Cálculo 20 - Web del Profesor

EJERCICIO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
1. Circunscribir en torno a un cilindro dado un cono recto que tenga
el menor volumen posible (los planos y centros de sus bases circulares
coinciden).
2. ¿Cuál de los conos circunscritos en torno a una esfera tiene el menor
volumen?
3. Una faja de hoja de lata de anchura a debe ser encorvada
longitudinalmente en forma de canalón abierto. ¿Qué ángulo central debe
tomarse para que el canalón tenga la mayor capacidad posible?
4. De una hoja circular hay que cortar un sector tal, que enrollado
nos dé un embudo de la mayor capacidad posible.
5. Un recipiente abierto está formado por un cilindro, terminado por
su parte inferior en una semiesfera; el espesor de sus paredes es
constante. ¿Qué dimensiones deberá tener dicho recipiente para que,
sin variar su capacidad, se gaste en hacerlo la menor cantidad de
material?
6. Determinar la altura mínima h = OB que puede tener la puerta de una
torre vertical ABCD, para que a través de ella se pueda introducir en
la torre una barra rígida MN, de longitud l, cuyo extremo M resbalará
a lo largo de la línea horizontal AB. La anchura de la torre es d <
l
7. En un plano de coordenadas se da un punto, Mo (xo, Yo), situado en
el primer cuadrante. Hacer pasar por este punto una recta, de manera
que el triángulo formado entre ella y los semiejes positivos de
coordenadas tenga la menor área Posible.
8. Inscribir, en una elipse dada, un rectángulo de la mayor área
posible, que tenga los lados paralelos a los ejes de la propia elipse.
9. Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de
la parábola y2 = 2px cortado por la recta x = 2a.
10. Hallar el punto de la curva y = 1/1+x2, en el que la tangente forme
con el eje OX el ángulo de mayor valor absoluto posible.
11. Dividir un número Positivo dado a en dos sumandos de tal forma,
que su producto sea el mayor posible.
12. Torcer un trozo de alambre de longitud dada l, de manera que forme
un rectángulo cuya área sea la mayor posible.
13. ¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado, igual a 2p,
tiene mayor área?
14. Hay que hacer una superficie rectangular cercada por tres de sus
lados con tela metálica y lindante Por el cuarto con una larga pared
de piedra. ¿Qué forma será más conveniente dar a la superficie (para
que su área sea mayor), si se dispone en total de l m lineales de tela
metálica?
15. De una hoja de cartón cuadrada, de lado a, hay que hacer una caja
rectangular abierta, que tenga la mayor capacidad posible, recortando
para ello cuadrados en los ángulos de la hoja y doblando después los
salientes de la figura en forma de cruz así obtenida.
16., Un depósito abierto, de hoja de lata, con fondo cuadrado, debe
tener capacidad para v litros. ¿Qué dimensiones debe tener dicho
depósito para que en su fabricación se necesite la menor cantidad de
hoja de lata?
17. ¿Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total?
18. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo.
19. Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor
superficie lateral posible.
19´. Inscribir en una esfera dada un cono de volumen máximo.
20. Inscribir en una esfera dada un cono circular recto que tenga la
mayor superficie lateral posible.
21. Se quiere construir una caja de base cuadrada y sin tapa que tenga
un volumen de 4 decímetros cúbicos. Encuentre las dimensiones que hagan
que la cantidad de material necesario sea mínima (ignore el espesor
del material y lo que se desperdicia en la construcción).
22. Resuelva el ejercicio 21 suponiendo que la caja sí tiene tapa.
23. Una cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre
paralela a un edificio alto. La cerca se encuentra a un pie del edificio.
Encuentre la longitud de la escalera más corta que pueda colocarse en
el suelo y recargarse en el edificio por encima de la cerca.
24. Las páginas de un libro deben tener cada una 600 cm2 de área con
márgenes de 2 cm. abajo y a los lados y 3 cm. arriba. Encuentre las
dimensiones de la página que permitan la mayor área impresa posible.
25. Sea a el radio de un semicircu1o. Encuentre las dimensiones del
rectángulo inscrito de área máxima, si se requiere que dos de los
vértices del rectángulo estén sobre el diámetro.
26. Sea a el lado de un triángulo equilátero. Encuentre las dimensiones
del rectángulo de área máxima que pueda inscribirse en él manteniendo
dos de los vértices del rectángulo sobre uno de los lados del triángulo.
27. Encuentre el cono circular recto de volumen máximo que pueda
inscribirse en una esfera de radio a.
28. Encuentre el cilindro circular recto de volumen máximo que pueda
inscribirse en una esfera de radio a.
29. Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin tapa, que
tenga capacidad de un metro cúbico. Encuentre las dimensiones que debe
tener para que la cantidad de material necesario sea mínima, suponiendo
que no se desperdicia nada en la construcción.
30. La base circular del recipiente del ejercicio 29 se corta de una
hoja cuadrada y el metal restante se desperdicia. Encuentre las
dimensiones del recipiente para las cuales la cantidad de material
necesario en su construcción sea mínima.
31. Una pieza larga y rectangular de lámina de 30 cm. de ancho va a
convertirse en un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados
hasta formar ángulos rectos con la base.
¿Cuál debe ser el ancho de las partes dobladas para que el canal tenga
una capacidad máxima?
32. Resuelva el ejercicio 31 suponiendo que los lados del canal forman
un ángulo de 120º con la base.
33. Demuestre que el rectángulo de área máxima con perímetro dado p
es un cuadrado.
