3.9. Matriz transpuesta de una matriz

TEMA 1. MATRICES
1. DEFINICIÓN DE MATRIZ
Se llama matriz de orden n  m1 a un cuadro de números colocados entre dos paréntesis en n filas
y m columnas de esta forma:
 a11 a12 a13 ... a1m 


 a 21 a 22 a 23 ... a 2 m 
A   a 31 a 32 a 33 ... a 3m 


 ... ... ... ... ... 
a

 n1 a n 2 a n 3 ... a nm 
Se representa mediante una letra mayúscula, y a veces se escribe, abreviadamente, de la forma
siguiente: A = aij  siendo i = 1, 2, ..., n; y j = 1, 2, ..., m.
Cada elemento de una matriz está representado con dos subíndices, el primero señala la fila en la
que está situado y el segundo la columna.
Ejemplo:
 2 1  3 4


Sea la matriz A   1 0  1 7  su orden es 3  4 y se verifica esto: a11 = 2; a32 = 1; a23 = -1.
 3 1 2 3


 Ejercicio: Halla los siguientes elementos: a22 =
; a34 =
; a12 =
; a22 =
; a33 =
 Ejercicio: Escribe una matriz de cada uno de los siguientes órdenes: 3  2, 4  3, 4  2, 3  3,
1  4 y 4  1.
2. IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y son iguales los elementos que ocupan el
mismo lugar.
2 x 
 y B =
Las matrices A = 
 3 1
1
También se llama dimensión de la matriz.
2 5 

 son iguales  x = 5.
 3 1
2 4 
2 3 
 y B = 
 son diferentes, aunque tengan los mismos elementos,
Las matrices A = 
3

1
4
1




porque no están colocados en el mismo orden.
Las matrices:
 2 1


 2 3 2

 3 5  y 
1
5
3


 2 3


no son iguales porque el orden de la primera matriz es 3  2 y el
orden de la segunda es 2  3.
3. TIPOS DE MATRICES
3.1. Matriz fila: Una matriz fila es una matriz que sólo tiene una fila, su orden es, por tanto, 1  m.
Ejemplo
A = 1 3 2 es una matriz fila de orden 1  3.
3.2. Matriz columna: Una matriz columna es una matriz que sólo tiene una columna y su orden es:
n  1.
Ejemplo
 2 
 
A =  3  es una matriz columna de orden 3  1.
  2
 
3.3. Matriz nula
Es una matriz cuyos elementos son todos nulos.
Ejemplo
 0 0 0
0 0 0
0 0, matriz nula de orden 1 2;  0 0 0 , matriz nula de orden 3  3; 
, matriz nula de orden 2  3.
 0 0 0
 0 0 0


3.4. Matriz cuadrada
Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Es decir, si n = m.
Así, las matrices cuadradas son de este tipo:
 a11 a12 a13 


 a11 a12 
a11  orden 11 
 orden 2  2  a 21 a 22 a 23  orden 3  3
 a 21 a 22 
a

 31 a 32 a 33 
Cuando la matriz es cuadrada se acostumbra a decir que el orden es n; así, la matriz de orden 33
se dice que es la matriz cuadrada de orden 3.
Ejemplo
3 
1  2
1  orden 2  2,
orden 1  1, 
5


2 
3 3 0 


 2  5  2  orden 3  3.
 1
3
1 

Si el número de filas es distinto del número de columnas se dice que es rectangular.
En una matriz cuadrada de orden n se llama diagonal principal a la diagonal de la matriz formada
por los elementos a11, a22, a33,... ann.
Así:
a
a
a13 
 11 12

 a 21 a 22 a 23 
a

 31 a 32 a 33 
Diagonal Principal Diagonal Principal
 a11 a12 


 a 21 a 22 
A los elementos situados en la diagonal que une el vértice superior derecho con el vértice inferior
izquierdo se llama diagonal secundaria.
3.5. Matriz triangular
Existen dos tipos de matrices triangulares:
a. Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si todos los elementos situados por
debajo de la diagonal principal son nulos.
b. Una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior si todos los elementos situados por
encima de la diagonal principal son nulos.
Ejemplo
 1 2  5


