Matrices Definición :Concepto de matriz

Matrices
Las matrices son usadas en matemáticas discretas para expresar relaciones entre objetos.
Definición :Concepto de matriz Una matriz es un ordenación rectangular de números.
Una matriz con m filas y n columnas es llamada una matriz de tamaño m x n.
Ejemplo:
Es una matriz de tamaño 4 x 3 Se emplean los paréntesis cuadrados con el fin de
considerar la ordenación rectangular de números como una entidad.
Ahora introduciremos alguna terminología acerca de matrices.
En general una matriz A de tamaño m x n frecuentemente se escribe así:
La i–ésima fila de A es la matriz de tamaño 1 x n,
La j–ésima columna de A es la matriz de tamaño n x 1,
El elemento, o entrada
, de A es el número
, es decir, el número que se encuentra
localizado en la i–ésima fila y j–ésima columna de A,
Una notación abreviada para expresar la matriz A es escribir
, lo cual
indica que A es una matriz de tamaño m x n, y su elemento
y su elemento es igual
a
.
Ejemplo:
Consideremos la matriz
Sus filas son
Y sus columnas
Algunos de sus elementos son
Definición: Matriz cuadrada Una matriz A de tamaño n x n, es decir, cuando el
número de filas es igual al número de columnas, se denomina una matriz cuadrada de
orden n.
En una matriz cuadrada A de orden n los elementos
se denominan
elementos diagonales, y se dice que forman la diagonal principal de A.
Ejemplo:
La siguiente es una matriz cuadrada de orden 3
Sus elementos diagonales son:
Definición: Igualdad entre matrices.
Dos matrices
y
(del mismo tamaño) son iguales si todos
los elementos correspondientes son iguales, esto es, si
Ejemplo:
Hallar
si
Por la definición de igualdad entre matrices, tenemos:
Despejando
en las ecuaciones anteriores, tenemos:
Operaciones entre matrices
Definición: Suma de matrices Sean
B es la matriz
y
y . La suma de A y
definida por
Esto es, la suma de dos matrices del mismo tamaño es la matriz de ese mismo tamaño
obtenida al sumar los correspondientes elementos deA y B. La matrizCse denota por
A+B. Por lo tanto,
Ejemplo:
Sean
y
Entonces
Ejemplo:
La suma
No esta definida por que las matrices son de tamaño diferente.
Definición: Matriz cero. Una matriz en que todos sus elementos son cero se denomina
matriz cero (o matriz nula) y se denota por 0.
El tamaño de la matriz 0 será evidente dentro del contexto en el cual se use.
Ejemplo:
Las siguientes matrices son todas cero:
El siguiente teorema enuncia las propiedades básicas de la suma de matrices.
Teorema SeanA, B, yCmatrices de tamaño m x n. Entonces
Demostración:
Sean
Debemos demostrar que:
Para probar esta igualdad, por definición de igualdad entre matrices, tenemos que
mostrar que los elementos correspondientes de F y G son iguales.
Para esto demostramos las matrices por:
Veamos que
Teniendo en cuenta las notaciones anteriores y la definición de suma entre matrices
obtenemos:
Ejercicio: Demostrar las otras partes del teorema anterior.
Definición: Producto de matrices
Sea
y sea
El producto de A y B es la matriz
definida por
La matriz C se denota por AB.
En la siguiente figura, hemos resaltado la fila de A y la columna de B que son usadas
para calcular el elemento cij de AB.
Nótese que el producto de una matriz A con una matriz B solamente se define cuando el
número de columnas de A es igual al número de filas de B. Además el tamaño de la
matriz producto es:
Ejemplo:
Hallar el producto de
El producto está definido pues el número de columnas de A es igual al número de filas
de B. El producto AB, de tamaño 2 x 4 es de la forma:
Donde
La multiplicación de matrices no es conmutativa. Es decir, si A y B son matrices, no
necesariamente se cumple que AB y BA sean iguales. En realidad, puede pasar que
únicamente uno de estos dos productos este definidos. Por ejemplo, sí A es de tamaño 2
x 3 y B es de tamaño 3 x 4, mientras que BA no está definida, puesto que es imposible
multiplicar una matriz de 3 x 4 y una matriz de 2 x 3.
En general, supongamos que A es una matriz de m x n y B es una matriz de r x s.
Entonces AB está definida únicamente cuando n = r y BA está definida solamente
cuando s =m. Por otra parte, cuando AB y BA están definidas, ellas no son del mismo
tamaño a menos que m = n = r = s. Por consiguiente, si AB y BA están definidas,
entonces A y B tienen que ser cuadradas y del mismo tamaño. Además, puede pasar
que, A y B sean matrices de tamaño n x n, y AB no es necesariamente igual a BA, como
lo demuestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Sean
Entonces
Por lo tanto,
. Las propiedades básicas de la multiplicación de matrices se
enuncian en el siguiente teorema.
Teorema
En las operaciones indicadas hemos supuesto que A, B, y C son matrices de tamaño tal
que las operaciones se puedan efectuar.
Demostración:
b) Sean
Debemos demostrar que
Para probar esta igualdad, por definición de igualdad entre matrices, tenemos que
mostrar que los elementos correspondientes de G y H son iguales.
Para esto denotemos las matrices por:
Veamos que
Teniendo en cuenta las notaciones anteriores, las definiciones de suma y producto de
matrices, y las propiedades de la suma y el producto de números reales obtenemos:
Ejercicio: Demostrar las otras partes del teorema anterior.
Definición: Una matriz cuadrada de orden n que tiene todos los elementos diagonales
iguales a 1 y todos los demás componentes iguales a 0 se llama matriz identidad (o
idéntica) de orden n y se denota por
En otra palabras, si
entonces
por lo tanto,
Ejemplo:
Si el orden es evidente dentro del contexto, se escribe simplemente I .
Si A es una matriz de m x n es sencillo verificar que
Ejercicio: Sea A una matriz de m x n. Demostrar que
Definición: Potencia de una matriz Sea A una matriz de n x n. Definimos la n - enésima
potencia de A de la siguiente manera


