian
computación es igual al doble de la proporción de los alumnos que estudian inglés entre los
que no estudian computación. Hallar el porcentaje de alumnos de la escuela que no estudia ni
inglés ni computación.
41. La profesora escribe en el pizarrón una fila de dígitos 8 y le pide a un alumno que intercale
algunos signos + para que la suma que quede indicada tenga resultado 1000. Dar todas las
posibilidades para la cantidad de dígitos 8 que debe escribir la profesora para que la tarea del
alumno tenga solución.
42. En el triángulo ABC, sea P un punto interior. La recta AP corta al lado BC en D, la recta BP
corta al lado AC en E y la recta CP corta al lado AB en F. Se sabe que área (APF) =168;
área(BPD)=80; área (CPD) = 60 y área (CPE) = 70.
Calcular el área del triángulo APE y el área del triángulo BPF.
43. Pablo sumó todos los números enteros positivos de 4 dígitos, pero se salteó uno. La suma
de Pablo es igual a 8499 veces el número que se salteó Pablo. Hallar el número que se salteó
Pablo.
44. Nacho hizo la lista de todos los múltiplos de 15 que tienen 15 dígitos, que utilizan
exclusivamente los dígitos 1 y 5 y que no tienen dos 5 consecutivos. Calcular cuántos números
tiene la lista de Nacho.
45. Sea ABC un triángulo con AB=100 y AC=156. Sea M el punto medio del lado AB. Se traza
por M la perpendicular al lado AC, que corta al lado AC en K. Si AK=14, calcular el lado BC.
46. En un tablero cuadriculado de m x n se ubica una ficha en el centro de cada casilla y una
ficha en cada vértice de la cuadrícula hasta que no quede lugar para más fichas (en la figura se
muestra el tablero de 2 x 3 con sus 18 fichas).
47. Hallar las dimensiones m y n del tablero de m x n si se utilizan exactamente 500 fichas.
Dar todas las posibilidades.
48. Fabio debe escribir una sucesión de números naturales.
El primer número lo elige Fabio entre 1 y 2004 inclusive, y a partir de alli, cada nuevo número
se obtiene del anterior de acuerdo con la siguiente regla: si el anterior es impar, le suma 1, si
el anterior es par, lo divide por 2. El proceso se detiene cuando se obtiene por primera vez el
1. Por ejemplo, si Fabio elige el primer número igual a 10, la sucesión será: 10, 5, 6, 3, 4, 2,
1, que tiene 7 números.
El objetivo de Fabio es lograr que su sucesión tenga la mayor cantidad posible de números.
Determinar cuál es la máxima cantidad de números que puede tener la sucesión de Fabio y
hallar un número inicial que le permita lograr una sucesión con esa cantidad máxima de
números.
49. En el cuadrado ABCD de lado 6, sea M el punto medio del lado AD y N el punto medio del
lado AB. La diagonal BD corta a CN en K y a CM en L.
Calcular el área del cuadrilátero KLMN.
50. En el pizarrón hay escritos cuatro enteros positivos. Si se seleccionan tres de ellos, se
calcula el promedio y se le suma el cuarto número se obtienen los números 89; 95; 101 y 117.
Hallar los cuatro números del pizarrón.
51. Se escribe una sucesión de números naturales con la siguiente regla: se eligen los dos
primeros números y a partir de entonces, para escribir un nuevo número, se calcula la suma
de los últimos dos números escritos, se halla el mayor divisor impar de esta suma y la suma
de este mayor divisor impar más 1 es el siguiente número escrito.
Los primeros dos números son 25 y 126 (en ese orden), y la sucesión tiene 2003 números.
Hallar el último número escrito.
52. Sea ABC un triángulo con AB=17, BC=24 y AC=26. Consideramos L en el lado BC tal que
AL es la bisectriz del ángulo , y P en el segmento AL tal que BP es perpendicular a AL. Se traza
por P la paralela al lado AC, que corta al lado AB en D y al lado BC en E. Calcular BD.