1 4


 0 1 3 
0 3
0 0
4 



 1 0 0 


1 0


 2 1 0 
3 3
  6 0 4
 

T riangular superior
T riangular inferior
3.6. Matriz diagonal
Una matriz cuadrada A se dice que es una matriz diagonal si todos los elementos que no
pertenecen a la diagonal principal son nulos.
Ejemplo
0 0 0


1 0

 y  0  1 0 
 0 3
 0 0 4


Como puedes observar, la matriz diagonal es una matriz que es a la vez triangular superior e
inferior.
3.7. Matriz Identidad
Una matriz cuadrada A se dice que es una matriz identidad, y se denota como I n siendo n el orden
de la matriz, si es una matriz diagonal y todos los elementos de la diagonal principal son la unidad.
Ejemplo
 1 0
I= 
 Matriz identidadde orden 2 ;
0 1
1 0 0


I =  0 1 0
0 0 1


Matriz identidad de orden 3
 Ejercicio: Escribe la matriz identidad de orden 1.
3.8. Matriz simétrica
Una matriz cuadrada de orden n se dice que es simétrica si los elementos que ocupan lugares
simétricos respecto de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo
Las matrices A y B son simétricas, en cambio C, no lo es:
1 3 

A  
 3  5
  3 2 4


B   2 13 3 
 4 3 8


 1 3 3


C   3 1 2
 2 2 4


3.9. Matriz transpuesta de una matriz
Dada una matriz A, de orden nm, se llama matriz transpuesta de A, y se representa At, a la matriz
que resulta al cambiar sus filas por columnas.
Ejemplo
2 3 


Sea la matriz A =  1  1 , su transpuesta es At =
0 5 


 2 1 0


 3 1 5
 2 3  5 7

Si B = 
 1 2 0 3
 2

 3
es una matriz, su transpuesta es Bt = 
5

 7

1

2
0

3 
Como puedes observar si una matriz A es de orden n  m, su matriz transpuesta At es de orden
m  n.
Si una matriz A es simétrica, entonces se verifica que At = A.
simétrica siguiente:
 2 3 2
2



t
A   3  1 1  , su transpuesta es A   3
2
2 1 7



Por ejemplo, dada la matriz
2

1 1 
1 7 
3
 Ejercicios
 Halla la matriz transpuesta de cada una de las siguientes matrices:
3  2 3 


 1 3 3 
 1 2 7 


1 2 
 2


3 13
 2 0  4 


2

5


 0

0

12
0
4
2




3 4 2 


t
 Si la matriz A es de orden j  h, ¿cuál es el orden de la matriz A ?
 
t
 Dada una matriz A, halla la matriz A t .
3.10. Matrices transpuestas
Dos matrices A y B se dicen que son transpuestas, si verifican que At = B, o bien, A = Bt.
Ejemplo
 2 1
 y B =
Las matrices A = 
 4 0
 2 4

 son transpuestas.
1 0
4. OPERACIONES CON MATRICES
4.1. Suma de matrices
Dadas dos matrices A y B del mismo orden, n  m, la suma de A y B, A + B, es otra matriz de
orden n  m que se obtiene sumando los elementos de cada una de ellas que ocupan el mismo lugar:
Si A = (aij) y B = (bij), se define la suma así: A + B = (aij + bij)
Ejemplo
 2 1
 y B =
Dadas las matrices A  
  1 3
 0 3

 , la suma de las dos matrices es:
 1 5
1 3   2 4
 20
  

A + B = 
  1  (1) 3  5    2 8 
Ten en cuenta que no se pueden sumar matrices que tengan distinto orden.
 Ejercicio
Sean A, B y C tres matrices definidas de la siguiente forma:
 21 12
 ,
A  
  15 34
12 42  15 
 ,
B = 
 3 17  23
  10 15 23
 ,
C = 
 11 7 13
  1 34 

D = 
  5  56
Halla estas sumas: A + B, B + C, A + C, C + B, A + D, D + A, B + (A + D) y (B + C) + A.
4.2. Matriz opuesta de una matriz
Sea A una matriz de orden n  m, llamamos matriz opuesta de A, y se representa como – A, a la
matriz de orden n  m que se obtiene al cambiar de signo todos los elementos de la matriz A.
Si A = (aij), se define su opuesta – A = (– aij).
Ejemplo
 2 2 


