guia de ejercicios n°5

UNIVERSIDAD CATOLICA DEL MAULE.
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS.
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA, FISICA Y ESTADISTICA.
GUIA DE EJERCICIOS N°5
CALCULO III
I.C.O.
1. Hallar los máximos y mínimos relativos de f ( x, y)  x 3  y 3  3x  12y  20 .
2. Una caja rectangular sin tapa ha de tener un volumen de 32 unidades cúbicas.
¿Cuáles han de ser las dimensiones para que la superficie total sea mínima?.
SOL. 4  4  2
3. Hallar máximos absolutos
0  x  2; 0  y  2.
de f ( x, y)  x 2  4xy  y 3  4 y, en el
cuadrado
SOL. Máximo 16 y Mínimo 0.
4. Hallar los máximos y mínimos absolutos de f ( x, y)  e x  y , en el disco
x2  y2  1 .
SOL. Mínimo absoluto es e 1 , Máximo absoluto es e.
2
2
5. Hallar los máximos y mínimos de f ( x, y, z)  xy 2 z 3 sujetos a las condiciones
siguientes: x  y  z  6; x  0, y  0, z  0.
SOL. Valor máximo igual 108 en x  1, y  2, z  3.
6. Cuál es el volumen del máximo paralelepípedo rectángulo que se puede inscribir en el
x2 y2 z2


 1? .
elipsoide
SOL. 64 3.
9 16 36
7. Hallar los extremos de z sobre la superficie 2x 2  3 y 2  z 2  12xy  4xz  35 .
SOL. Mínimo igual a -5; Máximo igual a 5.
8. Hallar los valores máximo y mínimo de x 2  y 2  z 2 sujeto a las condiciones
x2 y2 z2


1 y
4
5 25
z  x y.
SOL. Máximo es 10 y mínimo es 75/17.
9. Averiguar la mínima distancia del origen a la hipérbola x 2  8xy  7 y 2  225, z  0.
10. Hallar el punto del paraboloide z  x 2  y 2 que está más próximo al punto (3,6,4).
SOL. (1,2,6).
11. Un fabricante planea ganar 8.000 Euros en el desarrollo y promoción de un nuevo
producto. Se estima que si gasta x miles de Euros en desarrollo e y miles en
1
3
promoción, se venderán aproximadamente f ( x, y )  50 x 2 y 2 unidades. Hallar la
distribución de dinero que hace máxima la venta.
SOL: 2.000 en desarrollo y 6.000 en promoción.
13. Determine los puntos sobre la curva x 2  xy  y 2  1 en el plano xy más cercanos y
más lejanos al origen.
13. Determine las dimensiones de la lata cilíndrica circular recta y cerrada con menor
superficie cuyo volumen sea de 16 cm3 .
Sol. r  2 cm; h  4 cm.
14. Determine el radio y la altura del cilindro circular recto y abierto de mayor área que
puede inscribirse en una esfera de radio a.
15. Determine los valores máximos y mínimos de f ( x, y)  x 2  y 2 sujeta a la
restricción x 2  2 x  y 2  4 y  1. Sol. En (0,0) hay mínimo y en (2,4) hay máx.
16. La temperatura en un punto ( x, y ) de una placa de metal es T ( x, y)  4 x 2  4 xy  y 2 .
Una hormiga camina sobre la placa alrededor de una circunferencia de radio 5 cm. con
centro en el origen. ¿Cuáles son las temperaturas máximas y mínimas encontradas por
la hormiga? Sol. Min: 0°; Máx: 125°.
17. Una empresa debe diseñar un estanque cilíndrico circular recto, de almacenamiento
para gas licuado. Las especificaciones del cliente pide un estanque de este tipo con
extremos semiesféricos hacia adentro del cilindro, que deben contener 8.000m 3
de gas. El cliente desea ocupar la menor cantidad de material para su construcción.
¿Qué radio y altura recomendaría para la parte cilíndrica del estanque?.
18. Determine el punto sobre la esfera con centro en el origen y radio 2, más alejado del
punto (1,-1,1).
19. Determine los puntos sobre la superficie más cercanos al origen. Sol.(0,0,2) y (0,0,-2).
20. Determine los valores máximos y mínimos de f ( x, y, z )  x  2 y  5z, sobre la esfera
x 2  y 2  z 2  30. Sol. (1,-2,5) máx. (-1,2,-5) es Mín.
21. Determine el valor máximo de f ( x, y, z)  x 2  2 y  z 2 sobre la recta de intersección
de los planos 2 x  y  0; y  z  0.
Sol. f ( 2 , 4 ,  4 )  4 .
3 3
3
3
22. Determine los valores extremos de la función f ( x, y, z)  x 2 yz  1 en la intersección
del plano z  1 con la esfera x 2  y 2  z 2  10. Sol. ( 6 , 3,1) Máx. ( 6 ,  3,1) Mín.
23. Determine los valores extremos de la función
f ( x, y, z)  xy  z 2 sobre la
circunferencia donde el plano y  x  0 corta a la esfera con centro en el origen y
radio 2.
Sol. (0,0,  2 ) Máx.; ( 2 ,  2 , 0) Mín.
24. Determine el punto más cercan al origen sobre la curva de intersección del plano
2 y  4 z  5 y el cono z 2  4 x 2  4 y 2 .
25. Un camión va a descargar veinte metros cúbicos de grava en un relleno sanitario. El
propietario del camión piensa comprar una caja descubierta en la cual transportar la
grava en varios viajes. El costo para él es lo que vale la caja más $ 2.000 por viaje.
La caja debe tener una altura de 0.5 metro, pero el camionero puede elegir la longitud
y el ancho de la caja. El costo de la caja será de $ 20.000 el metro cuadrado del frente
de la caja, y el de la parte trasera, y $ 10.000 el del fondo y los costados. ¿ Cúales
deben ser las medidas de la caja que debe comprar para reducir al mínimo sus costos
totales?.
26. Busque en la literatura información acerca del método de los mínimos cuadrados y la
recta de regresión..
27. En 1975 se compró un objeto antiguo y raro por $ 12.000. Su valor en 1980 fue de $
18.000, en 1985 de $$ 25.000 y en 1990 de $ 31.000. Si el valor del objeto fuese
determinado para el año 2000 de acuerdo con el mismo patrón, utilice el método de los
mínimos cuadrados para estimar el valor del objeto para ese año. Sol. $ 4.390.
28. Suponga que E es un valor extremo de f ( x, y) sujeto a la restricción g ( x, y)  c .
Entonces el multiplicador de Lagrange  es la tasa de variación de E con respecto a
dE
.
c , es decir  
dc