Análisis Estructural Segundo semestre 2009

Análisis Estructural Segundo semestre 2009
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Métodos energéticos.
Métodos energéticos.
1.1.- Energía de deformación.
Las fuerzas externas producen deformaciones en la estructuras hasta llegar al equilibrio entre las
fuerzas externas y las internas.
Se define como cuerpo elástico al que recupera su forma inicial una vez que se retiren las fuerzas
aplicadas sobre él.
Las fuerzas externas realizan un trabajo, introducen en la estructura una energía de deformación.
La termodinámica establece que el trabajo efectuado por las fuerzas externas más el calor que
absorbe el sistema desde el exterior es igual a un incremento de la energía cinética más un
incremento de la energía interna.
El incremento de energía cinética es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas externas e
internas.
En el cálculo de sistemas elásticos se desprecian las pérdidas de energía por calor estableciéndose
que la energía interna del sistema es la energía o trabajo de deformación del sistema.
Barra de largo l sometida a una fuerza se tracción P.
L
d
P
Para una barra de largo l sometida a una fuerza se tracción P, el alargamiento es
.
Se supone que la carga P se aplica lenta y gradualmente.
El trabajo de la fuerzas P es
P
C
W
1
d
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En el caso no lineal:
P
C
W
d
El teorema de Clapeyron dice que
1.2 Energía complementaria de deformación.
Teorema de Castigliano,
Trabajo de deformación,
P=C+W
1.3 Energía de deformación.
volumen = Al
Trabajo específico de deformación
Para el esfuerzo de corte,
V
d
∆y
g
V
∆x
∆z
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Caso general:
Energía total de deformación:
1.4 Energía de deformación en barras
Por San Venant,
1.4.1. Fuerza axial:
W
1.4.2. Momento de flexión:
1.4.3. Corte: v
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si
Llamando
donde es el radio de giro,
, que es el factor de forma,
Para una sección rectangular o triangular,  = 1.2; para una circular,  = 10/9; para perfiles
laminados se puede estimar aproximadamente como:
.
1.4.4. Torsión: v
si
En secciones rectangulares se utiliza
con
En general, para barras en el espacio, rectas o curvas, se tiene:
My
Mx
Vy
N
Vx
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Nota: Si hay dos cargas, N1 y N2, el trabajo total no es W1 +W2.
P
W2
N1
W1
d
W
1.5 Teorema de Clapeyron.
Si se aplica una fuerza Fi que produce un desplazamiento que tiene una componente i en la
dirección de la fuerza Fi , si la fuerza se aplica gradualmente en un tiempo largo, en un tiempo
intermedio t, entre 0 y t1, denominado como  t, la fuerza aplicada es  Fi.
En t=0, =0; en t= t1, =1, en t entre 0 y t1 actúa  Fi. produciendo un desplazamiento en su
dirección igual a  i. con
.
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1.6 Teorema de Betti.
Dos sistemas de fuerzas en equilibrio se aplican a un cuerpo gradualmente.
El sistema A tiene fuerzas
que producen desplazamientos
,
El sistema B tiene fuerzas
que producen desplazamientos
.
B
Pi
Pj
di
Pi
dj
Pi
Pj
d ij
dj
Pj
di
d ji
Si se aplica primero el sistema A, el trabajo es
B
Pi
Pj
di
Pi
dj
Pi
Pj
d ij
dj
Pj
di
d ji
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Si una vez aplicado el sistema A se agrega el sistema B, como la estructura ya tiene los
desplazamientos . El trabajo total de los dos sistemas sobre ella es:
es el desplazamiento que una fuerza
aplicada en i produce en el punto de aplicación de una
fuerza j.
Se puede entender mejor usando solo dos fuerzas y después extenderlo a un sistema de fuerzas:
Si se aplica una fuerza en i, el trabajo es
Al agregar la fuerza en j, el trabajo total es:
Si en cambio, se aplica primero la fuerza en j,
P
Caso B
Pj
P
Pi
dj
d ji
d
di
d
Al agregar ahora la fuerza en i, el trabajo total es:
Como al final, el trabajo debe ser el mismo independientemente de la secuencia de la aplicación
de las cargas, principio de superposición, válido para estructuras elásticas y lineales,
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Es el teorema de Betti.
El trabajo de las fuerzas de un sistema de fuerzas debido a los desplazamientos que en sus puntos
de aplicación produce otro sistema de fuerzas, es igual al trabajo de las fuerzas del segundo
sistema debido a los desplazamientos que produce en sus puntos de aplicación el primer sistema.
1.7 Teorema de Maxwell.
Es un caso particular de Betti. Si en el punto 1 actúa una fuerza F y después esa misma fuerza
actúa en otro punto 2, aplicando el teorema de Betti se tiene que
El desplazamiento de un punto1 en la dirección AB que se produce al aplicar en un punto 2 una
fuerza en la dirección CD, es igual al desplazamiento en el punto 2 en la dirección CD que se
produce al aplicar la misma fuerza en 1 en la dirección AB.