1  , su opuesta es: – A =
Dada la matriz A =  3
 6  7


 2  2


  3 1  .
 6
7 

Dos matrices A y B decimos que son opuestas si B = – A.
4.3. Resta de matrices
Dadas dos matrices A y B, se define la resta de A menos B de la siguiente forma:
A – B = A + (–B)
4.4. Propiedades de la operación suma
Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.
En efecto, dadas las matrices A y B, siempre se verifica que A + B = B + A.
Asociativa: Cuando se realiza la suma de más de dos matrices, se pueden agrupar de dos en dos y
sumarlas, y el orden en que se haga este agrupamiento no interviene.
En efecto:
A + B + C = A + (B + C) = (A + B) + C.
Elemento neutro: Dada una matriz A cualquiera, existe una matriz E que verifica que A + E = A.
Esta matriz es la matriz nula.
Elemento opuesto: Toda matriz tiene un elementos opuesto que verifica: A + (– A) = E.
4.5. Producto de un número real por una matriz
Sea A una matriz de orden n  m y sea k un número real (k  R), se define k · A como una matriz
de orden n  m que se obtiene al multiplicar cada uno de los elementos de A por el número k.
Si A = (aij), entonces k · A = (k · aij). Es decir:
 a11

 a 21
A   a 31

 ...
a
 n1
a12
a13
a 22
a 32
a 23
a 33
...
...
a n2
a n3
... a1m 

... a 2 m 
... a 3m  

... ... 
... a nm 
 ka11

 ka 21
k  A   ka31

 ...
 ka
 n1
ka12
ka13
ka 22
ka32
ka 23
ka33
...
...
ka n 2
ka n 3
... ka1m 

... ka 2 m 
... ka3m 

... ... 
... ka nm 
Ejemplo
 2 5 


1  , podemos multiplicar A por 3 o dividir A entre 2 y obtenemos:
Dada la matriz A =  3
 6  7


3  5    6 15 
 3  (2)

 

3 1    9
3 
3 · A =  33
 3  (6) 3  (7)    18  21

 

y
5 

 1

2 

A  3
1 

2  2
2 

7
3  
2

 Ejercicio
 2 1 0 


Dadas las matrices A =  0 3  2  y B =
 1 1 2 


 3 1 0


0  2 1 ,
 4 5 2


calcula: 2A - 3B + I, –A + B + 2I y A – 5B – 6I, siendo I la matriz identidad de orden 3.
4.6. Multiplicación de matrices
Sea A la matriz (aij) de orden n  m y B la matriz (bjk) de orden m  p, se define el producto A · B
como otra matriz C de orden n  p cuyos elementos se obtienen de la siguiente forma:
c ij  a i1
a i2
 b 1j 


 b 2j 
... a im   
 a i1  b 1j  a i2  b 2j  ...  a im  b mj , para todo 1 i  n, 1 j  p
... 


b 
 mj 
Vamos a realizar la multiplicación de dos matrices, una cuadrada de orden 3 y otra de orden 3  2,
para facilitar su comprensión:
 a b  a b  a b

 a11 a12 a13   b11 b12 
 11 11 12 21 13 31 a11  b12  a12  b22  a13  b32 


 a 21 a 22 a 23    b21 b22    a21  b11  a22  b21  a23  b31 a21  b12  a22  b22  a23  b32 
 a  b  a  b  a  b a  b  a  b  a  b 


 a 31 a 32 a 33   b31 b32 
 31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 
Es decir, el elemento c11 de la matriz producto es el resultado de las operaciones realizadas con la
1ª fila de la matriz A y la 2ª columna de la matriz B.
El elemento c12 de la matriz producto es el resultado de las operaciones realizadas con la 1ª fila de
la matriz A y la 2ª columna de la matriz B.
El elemento c21 de la matriz producto es el resultado de las operaciones realizadas con la 2ª fila de
la matriz A y la 1ª columna de la matriz B. Y así sucesivamente.
 Ejercicio
Indica qué filas y columnas hay que relacionar para obtener los siguientes elementos de la matriz
producto:
c13 :
c22:
c32:
Ejemplo
 3  1


