MATEMATICA_A.URREA_GUIA_1-3_MEDIO

Colegio Alberto Blest Gana
“Jóvenes emprendedores para el siglo XXI”
Coordinación Académica
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SUBSECTOR DE APRENDIZAJE: Matemática
NOMBRE: Raíces, Potencias y Ecuaciones
NIVEL: 3º Medio
PROFESOR(A)/ES: Alejandra Urrea
OBJETIVOS GUIA Y/O MODULO DE APRENDIZAJE:

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
Aplicar propiedades de las raíces.
Resolver operatoria con raíces
Racionalizar tres casos.
Resolver ecuaciones irracionales y sistemas de ecuaciones irracionales.
Resolver problemas de álgebra y geometría con raíces.
Aplicar concepto de potencia.
Aplicar propiedades de potencias.
Aplicar notación científica en resolución de problemas.
Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales.
Resolver raíces y su discriminante.
Resolver ecuaciones literales, exponenciales, irracionales y bicuadráticas.
Resolver problemas de ecuaciones de 2º grado.
Aplicar propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática.
CONCEPTO DE RAÍZ
Muchos de quienes tratan esta materia hablan de raíz o de radical, usados como sinónimos. Mientras esto no afecte la
comprensión del concepto no hay problema.
En estricto rigor, raíz es una cantidad que se multiplica por sí misma una o más veces para presentarse como un número
determinado.
Para encontrar esa cantidad que se multiplica se recurre a la operación de extraer la raíz a partir del número determinado y se
ejecuta utilizando el símbolo √, que se llama radical. Por ello es que se habla de operaciones con radicales al referirse a
operaciones para trabajar con raíces.
Encontrar o extraer la raíz es realizar la operación contraria o inversa de la potenciación, así como la suma es la operación
inversa de la resta y viceversa, y la multiplicación es la operación contraria de la división y viceversa.
Para graficarlo de algún modo:
Potencia
Raíz
Los nombres de las partes que constituyen cada operación matemática son:
X: Base de la potencia
X: Valor de la raíz
n: Exponente de la potencia
n: Índice de raíz
a: Valor de la potencia
a: Cantidad subradical (o radicando)
La raíz consiste en encontrar la base de la potencia conociendo el exponente (que en la raíz se llama índice) y la cantidad
subradical.
Ejemplo:
Cuando el índice de la raíz es 2 (raíz cuadrada), no se acostumbra por convención a colocarlo, se subentiende que es 2.
Para encontrar el valor de una raíz cuadrada se debe hacer la siguiente pregunta:
¿Qué número elevado a 2 (al cuadrado) da como resultado 64?
La respuesta es 8, porque 82 = 64
¿Qué número elevado a 2 da como resultado 100?
La respuesta es 10, porque 102 = 100
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En general, para encontrar el valor de una raíz se debe hacer la siguiente pregunta:
¿Qué número elevado al índice de la raíz da como resultado la cantidad subradical (o radicando)?
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de
potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces:
1) Multiplicación de raíces de igual índice:
Se multiplican las bases y se conserva el índice.
2) División de raíces de igual índice:
Se dividen las bases y se conserva el índice.
3) Raíz de raíz:
Para obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la base.
4) Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice:
Exponente e índice se anulan entre sí, por lo tanto desaparece el radical y la base queda aislada.
5) Propiedad de amplificación:
Tanto el índice como el exponente de la potencia pueden amplificarse por un mismo valor.
6) Ingreso de un factor dentro de una raíz:
(con la restricción que a>0 si n es par)
Para introducir un factor dentro de una raíz se coloca el factor dentro del radical como potencia con exponente igual al índice y
multiplicando a los demás factores.
Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces estén definidas en los números
reales.
OPERACIONES CON RADICALES
Las raíces que se encuentran dentro del signo radical pueden realizar operaciones entre sí.
Pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse si cumplen con determinadas condiciones o reglas.
Suma y resta de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes; es decir, si son radicales con el mismo
índice e igual radicando (o base subradical).
