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CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
10.1 Introducción
Hemos visto que el empleo de las coordenadas polares simplifica la ecuación de una curva y
facilitan en cierta forma los cálculos que, de otra manera, resultarían más complicados si se emplearan
las coordenadas rectangulares. Otra forma de representar una curva, es por medio de sus ecuaciones
paramétricas y que consiste en lo siguiente:
Si en una ecuación , ambas variables x y y se expresan separadamente en términos de una nueva
variable t , de manera que la relación original entre x y y aun se mantenga, entonces, a la nueva variable
t se le llama parámetro y las ecuaciones que definen la relación de las variable x y y con t se llaman
representaciones paramétricas de la ecuación.
En muchos casos, se puede hallar una representación paramétrica de una ecuación que contiene
dos variables mediante la forma siguiente:
- Se iguala x o y a una función del parámetro t.
- Se sustituye esta igualdad en la ecuación que relaciona ambas variables
- Se despeja la segunda variable en términos del parámetro t
Despejar la segunda variable en términos de t puede resultar muy complicado, por lo que es
recomendable hacer un análisis muy cuidadoso de la ecuación original, antes de expresar a la primera
variable en términos de t. Una representación paramétrica adecuada debe ser simple y los valores del
parámetro t nos deben proporcionar toda la curva; sin embargo, esto es a veces difícil de lograr.
Ejemplo1.- Hallar una representación paramétrica de la ecuación x2 + y2 = 9
Solución: Sea x = 3 cos t , sustituyendo en la ecuación original tenemos:
 3 cos t  2  y 2  9
9 cos 2 t  y 2  9
y 2  9 1  cos 2 t 
y 2  9 sen 2 t  y  3 sen t
Esto es x = 3 cos t , y = 3 sen t y x = 3 cos t , y = -3 sen t son dos representaciones paramétricas de
la ecuación de la circunferencia.
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 210
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
10.2 Ecuación paramétrica de las cónicas
- La circunferencia. Si en la ecuación ordinaria de la circunferencia dividimos ambos lados de la
ecuación entre r2
 x  h 2
r2

 y  k 2
r2
1
nos daremos cuenta que existe una gran similitud con la identidad trigonométrica sen2 t + cos2 t = 1 .
Por lo tanto, si hacemos las siguientes sustituciones:
xh
 cos t y
r
yk
 sen t
r
y se despeja a x y y respectivamente, hallaremos la representación paramétrica de la ecuación de la
circunferencia:
x  h  r cos  , y  k  r sen 
(1)
- La elipse. De la ecuación ordinaria de la elipse con eje mayor paralelo al eje X :
 x  h 2
a2

 y  k 2
b2
1
y recurriendo al mismo artificio que en el caso de la circunferencia , hallamos su representación
paramétrica:
x  h  a cos  , y  k  b sen 
(2a)
La representación paramétrica de una elipse con eje mayor paralelo al eje Y
 x  h 2
b2

 y  k 2
a2
1
está dada por las ecuaciones:
x  h  b cos t
y
y  k  a sen t
(2b)
- La parábola. De la ecuación ordinaria de la parábola con eje focal paralelo al eje X :
 y  k  2  4 p x  h
observamos que p y x - h deben tener el mismo signo , ya que el lado izquierdo siempre es positivo,
podemos hacer:
x  h  pt 2
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 211
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
que al sustituir en la ecuación ordinaria nos da
 y  k  2  4 p pt 2 
 y  k  2  4 p2t 2
y  k  2 pt
y  k  2 pt
Por lo tanto, la representación paramétrica de la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje X
está dada por:
x  h  pt 2 y y  k  2 pt (3a)
si p  0 la parábola se extiende a la derecha y si p  0 a la izquierda.
De manera semejante, la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje Y
 x  h 2  4 p y  k 
se representa paramétricamente por las ecuaciones:
x  h  2 pt y
y  k  pt 2
(3b)
si p  0 la parábola se extiende hacia arriba y si p  0 hacia abajo.
-La hipérbola. De la ecuación ordinaria de la hipérbola con eje transverso paralelo al eje X:
 x  h 2
a2
 y  k 2

b2
1
se observa similitud con la identidad trigonométrica sec2 t - tan2 t = 1. Por lo tanto, al igualar términos,
hallamos la correspondiente representación paramétrica:
x  h  a sec t
y  k  btan t
y
(4a)
Si el eje transverso de la hipérbola es paralelo al eje Y , es decir, si la ecuación es de la forma:
 y  k 2
a2