 2  1 0  1
2  y la matriz B = 
 , vamos a calcular los posibles
Dadas la matriz A =  4
7 4 1 1 
 2 5 


productos que se pueden realizar con ellas.
En primer lugar hallamos el producto A · B. Como A es de orden 3  2, y B es de orden 2  4, este
producto sí se puede hallar y va a ser una matriz de orden 3  4. Veamos cómo:
 3  1
 3  2  (1)  7 3  (1)  (1)  4 3  0  (1) 1 3  (1)  (1) 1

  2  1 0  1 

2  · 
4  (1)  2  4
4  0  2 1
4  (1)  2 1 
 =  4  2  2  7
 4
  2 5   7 4 1 1    2  2  5  7  2  (1)  5  4  2  0  5 1  2  (1)  5 1 




 1  7 1  4


2  2  que es de orden 3  4.
Por tanto, A · B =  22 4
 31 22 5
7 

En cambio, no podemos hallar el producto B · A porque el orden de B es 2  4 y el orden de A es
3  2 y no coincide el número de columnas de la primera matriz con el número de filas de la segunda:
Dos matrices A y B sólo se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera es igual al
número de filas de la segunda.
El resultado de la multiplicación es una matriz que tiene tantas filas como la primera matriz y
tantas columnas como la segunda:
A
nm
·
B
mp
=
C
np
Observación: Ya hemos visto en el ejemplo anterior que hemos podido hallar el producto A · B, y que
no hemos podido hallar el producto B · A. Por tanto:
En general, la multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa. Es decir:
A·BB·A
 Ejercicio
Dadas las matrices:
 1  1
 ;
A = 
4 1 
 4 3 2
 y
B = 
 0 1 0
 3 2


C =  1 4 .
 1 5


Estudiar si se pueden hallar los siguientes productos y, en caso afirmativo, hallarlos: A · B; B · A;
A · C; C · A; A · (B · C); (A · B) · C; B · (C · A) y (B · C) · A.
4.7. Propiedades del producto de matrices
Ya sabemos que el producto de matrices no siempre se puede hallar y que no posee la propiedad
conmutativa, veamos ahora alguna de las propiedades que sí cumple:
Si tenemos matrices que se pueden multiplicar, por ejemplo si son cuadradas, cumplen estas
propiedades:
Asociativa: Cuando se realiza el producto de más de dos matrices, se pueden agrupar de dos en
dos y multiplicarlas, y el orden en que se haga este agrupamiento no interviene.
En efecto:
A · B · C = A · (B · C) = (A · B) · C.
Elemento neutro o unidad: Dada una matriz cuadrada A cualquiera, existe una matriz que
verifica que cualquier matriz multiplicada por ella es la propia matriz. Esta matriz es la matriz
identidad I cuyo orden sea el mismo de A.
Ejemplo
 2  3
 1 0
 de orden 2, el elemento neutro del producto es I  
 , ya que
Dada la matriz A  
  4  3
 0 1
 2  3  1 0   2  3
  
  
 . También se verifica que I · A = A.
se verifica que: A  I  
  4  3  0 1    4  3
Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: Para multiplicar una matriz por
una suma de dos matrices, primero se pueden sumar las dos matrices y el resultado se multiplica por la
tercera matriz; o bien, se multiplica la matriz por cada sumando y se realiza después la suma. Es decir,
A · (B + C) = A · B + A · C
Si leemos esta igualdad en sentido contrario: A · B + A · C = A · (B + C), decimos que se ha
extraído factor común.2
5. MATRIZ INVERTIBLE
Dada una matriz cuadrada A de orden n, se dice que es invertible 3; es decir, que tiene inversa, si
existe otra matriz cuadrada del mismo orden, llamada matriz inversa de A y que se escribe como A-1, si
se verifica que :
A · A-1 = A-1 · A = I, siendo I la matriz identidad de orden n.
De la definición se sigue que si una matriz no es cuadrada no tiene inversa y que hay matrices
cuadradas que no tienen inversa.
5.1. Cálculo de la matriz inversa de una matriz A
Veamos con un ejemplo cómo se puede calcular la
 4 1
 x y
 , buscamos una matriz A 1  
 tal que A
A  
 3 1
z t 
primer lugar:
 4 1  x y   4 x  z