34. Al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados se genera un
cilindro circular recto. ¿Si el perímetro p del rectángulo está dado,
cuáles son las dimensiones del rectángulo que genera al cilindro de
volumen máximo?
35. La resistencia de una viga de sección rectangular es directamente
proporcional a su ancho y al cuadrado de su altura. Encuentre las
dimensiones de la viga más resistente que puede cortarse de un tronco
cilíndrico de radio a.
36. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un
semicircu1o. Encuentre las dimensiones de la ventana que deja pasar
más luz si su perímetro mide 5 metros.
37. Encuentre el punto sobre la gráfica de y = x2 + 1 más cercano al
punto (3, 1).
38. Encuentre la abscisa del punto sobre la gráfica de y = x3 más cercano
al punto (4, O).
39. Un productor vende cierto artículo a los distribuidores a $ 20 cada
uno si le piden menos de 5O. Si le piden 5O o más de 5O (hasta 600)
el precio por artículo se reduce a razón de 2 centavos por el número
pedido. ¿Cuál es el tamaño del pedido que produce mayor cantidad de
dinero a! productor?
40. La iluminación que produce una fuente luminosa es directamente
proporciona a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia a la fuente. ¿Si dos fuentes de luz con
intensidades S1 y S2 se colocan separadas por una distancia d, en cuál
de los puntos del segmento de recta que las une es mínima la iluminación?
41. Un veterinario cuenta con 30 metros de tela de alambre y quiere
construir seis jaulas para perros construyendo primero una barda
alrededor de una región rectangular y luego dividiendo la región en
seis rectángulos iguales mediante cinco bardas paralelas a uno de los
lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la región rectangular con las
que el área total es máxima?
42. Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano,
en forma de un cilindro circular recto con un hemisferio en cada
extremo. La capacidad deseada es de 2 m3. ¿Cuáles son las dimensiones
que requieren menor cantidad de acero?
43. Se va a partir un alambre de 36 cm. de largo en dos pedazos. Uno
de los pedazos se doblará para formar un triángulo equilátero y el otro
para formar un rectángulo dos veces más largo que ancho. ¿Cómo debe
partirse el alambre para que el área combinada de las dos figuras sea
(a) mínima; (b) máxima?
44. Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se colocan
verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de
10 metros. Calcule aproximadamente la longitud mínima de un cable que
pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo
entre los postes y luego hasta la punta del otro poste.
46. A la 1: 00 P.M. el barco A se encuentra 30 millas al sur del barco
B y viaja hacia el norte a 15 millas por hora. El barco B viaja hacia
el oeste a 10 millas por hora. ¿A qué hora será mínima la distancia
entre los dos barcos?
47. Se desea construir un vaso de papel en forma de un cono circular
recto que tenga un volumen de 36 pi cm3. Encuentre las dimensiones que
requieren menor cantidad de papel (ignore cualquier desperdicio que
pueda haber).
48. Un oleoducto va a conectar dos puntos A y B que se encuentran a
5 kilómetros uno del otro en riberas opuestas de un río recto de 1.5
kilómetros de ancho. Una parte del oleoducto irá bajo el agua desde
A hasta un punto C en la ribera opuesto del río y otra parte irá desde
C hasta B sobre tierra. El costo por kilómetro de oleoducto bajo el
agua es cuatro veces el costo sobre tierra. Encuentre la posición del
punto e para la cual el costo de la construcción es mínimo (ignore la
pendiente del fondo del río).
49. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden a y su base b.
Encuentre las dimensiones del rectángulo de área máxima que pueda
inscribirse en el triángulo manteniendo un lado del rectángulo sobre
la base del triángulo.
50. Encuentre las dimensiones del rectángulo de área máxima con dos
de sus vértices en el eje x y los otros dos arriba del eje x sobre la
gráfica de
y=4-x2.
51. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un
triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 4 metros.
Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la
ventana es máxima.
52. El dueño de una huerta de manzanas calcula que si se siembran 5O
árboles por hectárea entonces cada árbol maduro dará unas 600 manzanas
al año. Por cada árbol más que se siembre por hectárea el número de
manzanas producidas por un árbol al año disminuirá en 6. ¿Cuántos
árboles deben sembrarse por hectárea para obtener el mayor número de
manzanas posible?
53. Un paquete puede enviarse por correo ordinario solamente si la suma
de su altura y el perímetro de su base es menor que dos metros y medio.
Encuentre las dimensiones de la caja de volumen máximo que puede
enviarse por correo si la base de la caja es cuadrada.
55. Encuentre el cuarto lado que debe tener un trapecio cuyos otros
tres lados no paralelos tienen longitud 8, para que su área sea máxima.
56. Una compañía de bienes raíces es dueña de 180 apartamentos que se
ocupan en su totalidad cuando la renta se fija en $3000 pesos mensuales.
La compaña calcula que por cada 100 pesos de aumento en la renta se
desocupan 5 apartamentos. ¿Cuál es la renta mensual con la que la
compañía obtendría el mayor ingreso bruto?
57. Una carretera A que corre de norte a sur y otra B que corre de este
a oeste se intersecan en un punto P. A las 10:00 A.M. un automóvil que
viaja hacia el norte pasa por P a una velocidad de 80 km/h. Al mismo
tiempo un avión que viaja hacia el este a una velocidad de 300 km/h
y a una altura de 8000 metros, pasa directamente encima del punto en
B que se encuentra 15O kilómetros al oeste de P. ¿Si el avión se mantiene
a la misma altura y tanto el avión como el automóvil mantienen la misma
velocidad y la misma dirección, a qué hora se encontrarán más cerca
uno del otro?