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Producto o multiplicación de radicales
Multiplicar radicales del mismo índice
Se multiplican los radicando (las bases) y se conserva el índice
Multiplicar radicales de distinto índice:
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente o división de radicales
Dividir radicales del mismo índice
Se dividen los radicando (las bases) y se conserva el índice
Dividir radicales de distinto índice:
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Raíz de un radical
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
Ejemplo:
Racionalizar
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo cual facilita el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos, para eliminar los radicales del denominador.
a)
.b)
Se multiplican el numerador y el denominador por
Se multiplican el numerador y el denominador por
.
c)
y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical, se multiplican el numerador y denominador por el
conjugado del denominador. El conjugado es la misma expresión pero con signo contrario.
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Ejercicios
I. Resuelva las siguientes situaciones
1)
El área total de un cubo mide 96cm2.determina su arista,su diagonal y su volumen
2)
La medida de la diagonal de un cuadrado es 10 cm calcula el área del cuadrado
3)
Si la altura de un triángulo equilátero mide 2
II. Realiza el desarrollo respectivo a la temática.
24  3 5  6
1)
a)
3
6
1
=
25
2
2
b)
c) 2
d) 4
e) N.A
2) ( 4 
a)
b)
c)
d)
e)
3)
2
5 ) (4+ 5 )=
11
12
-2
16
15

2  5 2=
a) 5 -6
10
b) 4 +6 10
c) 7 +6 10
d) 13 - 4 10
e) 5 -2 10
4) la suma de
70
+49
1
2
es igual a:
a) 6
b) 5
c) 8
d) 3
e) 3
5) la expresión
d c  c d es equivalente a:
I cd ( c d )
II d ( cd  c)
III c ( dc  c)
De estas afirmaciones ¿Cuál o cuáles son correctas?
a) solo I
b) solo II
c) I y II
d) II y III
e) todas
2cm ¿Cuánto mide su altura?
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8
6)
=
2 2
3
3
3
b)
2
2 3
c)
3
d) 2 2
e) 2
a)
4
7)
4 2
a)
2+
b)
2-
c)
2-
=
2
2
5
2
2
4 1
2
+
3 3
d)
e)
N.A
8) El valor de
1
1 3

1
1 3
es igual a :
a) 2 +
3
b) 5- 3
c) 4
d) -
3
e) 4 - 3
9) Si x =3; y= -2 ; z= -4 ,Entonces el valor de
a) -5
b) 3 16
c) 9
d) -9
e)
3
7
10) El valor de
a) 3
b) 9
c) 2i
d) 3
e) 1
3
5
24
2  4 es:
3
2x  3 y  z será:
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2 3
11) Al racionalizar
2 3
se obtiene:
11 4 6
5
b) 2 6  5
11
c)
5
4 6
D)
5
a)
e) N.A
12) La suma de
3
0,125  2 0,25 es:
1
2
a)
b) 2
5
2
3
d)
2
3
e)
2
c)
13)
5
129 ·5 12
a) 200
b) 50
c) 144
d) -144
e) -300
14) Al reducir
a)
120
b)
11
c)
120
24
d)
80
2 61
e)
11
212
2. 24 25 2 se obtiene:
2
2
POTENCIAS
Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.
Exponente
3.3.3.3=
34
Se puede leer:
tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta
Base
El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto
significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como
resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).
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Ejemplos:
2 5 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.
32=3•3= 9
El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.
5 4 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625
El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.
Una potencia puede representarse en forma general como:
an = a • a • a • ........
Donde:
a = base
n = exponente
“ n” factores iguales
Finalmente, recuerda que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.
Potencia de base entera y exponente natural
Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a
Z ) (léase a pertenece a zeta) significa que puede tomar
valores positivos y negativos. Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar
valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).
Potencia de base entera positiva:
Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es
decir, de que sea par o impar.
(+a) n = +a n
Ejemplos:
(+4) 3 = 43 = 4 • 4 • 4 = 64 =
+
64
Exponente impar
(+3) 4 = 34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81 = +81
Exponente par
Potencia de base entera negativa:
Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.
a) Si el exponente es par, la potencia es positiva.