  
  
 3 1  z t   3x  z
matriz inversa de una matriz dada. Sea
· A-1 = I. Realizamos la multiplicación en
4y  t 

3 y  t 
 4x  z 4 y  t   1 0 
  
 e igualando término a
Igualamos este producto a I y obtenemos: 
 3x  z 3 y  t   0 1 
término obtenemos estos dos sistemas de ecuaciones:
4x  z  1

3x  z  0 Resolviendo las dos primeras y las dos segundas obtenemos: x  1; z  3 . Por
y  1; t  4
4 y  t  0

3y  t  1
 1  1
 .
tanto, la matriz inversa de A es: A-1 = 

3
4


Comprobación
Para comprobar si esta matriz A-1 es la inversa de A, realizamos las siguientes multiplicaciones.
2
Observa: Para poder extraer factor común, dicho factor debe multiplicar a las matrices B y C por el mismo lado, en este caso
el factor común A multiplica a B y C por la izquierda.
3
También se dice que es regular.
 4 1  1  1  1
 · 
 = 
 A  A 1  
3
1

3
4

 
 0
 1  1  4 1  1
 · 
 = 
 A 1  A  

3
4
3
1

 
 0
0

1 
0

1 
Conclusión
Para hallar el producto de una matriz A por su inversa A-1, se puede hacer la multiplicación A · A1
o bien A-1 · A. Recuerda que el producto de matrices, en general, no es conmutativo.
5.2. Método de Gau para calcular matrices inversas
El método utilizado en el ejemplo anterior no es válido para matrices cuadradas de orden superior
a 2, ya que los sistemas de ecuaciones son muy complicados. Para calcular la matriz inversa de una
matriz A, se utiliza el Método de Gau.
En primer lugar se escribe la matriz que queremos invertir y la matriz identidad del mismo orden
 4 1
 ,
separadas por una línea vertical; por ejemplo, si queremos hallar la matriz inversa de A  
 3 1
 4 1 1 0
 y realizando las mismas transformaciones en las dos partes de esta matriz,
escribimos 
 3 1 0 1
una vez que en la parte izquierda aparezca la matriz identidad, la matriz que aparezca en la derecha es
la matriz A-1 buscada.
Las transformaciones que se pueden realizar son estas:
1. Se pueden multiplicar o dividir todos los elementos de una fila por un mismo número.
2. Cambiar entre sí dos filas.
3. Sustituir una fila por ella misma más, o menos, un número por otra fila.
Veamos cómo hallar A-1. Para ello denominamos F1 a la primera fila y F2 a la segunda. Así:
 4 1 1 0


 3 1 0 1

F1
 1 0 1  1


 F1  F2 
3 1 0 1 

F2  F2
 1 0 1  1


 3F1 
0 1  3 4 
 1  1
 . Puedes
Como en la parte izquierda ya está I2, la parte derecha es A-1. Por tanto: A-1 = 
3 4 
comprobar que hemos obtenido el mismo resultado que con el método anterior.
 Ejercicio
1 1 