 x  h 2
b2
1
entonces, su representación paramétrica está dada por:
x  h  btan t
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 212
y
y  k  a sec t
(4b)
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
Ejemplo 2.- Expresar la elipse 9x2 + 16y2 = 144 en forma paramétrica
Solución: Reduciendo a su forma ordinaria, nos daremos cuenta que se trata de una elipse con vértice
en el origen y eje mayor sobre el eje X , siendo a = 4 y b = 3. Por la tanto, de la ecuación (2a) tenemos:
x  4 cos t
y
y  3 sen t
Ejemplo 3.- Expresar la hipérbola 9x2 - 4y2-18x + 24y - 36 =0 en forma paramétrica
Solución: Al reducir a su forma ordinaria :
 x  2 2
4

 y  3 2
9
1
hallamos que h = 2 , k = 3 , a = 2 y b = 3. Aplicando la representación paramétrica cuando el eje
transverso de la hipérbola es paralelo al eje X :
x  2  2 sec t
y
y  3  3tan t
10.3 Eliminación del parámetro.
Dada una curva en su representación paramétrica , a veces, resulta conveniente expresarla en su forma
rectangular o polar, para esto, será necesario eliminar el parámetro t . Desafortunadamente no existe un
método único para eliminar el parámetro t y tendremos que aplicar alguno de los vistos en álgebra o
aplicar identidades trigonométricas que hagan posible su eliminación.
Ejemplo 4.- Eliminar el parámetro t de las siguientes ecuaciones: x = t -2 y y = t2 - 4
Solución: Despejando a t de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, tenemos:
y   x  2  4
2
y  x2  4x  4  4
y  x2  4x
la cual representa a una parábola con vértice en (-2,-4) y eje focal paralelo al eje X.
Ejemplo 5.- Eliminar el parámetro de las ecuaciones: x = 1 + 5cos t y y = 3 + 2sen t
Solución: Despejando ambas funciones trigonométricas y aplicando la identidad sen2 + cos2 = 1,
tenemos:
 x  1 2
25
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 213

 y  3 2
4
1
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
que representa la ecuación de una elipse con centro en (1,3) , eje mayor paralelo al eje X y de longitud
10 y longitud del eje menor igual a 4.
Ejemplo 6. Eliminar el parámetro de las ecuaciones:
x
2
1 t 2
y
y
2t
1 t 2
Solución: Al dividir la segunda ecuación entre la primera obtenemos
2t
y 1 t 2