53. Se tienen dos recipientes, cada uno de ellos con 100 litros de capacidad. Inicialmente
contienen entre los dos 100 litros de jugo. Se agrega jugo al primer recipiente hasta completar
su capacidad. Luego se vierte jugo del primer recipiente al segundo hasta completar la
capacidad del segundo. Finalmente, se vierten 12 litros del segundo recipiente en el primero.
Así resulta que en el segundo recipiente hay 10 litros más de jugo que en el primero.
Determinar cuánto jugo tenía inicialmente cada recipiente.
54. Se tienen 20 tarjetas, cada una con un número entero distinto desde el 1 hasta el 20. Hay
que formar 9 grupos de tarjetas de modo que en cada grupo la multiplicación de los números
de las tarjetas sea un cuadrado perfecto. Cada tarjeta se usa como mucho una vez y puede
haber tarjetas que no se usan. Los grupos pueden tener una o más tarjetas cada uno, y si un
grupo tiene una sola tarjeta el número de esa tarjeta tiene que ser un cuadrado perfecto.
55. Sea ABCD un cuadrado de papel de lados AB = BC = CD = DA =10. El cuadrado se dobla a
lo largo de una línea recta, haciendo coincidir el vértice A con el punto medio del lado BC . Esta
línea recta corta al lado AB en E y al lado CD en F . Calcular la medida de EF .
56. Se hace una lista de 2004 dígitos de acuerdo con la siguiente regla: los primeros dígitos
son 8 y 6, y a partir del tercer dígito, cada nuevo dígito que se escribe es el dígito de las
unidades de la suma de los dos últimos dígitos escritos. La lista comienza con 86404..., porque
8 + 6 = 14, 6 + 4 = 10, 4 + 0 = 4.
Hallar los últimos tres dígitos de la lista.
57. Una Asociación de Beneficencia recibe donaciones de cinco empresas, A, B, C, D y E.
La donación de A equivale a la mitad de lo que dieron, en conjunto, las otras cuatro empresas.
La donación de B equivale a la tercera parte de lo que dieron, en conjunto las otras cuatro
empresas. La donación de C equivale a la cuarta parte de lo que dieron, en conjunto, las otras
cuatro empresas. La donación de D equivale a la quinta parte de lo que dieron, en conjunto las
otras cuatro empresas.
Hallar a qué parte de lo que dieron en conjunto las restantes cuatro empresas equivale la
donación realizada por la empresa E.
58. Se tiene un rectángulo de papel. El lado menor del rectángulo mide 6 y la diagonal mide
12. Se dobla el papel a lo largo de una diagonal, y de este modo se obtiene un triángulo en el
que se superponen las dos partes y dos triángulos sin superposiciones.
Calcular el área del triángulo de la superposición.
59. En una circunferencia se marcaron 108 puntos que dividen a la circunferencia en 108 arcos
iguales. Comenzando en uno de estos puntos, y siguiendo el sentido de las agujas del reloj,
Nico escribió un número al lado de cada punto marcado. De este modo quedaron escritos 108
números alrededor de la circunferencia (puede haber números repetidos). La suma de 20
números ubicados en puntos consecutivos de la circunferencia es siempre igual a 1000. El
primer número que escribió Nico es el 1. En el lugar 19 escribió el número 19 y en el lugar 50
escribió el número 50. Determinar el número que Nico escribió en el lugar 100
60. En una olimpíada de matemática los participantes tenían que escribir un número entero
positivo en cada casilla de un tablero de 3  3 de modo que en cada fila y en cada columna, la
multiplicación de los tres números sea igual a 120. Estaba permitido repetir números. Resultó
que todos los participantes resolvieron correctamente el problema, pero todos obtuvieron una
respuesta diferente.
Determinar cuál es el máximo número de participantes que pudo haber en esa olimpíada.
61. Se tiene un rectángulo ABCD de lados AB = CD = 65 y BC = AD = 156. Se traza la
circunferencia de centro A que pasa por C. La recta BD corta a la circunferencia en E y F.
