Una matriz mxn es una disposición rectangular de m filas y n

 Una matriz mxn es una disposición rectangular de m filas y n columnas.
 a11 a12 a13 


 a21 a22 a23 
. El término mxn recibe el nombre de dimensión de la matriz.
A4 x 3  
a31 a32 a33 


a

 41 a 42 a 43 
Los elementos de la matriz se identifican como aij: el primer subíndice indica la fila y el segundo la
columna (a32 es el elemento que se encuentra en la intersección de la 3ª fila y la 2ª columna). Por ello,
la matriz también se puede escribir como aij , i  1,,4; j  1,,3 (siempre hay que indicar la
dimensión).
 Una matriz nula mxn es una matriz cuyos elementos son todos cero:
0 0
0 0 0 0




O3 x 2   0 0 ; O3 x 4   0 0 0 0 
0 0
0 0 0 0




 Una matriz o vector fila es aquella que tiene una fila y cualquier número de columnas:
M1x 5  5 0  2 1
3 . Una matriz o vector columna es aquella que tiene una columna y


cualquier número de filas: M 4x1
4 
 
  2
1 .
 5
 
7 
t
 La traspuesta Amxn
de una matriz Amxn es otra matriz que se obtiene de la de partida intercambiando
las filas por columnas y viceversa.
1 5 4
  A3t x 2
A2 x 3  
3

6
0


4 
 3


1 3 


 3 7 8  9
 7  5
t
  5  6  ; A4 x 2  



A

2
x
4

8
2
4

5
2
1


4 0 




 9 1 


 Una matriz se dice que es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas.
Entonces se habla del orden de la matriz y no de la dimensión:
2  3 1 6


 2 3
0 8 0 5
Diagonal principal
 ; M 4  
M 2  

5 8 8 4
  9 5


6 2 4 9


 La diagonal principal de una matriz cuadrada la forman los elementos aii, es decir, a11, a22, a33…
 Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando todos los elementos situados debajo de la diagonal
principal son cero; es triangular superior cuando lo son los elementos situados por encima de dicha
diagonal principal y es diagonal cuando es triangular inferior y superior simultáneamente (los únicos
términos no nulos son los de la diagonal principal). Una matriz identidad es una matriz diagonal cuya
diagonal principal está compuesta por 1:
0  3 0 0
 a11 a12 a13   a11 0
 1 0 0

 
 



 1 0
 ; I 3   0 1 0 
0  ;  0 7 0  ; I 2  
 0 a 22 a 23  ;  a21 a22
 0 1
 0
 0 0 1
0 a33   a31 a32 a33   0 0 0 



 Una matriz An es simétrica cuando An  Ant  coinciden los elementos al doblar por la diagonal
principal. Una matriz An es antisimétrica An   Ant  al doblar los elementos por la diagonal principal
tienen signos opuestos y todos los elementos de la diagonal principal son cero:
1
 1 7  6


Simétrica:  7 3 5  ; Antisimétrica:
 6 5 8 


 0 7 6 


0  5
 7
 6 5
0 

 Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y coinciden todos sus términos:
A  B  dimensión de A = dimensión de B y aij  bij , i, j .
 Suma de matrices:
 La suma de dos matrices mxn es otra matriz mxn cuyos términos se obtienen sumando los
términos respectivos de las matrices sumandos: Cmxn  Amxn  Bmxn , c ij  aij  bij , i, j . Sólo
pueden sumarse entre sí aquellas matrices que tengan la misma dimensión.
 La matriz opuesta de aij  es  aij  .Al sumar ambas se obtiene una matriz nula:
 1  5
  1 5
 1 1  5  5 0 0
   A  
  A   A  
  
  O2 .
A  
4 0 
  4 0
 4  4 0  0  0 0
 Resta de matrices: A  B  A  ( B ) , siendo  B la matriz opuesta de B.
 El producto de un escalar (número real) por una matriz es otra matriz de igual dimensión cuyos
términos se obtienen multiplicando todos los términos de la matriz de partida por el escalar k aij   kaij .
 1  5   3  15
  