t
2
x
1 t 2
o
t
y
x
sustituyendo este resultado en la primera ecuación
2x2
x
2  2
x  y2
 y
1  
x
2
x x 2  y 2   2 x 2
x2  y2  2x
x2  y2  2x  0
 x  1 2  y 2  1
esta ecuación representa a una circunferencia con centro en (1,0) y radio igual a 1. Para obtener la
circunferencia completa, t debe tomar valores tales que t (-,).
Ejemplo 7.- Eliminar el parámetro de las siguientes ecuaciones:
x  sec t - tan t
y
y  sec t + tan t
Solución: Multiplicando ambas ecuaciones, hallamos:
xy   sec t  tant  sec t  tant   sec 2 t  tan 2 t  1
1
y
x
que representa la ecuación de una hipérbola equilátera con centro en el origen y rotada un ángulo de 45º
con respecto ala eje X.
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 214
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
10.4 La gráfica de una ecuación paramétrica
La gráfica de una ecuación en forma paramétrica se obtiene, asignando un conjunto de valores dentro
de un cierto rango al parámetro t. Para cada valor de t se obtiene un valor correspondiente de x y y , esto
es, un punto (x, y ) . La gráfica se forma al unir cada uno de los puntos; sin embargo, es necesario
aclarar que este procedimiento frecuentemente proporciona sólo una parte de la gráfica que se obtiene
al eliminar el parámetro t.
Ejemplo 8.- Trazar la gráfica de la curva cuya representación paramétrica es: x = 4 cos t y y = 4 sen t
Solución: Construyamos una tabla mostrando algunos valores de t y los correspondientes para x y y .
t(º)
x
y
0
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
165
180
195
210
225
240
255
270
285
300
315
330
345
360
La gráfica es:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 215
4.000
3.864
3.464
2.828
2.000
1.035
0.000
-1.035
-2.000
-2.828
-3.464
-3.864
-4.000
-3.864
-3.464
-2.828
-2.000
-1.035
0.000
1.035
2.000
2.828
3.464
3.864
4.000
0.000
1.035
2.000
2.828
3.464
3.864
4.000
3.864
3.464
2.828
2.000
1.035
0.000
-1.035
-2.000
-2.828
-3.464
-3.864
-4.000
-3.864
-3.464
-2.828
-2.000
-1.035
0.000
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
Ejemplo 9.- Trazar la gráfica de la curva cuya representación paramétrica es: x = t -2 y y = t2 -4
Solución: Construyamos una tabla mostrando algunos valores de t y los correspondientes para x y y .
t
x
y
-6.00
-5.50
-5.00
-4.50
-4.00
-3.50
-3.00
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
la gráfica correspondiente es:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 216
-8.00
-7.50
-7.00
-6.50
-6.00
-5.50
-5.00
-4.50
-4.00
-3.50
-3.00
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
32.00
26.25
21.00
16.25
12.00
8.25
5.00
2.25
0.00
-1.75
-3.00
-3.75
-4.00
-3.75
-3.00
-1.75
0.00
2.25
5.00
8.25
12.00
16.25
21.00
26.25
32.00
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
Ejemplo 10.- Trazar la gráfica de la curva cuya representación paramétrica es:
x = 2 cos 3  y y = 2 sen 3 
Solución: Construyamos una tabla mostrando algunos valores de  y los correspondientes para x y y .
(º)
x
y
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 217
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
0
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
165
180
195
210
225
240
255
270
285
300
315
330
345
360
2.000
1.802
1.299
0.707
0.250
0.035
0.000
-0.035
-0.250
-0.707
-1.299
-1.802
-2.000
-1.802
-1.299
-0.707
-0.250
-0.035
0.000
0.035
0.250
0.707
1.299
1.802
2.000
0.000
0.035
0.250
0.707
1.299
1.802
2.000
1.802
1.299
0.707
0.250
0.035
0.000
-0.035
-0.250
-0.707
-1.299
-1.802
-2.000
-1.802
-1.299
-0.707
-0.250
-0.035
0.000
La gráfica de esta representación paramétrica es:
10.5 El tiro parabólico
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones paramétricas, se refiere al estudio del
movimiento de los cuerpos sin analizar las causa que lo producen. En este tipo de problemas, se
analiza el movimiento por medio de sus componentes y se utiliza al tiempo como parámetro. Uno de
tales movimientos es el llamado "tiro parabólico" y es esencialmente lo siguiente:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 218
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
Supóngase que un proyectil ( bala de cañón ) se dispara con una velocidad inicial Vo formando
un ángulo  con la horizontal . Si despreciamos la resistencia del aire y si el movimiento se debe
principalmente a su velocidad y dirección iniciales y a la aceleración de la gravedad, entonces, surge la
pregunta: ¿cuál es la trayectoria que describe este proyectil ? (ver figura 1).
Figura 1
La componente x de la velocidad inicial está dada por: Vox = Vo cos  , y se mantiene constante,
debido a que no existen fuerzas horizontales. Por lo tanto, para cualquier tiempo t  0 la componente x
del desplazamiento está dada por:
x  Vo cos t
La componente y de la velocidad inicial es Voy = Vo sen  y se ve afectada por la aceleración de la
gravedad de la Tierra -g , el signo negativo indica que está dirigida hacia abajo. Por lo tanto, se trata de
un movimiento uniformemente acelerado y la componente y del desplazamiento es:
y  Vo sen t 
1 2
gt
2
Estas expresiones son las ecuaciones paramétricas de la curva. Hallemos la ecuación de la
trayectoria en forma rectangular, para esto, debemos eliminar al parámetro t. Despejando a t de la
primera de las ecuaciones y sustituyendo en la segunda tenemos:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 219
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
 x  1  x 
  g