Calcular la longitud del segmento EF.
62. En un colegio, el 81% de los alumnos estudia inglés y el 80% de los alumnos estudia
computación. La proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que estudian
computación es igual al doble de la proporción de los alumnos que estudian inglés entre los
que no estudian computación. Hallar el porcentaje de alumnos de la escuela que no estudia ni
inglés ni computación.
63. La profesora escribe en el pizarrón una fila de dígitos 8 y le pide a un alumno que intercale
algunos signos + para que la suma que quede indicada tenga resultado 1000. Dar todas las
posibilidades para la cantidad de dígitos 8 que debe escribir la profesora para que la tarea del
alumno tenga solución.
64. En el triángulo ABC, sea P un punto interior. La recta AP corta al lado BC en D, la recta BP
corta al lado AC en E y la recta CP corta al lado AB en F. Se sabe que área (APF) =168;
área(BPD)=80; área (CPD) = 60 y área (CPE) = 70.
Calcular el área del triángulo APE y el área del triángulo BPF.
65. Pablo sumó todos los números enteros positivos de 4 dígitos, pero se salteó uno. La suma
de Pablo es igual a 8499 veces el número que se salteó Pablo. Hallar el número que se salteó
Pablo.
66. Nacho hizo la lista de todos los múltiplos de 15 que tienen 15 dígitos, que utilizan
exclusivamente los dígitos 1 y 5 y que no tienen dos 5 consecutivos. Calcular cuántos números
tiene la lista de Nacho.
67
por M la perpendicular al lado A
68. Un tren que marcha a 72 km/h atravesará el puente que une A con B (primero pasa por
A). Un rato antes de pasar por A hace sonar su bocina. En el puente hay un pájaro que cuando
suena la bocina se encuentra en un punto C tal que
. Si vuela hacia B llegará a B
exactamente en el mismo instante que el tren, y si vuela hacia A, llegará a A en el mismo
instante que el tren. Determinar a qué velocidad vuela el pájaro.
69. Pedro tiene 252 pesos en billetes de 2, de 5, de 10, de 50 y de 100 pesos, y tiene por lo
menos un billete de cada clase. Se sabe que existen 252 maneras distintas de distribuir el total
de los billetes entre el bolsillo derecho y el bolsillo izquierdo (incluyendo las dos posibilidades
de que uno de los bolsillos esté vacío). Determinar cuántos billetes de cada clase tiene Pedro.
ACLARACIÓN: Considerar que los billetes de una misma clase no se pueden distinguir entre sí.
70. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tal que la diagonal AC es igual al lado BC y la
diagonal BD es igual a la base AB. Si se sabe que
, calcular la medida del ángulo
.
71. Se escribe la lista de todos los números naturales de cuatro dígitos, con todos los dígitos
distintos de 0, tales que en cada número la diferencia entre el mayor de sus dígitos y el menor
de sus dígitos es menor o igual que 2. Determinar la cantidad de números de cuatro dígitos
que tiene la lista.
72. Sea ABCD un rombo de lados AB, BC, CD y DA, tal que <AEC > 90°. La perpendicular a DA
trazada desde B corta al lado DA en E y la perpendicular a CD trazada desde B corta al lado CD
en F. Se sabe que BE = BF = 6 y EF = 7,2. Calcular el área del rombo ABCD.
73. Las tres atletas Lucía, María y Nadia corrieron 20 carreras y anotaron cada vez cuál llegó
primera, cuál segunda y cuál tercera. Nunca hubo puestos empatados. La cantidad de veces
que Lucía llegó antes que María es 12. La cantidad de veces que María llegó antes que Nadia
es 11. La cantidad de veces que Nadia llegó antes que Lucía es 14. Se sabe además que
ocurrieron todos los ordenamientos posibles de las tres atletas. Determinar cuántas carreras
ganó cada una de las atletas.