 .
3·A  3
 4 0  12 0 
 Propiedades:
1·Amxn  Amxn .
i.
0·Amxn  Omxn .
ii.
   ·Amxn  Amxn  Amxn .
iii.
k Amxn  Bmxn   kAmxn  kBmxn .
iv.
 El resultado del producto (escalar) de un vector fila F1xn por un vector columna Cnx 1 es un
número que se obtiene multiplicando cada elemento del vector fila por su correspondiente en el vector
columna y sumando todos estos productos:
 4
 
F1x 3  2 5  3; C3 x1   6   F1x 3 ·C3 x1  2·4  5·6  ( 3)·1  35 .
 1
 
Sólo pueden multiplicarse si el número de columnas del vector fila coincide con el número de filas del
vector columna F1xn ·Cnx 1 .
 Producto de matrices:
Para que dos matrices sean multiplicables entre sí, el número de columnas de la que aparece a la
izquierda debe coincidir con el número de filas de la que está situada a la derecha: Amxn ·Bnxp puede
efectuarse, pero no Bpxn ·Amxn . La matriz producto tiene tantas filas como la que está a la izquierda y
tantas columnas como la de la derecha:
Amxn ·Bnxp  Cmxp .El término c ij de Cmxp se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la matriz A por
la columna j de la matriz B:
C1 C 2 C 3 C 4
7 8 9
 1 3 4  F1
 ; B3 x 4 
A2 x 3  
6
3
4
  1 5  2 F 2
3 7 5
4
 C 2 x 4  A2 x 3 ·B3 x 4
0
2
c11  F1·C1  1·7  3·6  4·(3)
c12  F1·C 2  1·(8)  3·3  4·7 c13  F1·C3 c14  F1·C 4 

c 21  F 2·C1  1·7  5·6  2·(3) c 22  F 2·C 2  1· 8  5·3  2·7 c 23  F 2·C3 c 24  F 2·C 4
 13 29 1 12 

C 2x 4  
 29 9 21  8 
2
 Propiedades
i.
El producto de matrices no es conmutativo en general, pues Amxn ·Bnxp puede efectuarse,
pero no Bnxp ·Amxn . Las únicas matrices que pueden multiplicarse en cualquier orden son las
cuadradas, pero aún así, An ·Bn suele ser distinto a Bn ·An .
ii.
Es asociativo: Amxn ·Bnxp ·Cpxq  Amxn ·Bnxp ·Cpxq .
iii.
Propiedad distributiva:
Amxn ·Bnxp  Cnxp   Amxn ·Bnxp  Amxn ·Cnxp .
Amxn  Bmxn ·Cnxp  Amxn ·Cnxp  Bmxn ·Cnxp .
iv.
Para las matrices cuadradas se cumple que An ·I n  I n ·An  An , siendo In la matriz
identidad o unidad.
v.
Algunas matrices cuadradas An tienen matrices inversas An1 que verifican que
An ·An1  An1·An  I n . Las matrices cuadradas que tienen inversa se llaman invertibles o
regulares.
 El rango de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes que tiene la
matriz. A efectos prácticos, es el número de filas distintas de la fila nula que quedan al triangularizar la
matriz usando el método de Gauss:
1 1 1 2 
1 1 1 2 
1 1 1 2 

 F 2 ' F 2 2 F 1
 F 3 '  F 3  2 F 2

A   2 3 5 11   0 1 3 7    0 1 3 7   ran A  3 .
F 3 ' F 3 F 1
 1  1 6 29
 0  2 5 27
 0 0 11 43






 1 2 3
1 2 3 
1 2 3 

 F 2 ' F 2 2 F 1
 F 3' 2·F 33·F 2

B   2 4 0  0 0  6

0 0  6   ranB   2 .

F 3 '  F 3 3 F 1
 3 6 0
0 0  9
0 0 0 






 Para resolver un sistema de ecuaciones matricial (las incógnitas son matrices), es preferible
escribirlas con letras (normalmente en mayúsculas) y despejar como si se tratara de un sistema normal.
Después de despejados los valores, se sustituyen las expresiones de las matrices.
 1  5 

3 A  2 B  
1
1   3  3
 2 3  3 A  2 B  C  Doble Rrducción
;

5 A  C  2 D  A  C  2 D   


A B  D 
7 
5
5 0
 2 1 

A  B  
 1 2 

1
1  7  8
.
5B  C  3D  B  C  3D  
5
5  5  3
3