Calcula A-1, siendo A = 
3 2
Ejemplo
1 1 0


Calcular la matriz inversa de la matriz A   1 1 1 
3 4 3


Solución
Escribimos la matriz en la forma de Gau:
1 1 0 1 0 0


1 1 1 0 1 0
3 4 3 0 0 1


 
F1  F1
F2  F2  3 F3
F3  F3
 
F1  F1
F2  F2  F1
F3  F3  3 F1
 1 1 0 1 0 0   

 F1  F1
 0 0 1 1 1 0 F  F
2
3
0 1 3  3 0 1

 F3  F2
0 0
1 1 0 1


0 1 0 0  3 1
 0 0 1 1 1 0


A
1
 
F1  F1  F2
F2  F2
F3  F3
1 1 0 1 0 0


0 1 3  3 0 1
 0 0 1 1 1 0


3  1
1 0 0 1


0 1 0 0  3 1 
 0 0 1 1 1
0 

3  1
1


  0 3 1 
 1 1
0 

5.3. Un caso especial del método de Gau
 1 3 4


Calcular la matriz inversa de la matriz A    2 1 0 
 7 7 12


Escribimos la matriz en la forma de Gau:
 1 3 4 1 0 0


  2 1 0 0 1 0
 7 7 12 0 0 1 


 
F1  F1
F2  F2  2 F1
F3  F3  7 F1
3
4
1 0 0
1


8
2 1 0
0 7
 0  14  16  7 0 1 


Observamos que la tercera fila es igual a la segunda multiplicada por –2; por tanto si sustituimos
la última fila por ella más dos veces la segunda obtenemos:
1 3 4 1 0 0


 0 7 8 2 1 0  y no se puede
0 0 0  3 2 1


 1 3

Esto quiere decir que la matriz A    2 1
 7 7

escribir la primera matriz en forma de matriz identidad.
4

0  no tiene inversa.
12
Si al realizar el método de Gauss, una fila es igual a otra fila multiplicada por un número
cualquiera, o bien todos sus elementos son ceros, entonces la matriz no tiene inversa.
 Ejercicio
1 0

a) Calcula A , siendo A = 1 2
1 2

 2

b) Calcula B-1, siendo B =  1
 3

0

0
4 
-1
3

3 2
2  1
1
6. ECUACIONES MATRICIALES
Una ecuación matricial es una igualdad de dos expresiones en las que aparecen matrices y una de
ellas es desconocida.
Ejemplo
 1  3
  1 10 
 y B  

Resolver la siguiente ecuación matricial: A · X = B, siendo A  
0 4 
 4  12
Solución
En primer lugar resolvemos la ecuación operando directamente con las letras que representa a las
matrices. Para ello, se deben tener en cuenta dos cosas:
a) Como no se ha definido la división de matrices, sólo se puede despejar X multiplicando los
dos miembros de la igualdad por A-1.
b) Como el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, se tiene que multiplicar
por A-1 por la izquierda.
A·X=B 
A-1 · A · X = A-1 · B 
I · X = A-1 · B 
X = A-1 · B
Para hallar X , sólo hay que calcular el producto A-1 · B. Primero hallamos A-1:
 1  3 1 0 
1  3 1 0

1


1
1
0
F2  F2  0
F
0
4
0
1


4
4 1

3


1 0 1

1
4  . Es decir, A 1  

1
 F1  3F2 
0
0 1 0


4



1
Ahora calculamos el producto: X = A-1 · B = 
 0

2 1 

La solución de la ecuación es X = 
 1  3

3

4  ·   1 10  =
1   4  12

4
3

4
1

4
2 1 


 1  3
 Ejercicio: Comprueba que la matriz X cumple la ecuación matricial A · X = B.
Ejemplo
1 1 0


Resolver la ecuación matricial X · A + X · B = I, siendo A =  1 0 0  y B =
0 1 2


Solución
0 2 2


0 2 1
0 2 0


Resolvemos la ecuación extrayendo el factor común: X · (A + B) = I 4. Hallamos C = A +
B:
1 1 0 0 2 2 1 3 2

 
 

C = 1 0 0 + 0 2 1=1 2 1
0 1 2 0 2 0 0 3 2

 
 

Por tanto la ecuación es: X · C = I. Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por C -1 por la
derecha: X · C · C-1 = I · C-1; es decir, X · I = C-1  X = C-1. Ya sólo hay que calcular la inversa de la
matriz C:
4
Observa que se puede extraer el factor común X porque este factor multiplica a A y B por la izquierda.
 