Ejemplo:
Sea
Entonces
Se pueden probar las siguientes leyes de los exponentes.
Teorema:
Sean m y n enteros no negativos. Entonces


Obsérvese que la igualdad
embargo, si
no es cierta para matrices cuadradas. Sin
, entonces
.
Definición: Producto por escalar Sea
por escalar es la matriz
y c un número real. El producto
definida por
Esto es, la matriz producto por escalar se obtiene al multiplicar cada elemento de A por
c. La matriz B se denota por
. Por lo tanto
Ejemplo:
Utilizando la definición de producto por escalar, podemos definir la diferencia de
matrices.
Definición: Diferencia de matrices Sean
diferencia
por
y
. Se define la
Ejemplo:
Ejemplo:
El siguiente teorema resume las propiedades básicas del producto por escalar.
Teorema Si c y d son números reales y A y B son matrices, entonces
Demostración:
b) Sean
Debemos demostrar que
Para probar esta igualdad, por definición de igualdad entre matrices, tenemos que
mostrar que los elementos correspondientes de D y G son iguales.
Para esto denotemos los elementos de las matrices por:
Veamos que
Teniendo en cuenta las notaciones anteriores, la definición de suma y producto por
escalar entre matrices, y la ley distributiva del producto sobre la suma para números
reales obtenemos:
Ejercicio: Demostrar las otras partes del teorema anterior.
Definición: Transpuesta de una matriz. Sea
La transpuesta de A es la matriz B
.
definida por
Esto es, la transpuesta de A se obtiene intercambiando las filas y columnas de A. La
matriz B se denota por
. Por lo tanto
Ejemplo:
Sea
Entonces
El siguiente teorema resume las propiedades básicas de la transpuesta.
Teorema Si c es un número real y A y B son matrices, entonces
Demostración:
c) Sean
Debemos demostrar que
Para probar esta igualdad, por definición de igualdad entre matrices, tenemos que
mostrar que los elementos correspondientes de D y G son iguales.
Para esto denotemos las matrices por:
Veamos que
Teniendo en cuenta las notaciones anteriores, las definiciones de producto de matrices y
transpuesta de una matriz, y la ley conmutativa del producto de números reales
obtenemos:
Ejercicio: Demostrar las otras partes del teorema anterior.
Definición:Matriz simétrica. Una matriz cuadrada A se denomina simétrica si.
Por lo tanto
es simétrica
Obsérvese que una matriz es simétrica si y solamente si es cuadrada y es simétrica con
respecto a su diagonal principal
Ejemplo:
Sean
Entonces A es simétrica y B no es simétrica.