1.8 Teorema de Castigliano
En una estructura se aplica un sistema de fuerzas en equilibrio.
es la magnitud de la fuerza
es la proyección de
,
sobre la dirección de
.
Fi
ui
d
i
Si se llama WE al trabajo de las fuerzas externas y Wi a la energía de deformación, según
Clapeyron,
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Como WE = Wi e introduciendo los coeficientes de influencia,
cij es el desplazamiento de un punto i en la dirección de la fuerza en i que produce una fuerza
unitaria aplicada en j en la dirección j.
Porque
cik = cki
, debido a Betti, en realidad, Maxwell.
La derivada parcial del trabajo de deformación con respecto a una fuerza que actúa en un cuerpo,
es igual al desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza en la dirección de dicha fuerza.
Ejemplo, barra de largo L sometida a una carga axial P.
Segundo teorema.
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Teorema generalizado:
Es el verdadero teorema.
Aplicaciones del teorema de Castigliano.
Estructuras isostáticas.
Ejemplo, Viga en voladizo de largo L, con carga puntual P, en el extremo libre.
Figura 1.- Viga en voladizo con carga puntual en el extremo.
W = WE = Wi
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Ejemplo, Viga en voladizo de largo L, con carga puntual P, en el extremo libre y en el centro del
vano.
P
P
P1
P2
Pi
d
Se ponen dos cargas, P1 y P2, y al final se hacen iguales.
Si hay solo una carga en el centro del vano y se quiere la flecha en el extremo libre, se hace lo
mismo pero al final se pone P2=0.
La expresión para calcular la deformación en un punto se puede simplificar,
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Si
,
es igual al diagrama de momentos producido
es el momento producido por la carga
por una carga unitaria donde actúa
a esa carga
, multiplicado por
, entonces, la derivada parcial respecto
, es el diagrama de momentos producido por una carga unitaria donde actúa
y análogamente para los otros esfuerzos.
P1
P2
P1
P2
=
+
Ejemplo, Viga en voladizo de largo L, con carga puntual P, en el extremo libre.
Cálculo de deformaciones en enrejados.
P
P
P
P
Ni
Ai
Li
Ni
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Lj es el largo de la barra j.
Para calcular el descenso de un enrejado en el centro, se pone una fuerza F en el centro, se calcula
Wi, y se deriva respecto a esa fuerza F.
En la expresión obtenida se hace es fuerza igual a cero.
Pero es más práctico utilizar la segunda propiedad obtenida,
es el esfuerzo axial en la barra j producido por una fuerza unitaria como carga única
actuando sobre el enrejado en el punto k en la dirección de Fk.
Generalización
P
d
P1
P2
d1
d2
P2
d1
P1
d2
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Si la viga se carga con P2 = -P1 = P
ángulo entre la tangente y la elástica
para pequeñas deformaciones
M es una fuerza generalizada y
un desplazamiento generalizado.
El teorema de Maxwell establece que
cij=cji
Es decir, el desplazamiento en un punto i, en dirección de una fuerza i que actúa en i, debido a una
fuerza unitaria aplicada en otro punto j en dirección de esa fuerza que actúa en j, es igual al
desplazamiento en j debido a una carga unitaria aplicada en i.
Aplicación a líneas de influencia de deformaciones y de giros.
Línea de influencia del desplazamiento vertical en una sección j.
El desplazamiento lateral que interesa es cji. producido por una carga unitaria aplicada en un punto
cualquiera i.
Pero cji = cij .
cji es el desplazamiento vertical en i debido a una carga unitaria en j, el punto i es fijo.
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Entonces, cji. que es el desplazamiento en una sección dada que interesa conocer para una carga
unitaria que se aplique en cualquier punto i, es igual al desplazamiento en cualquier sección de la
estructura al actuar una carga unitaria en j. Es la línea de influencia del desplazamiento en j.
Línea de influencia del giro en una sección j
cji es el ángulo entre la tangente a la elástica en j para una carga unitaria actuando en i, y la
horizontal.
Pero cji = cij .
cji es el giro en i debido a un momento unitario en j, el punto i es fijo.
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Introducción a las estructuras hiperestáticas.
Vigas de un tramo.
Se libera un apoyo y se calcula el desplazamiento en ese apoyo considerando la reacción en él
como una incógnita. Las ecuaciones quedan en función de esa incógnita.
Por ejemplo, se libera el apoyo en B y se llama X a la reacción en él.
Se calcula el desplazamiento vertical de ese apoyo. La condición de compatibilidad es hacer nulo
ese desplazamiento vertical, originando la ecuación que falta para resolver el sistema.
Viga bajo carga uniformemente distribuida.
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Se descompone en:
en x=L
Cálculo de
.
La flecha en x=L se calcula aplicando Castigliano, los teoremas de Mohr, integrando la ecuación de
la elástica, aplicando la viga conjugada, etc…
En la viga conjugada:
Cálculo de
llamando u=L-x
.
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Ejemplos:
Aplicando el teorema de Mohr:
El segundo teorema de Mohr da:
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