(_ a) n (par) =
+a n
Ejemplos:
(_5) 2 = _5 • _5 = +25 = 25
_
·_ = +
(_2) 8 = _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 = +256 = 256
b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.
(_a) n (impar) = _a n
Ejemplos:
(_2) 3 = _2 • _2 • _2 = _8
(_3) 3 = _3 • _3 • _3 = _27
En resumen:
Base
Exponente
Potencia
Positiva
Par
Positiva
Positiva
Impar
Positiva
Negativa
Par
Positiva
Negativa
Impar
Negativa
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Multiplicación de potencias de igual base
Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.
Ejemplos:
1)
2)
3)
División de potencias de igual base
Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.
Ejemplos:
1)
2)
3)
Multiplicación de potencias de igual exponente
Se multiplican las bases y se conserva el exponente.
Ejemplo:
División de potencias de igual exponente
Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo:
Potencia elevada a potencia
Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.
Ejemplos:
1)
2)
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Potencia de base racional y exponente entero
Sea la base (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales (
Q ), donde a es el numerador y b el
denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n
Z). Para elevar una fracción a potencia se
elevan por separado numerador y denominador.
Ejemplos:
1)
2)
3)
Potencia de exponente negativo
Si
es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,
Si el exponente es negativo el
numerador se invierte con el
denominador, y el exponente cambia
de signo.
Ejemplos:
1)
2)
3)
Ecuaciones exponenciales
Ecuación exponencial
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:
1
2
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Ejemplos de ecuaciones exponenciales:
Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la
incógnita bajo el signo radical.
Resolución de ecuaciones irracionales
1 º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también
radicales.
2 º Se elevan al cuadrado los dos miembros.
3º Se resuelve la ecuación obtenida.
4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en
cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones
que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los
miembros de la ecuación.
5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta
eliminarlos todos.
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1º Aislamos el radical:
2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:
3ºResolvemos la ecuación:
4ºComprobamos:
La ecuación tiene por solución x = 2 .
La ecuación tiene por solución x = 4 .
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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las
que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también
ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.
Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10 = 0
a = 9, b = 6, c = 10
3x2 – 9x + 0 = 0
a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2
a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
+ 0x + 10 = 0
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse
cualquiera de los siguientes métodos:
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el
polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto
es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
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Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x+4=0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2 + 5x − 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 − 12 = − 5x
En todos los casos la solución por factorización es la misma:
2) Halle las soluciones de
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:
Ahora, si
x=0
o si
x− 4 = 0
x=4
Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:
Soluciones:
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Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la
ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 + bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2 + 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8
dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término
corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x+4=8
Entonces
x=8−4
x=4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que
es el cuadrado perfecto de un binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x2 + 6x − 16 = 0
Hacemos
x2 + 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la forma (ax + b)2
(cuadrado de la suma de un binomio).
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Para
encontrar
el
término
que
falta
hacemos
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo término y el
resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:
x2 + 6x = 16
x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x + 9 = 25
factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
(x + 3)2 = 25
La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2, y así la ecuación se resuelve
con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada
, y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
(pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5
Entonces
x=5−3
x=2
Y
x=−5−3
x=−8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.
Otro ejemplo para analizar y estudiar:
Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0
Veamos: Con los términos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3)2 , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo
tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a la derecha de la igualdad:
x2 – 6x = − 8
y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio:
¿Cómo encontramos el término que falta?, haciendo
x2 – 6x = −8
/+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuación)
x2 − 6x + 9 = − 8 + 9
(x – 3)2 = 1
Extraemos las raíces cuadradas
y queda
x – 3 = 1 y x − 3 = −1
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Si
x–3=1
x=1+3
x=4
Si
x – 3 = −1
x = −1 + 3
x=2
Por lo tanto x1 = 4 y x2 = 2
Debemos hacer notar que el método de completar cuadrados terminará en lo mismo que la fórmula general, porque es de este
método de donde sale dicha fórmula, usada en el método que vemos a continuación.
Ver: PSU: Matematica; Pregunta 028_2010
Solución por la fórmula general
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una
ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea
completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Ejemplo:
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2,
b=3 y
c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :
y también
Así es que las soluciones son
.
