Examen de Física II para licenciaturas de Física, Matemática y

Examen de Física II para licenciaturas de Física, Matemática y
Astronomía. Agosto de 2010
Ejercicio 1
a) Considere un anillo uniformemente cargado de radio R y
carga Q. Determinar el potencial eléctrico que crea dicho
anillo a una distancia x del centro del mismo. Considere que el
potencial en el infinito es nulo. Discuta el resultado obtenido
para x=0 y x>>R.
En los puntos x= L y x=+L se sitúan dos anillos como los
anteriores (uniformemente cargados con carga Q) con un radio
R=L, de modo que cada anillo está centrado sobre el eje x y
localizados en planos perpendiculares al mismo. Considere una
partícula de masa m y carga positiva q que está restringida a
moverse a lo largo del eje x, como se muestra en la figura.
b) Determinar el potencial eléctrico entre los anillos en función
de x, para –L < x < L.
c) Demostrar que en esa región el potencial tiene un extremo relativo para x=0. Determine qué tipo de extremo es
(mínimo ó máximo) y evalúelo.
d) Determine el valor del potencial V(x) para x<<L, en función de V(0). Sugerencia utilice el desarrollo de Taylor.
e) Deducir una expresión para la frecuencia angular de oscilación de la masa m si se desplaza ligeramente del
origen y se deja libre.
Ejercicio 2
Los electrones de un haz cilíndrico de radio a, se mueven con velocidad, v, constante y dirigida a lo largo del
eje, de forma que se mantiene una distribución uniforme de n electrones por m3. Siendo a =1,00 mm,
v = 2,00×107 m/s y n = 5,00×1010 electrones·m-3, determinar:
a) La densidad espacial de carga , la densidad de corriente eléctrica j y la intensidad i de la corriente.
b) El campo eléctrico en la superficie del haz.
c) El campo magnético en la superficie del haz.
d) Las fuerzas de origen eléctrico y magnético que actúan sobre un electrón situado en la superficie del
haz, y el cociente entre ambas.
Ejercicio 3
Para alturas pequeñas, el campo magnético terrestre puede
aproximarse según la siguiente expresión:
B( z)  B0 1  z  ˆi de acuerdo a las coordenadas que se
muestran en la figura. Se deja caer una espira cuadrada de
masa m, lado a y resistencia R, desde una altura h con
velocidad inicial nula.
a) Determine el flujo del campo magnético terrestre para el
instante que se muestra en la figura.
b) Calcule la corriente inducida en la espira, despreciando los
efectos de autoinducción.
c) Calcule la fuerza magnética sobre la espira.
d) Deduzca la ecuación de movimiento de la espira, expresándola en función de la velocidad de la espira.
e) Pruebe que la velocidad terminal del movimiento vale v  
mgR
( B 0 a 2 ) 2
Examen de Física II para licenciaturas de Física, Matemática y
Astronomía. Agosto de 2010
Ejercicio 1
a) Considere un anillo uniformemente cargado de radio R y
carga Q. Determinar el potencial eléctrico que crea dicho
anillo a una distancia x del centro del mismo. Considere que el
potencial en el infinito es nulo. Discuta el resultado obtenido
para x=0 y x>>R.
En los puntos x= L y x=+L se sitúan dos anillos como los
anteriores (uniformemente cargados con carga Q) con un radio
R=L, de modo que cada anillo está centrado sobre el eje x y
localizados en planos perpendiculares al mismo. Considere una
partícula de masa m y carga positiva q que está restringida a
moverse a lo largo del eje x, como se muestra en la figura.
b) Determinar el potencial eléctrico entre los anillos en función
de x, para –L < x < L.
c) Demostrar que en esa región el potencial tiene un extremo relativo para x=0. Determine qué tipo de extremo es
(mínimo ó máximo) y evalúelo.
d) Determine el valor del potencial V(x) para x<<L, en función de V(0). Sugerencia utilice el desarrollo de Taylor.
e) Deducir una expresión para la frecuencia angular de oscilación de la masa m si se desplaza ligeramente del
origen y se deja libre.
a) Potencial del anillo: Sea k 
Q
V