74. Dado un número natural, la operación legal es la siguiente secuencia de cuatro pasos:
suprimir el último dígito de la derecha; escribir el dígito suprimido como primer dígito de la
izquierda; multiplicar por 9; dividir por 2. Por ejemplo, el resultado de aplicar la operación
legal a 425 es 9 . 542 / 2 = 2439.
Diremos que un número natural n es especial si el resultado de aplicarle a n la operación legal
es el mismo número natural n.
Una computadora hizo la lista de todos los números especiales de hasta 2000 cifras, ordenados
de menor a mayor. Hallar los 10 primeros números de esa lista.
75. Un número natural es balanceado si tiene la misma cantidad de cifras que de divisores
primos distintos. Por ejemplo, 20 es balanceado, pues tiene dos cifras y dos divisores primos
distintos (2 y 5); 81 no es balanceado, pues tiene dos cifras y sólo un divisor primo (el 3);
tampoco es balanceado el 60, pues tiene dos cifras y tres divisores primos distintos (2, 3 y 5).
Hallar un número balanceado de 6 cifras y determinar cuál es la máxima cantidad de cifras que
puede tener un número balanceado.
76. Sea ABCD un cuadrilátero con <ABC = <ADC = 90°, <BAD = 60°, AB = 7 y AD = 8.
Calcular las medidas de BC y CD.
(Nota: <ABC indica el ángulo ABC)
77. En una recta se marcan los puntos A y B tales que AB = 5 cm. Una pulga se mueve sobre
la recta y en cada salto se desplaza 1 cm a derecha o a izquierda. La pulga quiere ir de A hasta
B en exactamente 9 saltos. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?
78. Pablo colecciona monedas de España, Francia y Grecia. Tiene monedas de 5 centavos, de
10 centavos y de 50 centavos, y tiene en total menos de 100 monedas.
El lunes vendió tres monedas de Francia y compró tres de España, pero con los mismos
valores que tenían las que vendió.
El martes vendió seis monedas de 10 centavos y compró seis monedas de 5 centavos pero
exactamente de los mismos países que las que vendió.
En su nueva colección:
La cantidad de monedas de España es igual a la cantidad de monedas de Francia e igual al
triple de la cantidad de monedas de Grecia.
La cantidad de monedas de 5 centavos es igual a la cantidad de monedas de 10 centavos e
igual a seis veces la cantidad de monedas de 50 centavos.
¿Cuántas monedas de cada país tenía la colección inicial de Pablo y cuántas monedas de cada
valor tenía la colección inicial de Pablo?
79. Sea ABCD un cuadrado de lado 28. Se considera el punto P interior al cuadrado y el punto
E en el lado CD tales que PE es perpendicular a CD y AP = BP = PE. Hallar AP.
El trapecio ABCD tiene AB paralelo a CD. Sean M el punto medio de la diagonal AC, N el punto
medio de la diagonal BD y P el punto medio del lado AB.
Si AB = 15, CD = 24 y la altura del trapecio es h = 14, hallar el área del triángulo MNP.
Un auto viaja de A a C a una velocidad constante de 90 kilómetros por hora. En el camino
entre A y C pasa por B. Cuando son las 8:00 hs de la mañana ha recorrido 1/4 de la distancia
entre A y B, y cuando son las 10:00 hs de la mañana ya ha recorrido 3/4 del camino entre B y
C. Calcular la distancia entre A y C.
80. Un geólogo tiene varias piedras y ninguna de ellas pesa más de 1 kg. Se sabe que si se
separan las piedras en dos grupos, no importa de qué manera se haga, el peso total de uno de
los dos grupos es menor o igual que 1 kg. Nada se sabe sobre la cantidad de piedras que tiene
el geólogo ni se sabe cuánto pesa cada piedra. Hallar el valor máximo que puede tener el peso
de todas las piedras juntas.
81. El triángulo ABC tiene AB = 14, BC = 24 y AC = 15. Sean M en el lado AB y N en el lado
BC tales que la recta MN divide al triángulo en dos figuras de igual área y de igual perímetro.
Hallar la longitud de AM.