1 3 2 1 0 0


1 2 1 0 1 0
0 3 2 0 0 1


1 3 2 1 0 0


 0 1 1 1 1 0 
0 3 2 0 0 1


F1  F1
F2  F2  F1
F3  F3
 
F1  F1
F2  F2
F3  F3  3 F2
0
1 3 2 1 0


 0 1 1 1 1 0 
 0 0 1 3  3  1


 1 3 2 1 0 0   

 F1  F1
 0 1 1 1 1 0  F  F
2
0 3 2 0 0 1 2

 F3  F3
1
0 0   
1 3 2

 F1  F1
1 1 0
0 1 1
F2  F2
 0 0 1  3 3 1 

 F3   F3
   1 3 2
F1  F1
F2  F2  F3
2
1 3 0  5 6


1
0 1 0  2 2
 0 0 1 3  3  1


F3  F3
1
0
0


1
0 1 0  2 2
 0 0 1 3  3  1


   1 0 0
F1  F1  3F2
F2  F2
F3  F3
 
F1  F1  2 F3
F2  F2
F3  F3
1
0  1


1
0 1 0  2 2
 0 0 1 3  3  1


0  1
 1


1
La solución de la ecuación es: X =   2 2
 3  3  1


7. UTILIZACIÓN DE LAS MATRICES PARA REPRESENTAR INFORMACIÓN
Las matrices, y todas sus propiedades y operaciones, se utilizan con frecuencia para representar la
información que aparece en un estudio, para realizar cálculos con dicha información y para sacar las
conclusiones adecuadas. Por ejemplo, la información dada por estas noticias están presentadas en
forma de tablas, y, por tanto, se pueden expresar con facilidad en forma de matrices:
a)
b)
Ejemplo
Una factoría produce encendedores, rotuladores y llaveros, para cuya elaboración se precisan
materias primas como gas, tinta, plástico y metal. Dos compañías distribuidoras D1 y D2 se encargan
de proporcionar a los comercios estos productos. Sean:
1.000 650 400
 la matriz de pedido de los tres productos por parte de los dos
A = 
1.000 600 350
distribuidores según este orden.
10 0 40 10 


B =  0 20 60 0  la matriz que expresa la cantidad de cada una de las materias primas, en
 0 0 30 30


gramos, por unidad de cada producto, según el orden presentado.
 4
 
 2
C =   la matriz de los costes por gramo de cada material.
3
 
 4
 
¿Qué materias primas forman parte de los llaveros y en qué cantidades por unidad producida?
Halla, e interpreta, el significado de A · B; B · C y A · B · C.
Solución
Vamos expresar la información anterior en tablas: Nombramos los productos: encendedores E,
rotuladores R y llaveros, LL. Las materias primas: gas, G; tinta, T; plástico, P y metal M.
Matriz B
Matriz C
Productos
D1
D2
E
R LL
1.000 650 400
1.000 600 350
E
R
LL
G
10
0
0
T
0
20
0
P
40
60
30
Coste
M
10
0
30
Materias
Primas
Materias primas
Productos
Distribuidores
Matriz A
G
T
P
M
4
2
3
4
Para saber las materias primas y las cantidades de cada una de ellas que forman los llaveros sólo
necesitamos utilizar la matriz B. Así:
Los llaveros están formados por 30 g de plástico, y 30 g de metal.
Hallamos a continuación A · B:
10 0 40 10 
 10.000 13.000 91.000 22.000
1.000 650 400 
 ·  0 20 60 0  = 
 .
A · B = 
1.000 600 350  0 0 30 30 10.000 12.000 86.500 20.500


Distribuid
ores
Para saber lo que representa esta matriz la escribimos en forma de tabla. Las filas de la matriz
producto serán distribuidores y las columnas materias primas:
D1
D2
G
10.000
10.000
Materias primas
T
P
M
13.000 91.000 22.000
12.000 86.500 20.500
Esta matriz expresa los gramos de
cada una de las materias primas que
corresponde a cada distribuidor.
 4
10 0 40 10     200

  2 

B · C =  0 20 60 0  ·   =  220 . Sus filas son los productos (encendedores, rotuladores y
 0 0 30 30  3   210

  4 

 
llaveros), y su columna son los costes. Por tanto, la matriz expresa el coste de cada producto.
10.000 13.000 91.000 22.000
 ·
A · B · C = (A · B) · C = 
10.000 12.000 86.500 20.500
las compañías distribuidoras y su columna los costes. Por tanto, esta
cada compañía de distribución.
 4
 
 2   427.000
 3  =  405.000 . Sus filas son

  
 4
 
matriz expresa el coste total de