Aquí debemos anotar algo muy importante:
En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión
existirá cuando el radicando (b2 − 4ac) sea positivo o cero.
. Esa raíz cuadrada sólo
El radicando b2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces)
depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.
Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee:
Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.
Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución.
Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución.
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En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones.
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a − b la
raíz y lo dividimos por 2a.
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma
ax2 + bx + c = 0, donde a, y b son los coeficientes de los términos x2 y x, respectivamente y c es el término independiente.
Ecuación de segundo grado completa
Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero.
Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0.
Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero.
(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)
La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:
ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.
ax2 + bx = 0; si c = 0.
ax2 + c = 0; si b = 0.
Algunos ejemplos, con soluciones
1) Resolver: − 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición
tenemos: a = − 5; b = 13; c = 6.
Se aplica la fórmula:
Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:
Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −.
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:
Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir
para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.
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Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.
Probando con
, se tiene
Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y
son las raíces de − 5x2 + 13x + 6 = 0
2.- Resolver: 6x − x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:
− x2 + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:
a = −1 ; b = 6 ; c = −9 ; y se aplica la fórmula:
El discriminante (Δ) es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3.
Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la
respuesta.
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como una ecuación de segundo grado.
Para hacerlo, hay que entender la lógica del problema, identificando como x a una de las variables que el problema establece;
luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuación.
Hay que destacar que sólo la experiencia mejora los resultados. Para practicar, los interesados pueden consultar el "Algebra" de
Aurelio Baldor, que, para muchos, es la biblia del álgebra.
Problema 1
La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números.
Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el
problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:
x = Primer número
Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:
10 − x = Segundo número
Para entenderlo mejor:
Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos
400, es decir 1.000 − 400 = $ 600. Si su amigo tiene $ x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es
decir, usted tiene 1.000 − x .
La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces:
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuación a resolver
Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la fórmula conocida.
Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común que los estudiantes
escriban: (a − b)2 = a2 − b2, lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a − b)2 = a2 − 2•a•b + b2
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“Jóvenes emprendedores para el siglo XXI”
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Desarrollando la ecuación se tiene: x2 + 102 − 2•10•x + x2 = 58 = x2 + 100 − 20•x + x2 = 58
Ordenando y agrupando: 2x2 − 20•x+ 42 = 0;
Dividiendo entre 2 toda la ecuación:
x2 − 10x + 21 = 0
Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3.
Veamos, si tenemos
a = 1,
b = −10
c = 21
Los números buscados son 7 y 3.
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se
duplica. Halle el área original de la sala.
Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.
Supongamos que:
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que:
x + 3 = largo de la sala.
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:
x • (x + 3 ) = área de la sala.
Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del
aumento quedan:
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) • (x + 5) = nueva área de la sala
Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:
(x + 3 ) • (x + 5) = 2 • x • (x + 3)
Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 − 2x2 − 6x = 0
Se simplifica: − x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver.
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Se aplica la fórmula conocida y resulta: x1 = 5 y x2 = −3.
La solución x = −3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el
ancho original (x) era 5 metros.
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros, el área original era 8m • 5m = 40 m2.
Problema 3
Halle
el
área
y
perímetro
del
triángulorectángulo
mostrado.
Las
dimensiones
están
en
metros
Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos" (c2 = a2 + b2). La hipotenusa es el lado mayor (2x − 5) y los otros dos son los catetos, se plantea
entonces la ecuación:
(x + 3)2 + (x − 4)2 = (2x − 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:
x2 + 2 • 3 • x + 32 + x2 − 2 • 4 • x + 42 = (2x)2 − 2 • (2x) • 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 = 4x2 − 20x + 25
Reagrupando:
x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 − 4x2 + 20x − 25 = 0
Finalmente:
−2x2 + 18x = 0
Es la ecuación a resolver
Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9.
La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería −4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De
esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.
El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área
es
El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.
Nota final:
Cada método de solución es aplicable según sea la naturaleza de la ecuación cuadrática, pero siempre es posible aplicar el
método de completación de cuadrado de binomio y el de la aplicación de la fórmula de las soluciones generales de una ecuación
cuadrática.