y  Vo sen 
Vo cos   2 Vo cos  
2
gx 2
y  x tan 
2Vo 2 cos 2 
gx 2
2
y  x tan 
(5)
2 sec 
2Vo
Esta ecuación representa una parábola con eje de simetría paralelo al eje Y extendiéndose hacia
abajo. Por lo tanto, bajo estas condiciones, la trayectoria del proyectil es una parábola y de ahí su
nombre.
Si en la ecuación anterior hacemos y = 0, encontraremos que la parábola intersecta al eje X en x =
0 y x = Vo 2 sen 2 /g . Por lo tanto, el alcance horizontal del proyectil está dado por :
Vo 2 sen 2
(5a)
g
El proyectil alcanza su altura máxima cuando está a la mitad de su trayectoria, esto es , cuando x
2
= Vo sen 2 /2g , por lo tanto, sustituyendo en la ecuación (5), hallamos:
A
Vo 2 sen 2 
H
2g
(5b)
10.6 La cicloide
Una cicloide es el lugar geométrico, descrito por un punto fijo sobre una circunferencia que rueda sin
resbalar a lo largo de una recta fija.
Deduciremos la ecuación paramétrica de una cicloide, tomando la recta fija como el eje X y una
circunferencia de radio a y centro C de tal forma que al rodar, el punto P(x,y) pase por el origen, según
se indica en la figura 2. Sean A y B las proyecciones de P y C sobre el eje X. Perpendicular a BC y
pasando por P trazamos el segmento PD. Dado que la circunferencia rueda, sin resbalar , desde O hasta
B y si  se mide en radianes, entonces:
OB = arco PB = a
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 220
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
Figura 2
x = OA = OB - AB = OB - PD = a - a sen  = a (  - sen  )
x = a (  - sen  )
(6a)
y = AP = BD = BC - CD = a - a cos  = a (  - cos  )
y = a (  - cos  )
(6b)
Ejemplo 11.- Trazar la gráfica de la cicloide dada por sus ecuaciones paramétricas:
x = 3 ( - sen  ) y y = 3 ( - cos  )
Solución: Construyamos una tabla mostrando algunos valores de  y los correspondientes para x y y .
(º)
x
y
0
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
165
180
195
210
225
240
255
270
285
300
315
330
345
360
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 221
0.000
0.009
0.071
0.235
0.544
1.029
1.712
2.600
3.685
4.947
6.354
7.863
9.425
10.987
12.496
13.902
15.164
16.250
17.137
17.820
18.306
18.615
18.779
18.841
18.850
0.000
0.102
0.402
0.879
1.500
2.224
3.000
3.776
4.500
5.121
5.598
5.898
6.000
5.898
5.598
5.121
4.500
3.776
3.000
2.224
1.500
0.879
0.402
0.102
0.000
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
La gráfica correspondiente es:
PROBLEMAS PROPUESTOS
Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas a) Trazar su gráfica , b) Eliminar el parámetro, c) Indicar
si, con la forma paramétrica dada, se obtiene toda la curva o parte de ella.
1) x = 1 + t , y = 5 + t
4) x = 1 + t , y = 5 + t
7) x = t - 1 , y = t / ( t + 1)
10) x = cos t , y = sec t
2) x = 1 + 3t , y = 2 + 6t
5) x = 1 - t , y = 2 + t2
8) x = 2 / ( t2 + 1) , y = 2t / ( t2 + 1)
11) x = cos t - 1 , y = 2 sen t - 1
3) x = 3 + t , y = 2 t - 1
6) x = t + t2 , y = t - 1
9) x = t - 1 , y = (t - 1) / t
12)
Para los siguientes problemas, supóngase que g = 9.8 m /s2.
12.- Se dispara una bala de cañón a una velocidad de 30 m/s con un ángulo de 45º , hallar a) El alcance
horizontal , b) La altura máxima
13.- Se lanza una piedra desde lo alto de una torre con una velocidad horizontal de 10 m/s y emplea 5
segundos en llegar al suelo . Calcular la velocidad final y la altura h de la torre.
14.- Se lanza verticalmente una pelota , de tal forma que al cabo de 6 segundos regresa de nuevo al
punto de partida. Calcular a) la velocidad inicial con que se lanzó, b) la altura máxima
15.- Un cañón antiaéreo lanza una granada verticalmente con una velocidad de 500 m/s. Calcular:
a) La máxima altura que alcanzará la granada.
b) El tiempo que empleará en alcanzar dicha altura
c) La velocidad al cabo de 40 y 60 segundos
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 222
CAPITULO 10
ECUACIONES PARAMETRICAS
16.- Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 50º y una velocidad inicial de 400
m/s sobre un terreno horizontal . Sabiendo que a una distancia de 1000 m. existe una pared vertical,
calcular la altura del punto de la pared sobre el cual incide el proyectil.
17.- Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un proyectil son x = 60 t y y = 60 t - 3600 t2.
Trazar la trayectoria.
18.- Trazar la gráfica de la cicloide en la que el radio del circulo trazador es de 2
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 223