0
kdq k

r
r
Q
 dq 
0
kQ
V ( x  0) 
0 R
kQ

r

2
V ( x  )  limx 
1
4 0
kQ
x  R2
2
kQ
R
kQ
x R
2
2
 limx 
kQ
 0 (como el de una
x
carga puntual)
b) Potencial total es la superposición del potencial que crea el anillo izquierdo con el del anillo
kQ
kQ
kQ
kQ
derecho: V ( x)  V I ( x)  V D ( x) 

V ( x) 

2
2
2
2
2
2
x  L   L
x  L   L
x  L   L
x  L2  L2
c)

dV d 

dx dx 

kQ
x  L2  L2

kQ
 x  L 2

2x  L 

= kQ

 L2 
2 x  L 2  L2


3
2
 kQ
2x  L 

2 x  L 2  L2








0  L 
x  L
x  L
dV
dV
 kQ

( x  0)  kQ
 
3
3
dx
dx



2
2
2
2
x  L 2  L2 2 
 x  L   L 2
 0  L   L


 L
dV
L 
( x  0)  kQ

  0 (hay un extremo relativo)
3
3
dx

2 2
2 2 
2L
 2L


 
   




3
2
0  L 
 0  L
3
2
2
 L2

3
2










x  L
x  L
d 
 kQ 


2
3
3
dx 
dx
2
2
2 2
2 2 
x  L   L 
 x  L   L
3

 x  L 2  L2 2  x  L  3 x  L 2  L2
2
d V

2
 kQ
2
3
2
dx
x  L   L2



d 2V

 





d 2V
dx 2

  3x  L 2
 kQ

2
2
 x  L   L

1
2
 3x  L 2

2
 L2

1

 x  L
5
2
x  L
2( x  L)

 x  L
5
2

2
 L2
2
 L2
3
2
 x  L 
x  L
1

 x  L
3
2

2
 L2

3
2

3
x  L 2  L2
2
2
 L2

3

1
2

2( x  L) 














3x  L 2
3x  L 2
1
1

kQ





5
5
3
3
dx 2

2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 
x  L   L
x  L   L
x  L   L 
 x  L   L


30  L 2
30  L 2
d 2V
1
1
(
x

0
)

kQ




2
5
5
3
dx

2
2
0  L 2  L2 2 0  L 2  L2 2 0  L 2  L2
 0  L   L 2
d 2V

 

 
 
 
 

 3L2
3L2
1
( x  0)  kQ


2
5
5
dx

2
2 L2 2
2 L2
 2L 2
d 2V
      2L 
d 2V
dx
2
( x  0) 
V (0) 
3
2
 



 6 L2
2

  kQ
5


2
2 L2

 2L 2
1

   
3
2 2
0  L2  L2

kQ
0  L2  L2
kQ


2L2
kQ

dV (0)
1 d 2V (0) 2
x
x 
dx
2 dx 2
2kQ
kQ

x2
L
4 2 L3
elástica k ' 
kQ
2 2 L3
2kQ
2L2
d) Usando el desarrollo de Taylor: V ( x)  V (0) 
V ( x) 
3
2





=

3
2






kQ  6
2
 3
3 
5
L  2
 2 2 2






2kQ  3
2kQ  1 
kQ

>0 por lo tanto hay un mínimo
 1 
 
3
3
3
2 2 L3  2  2 2 L3  2  2 2 L
kQ
V ( x)  V (0) 

2L

2kQ
L
dV (0)
1 d 2V (0) 2
x
x  ...
dx
2 dx 2
2 kQ
1 kQ
0
x2
L
2 2 2 L3
por lo que describirá un M.A.S., similar a la de un resorte de constante
k’
e) Análogamente a un resorte:  
k'

m
kQ
2 2 mL3
Ejercicio 2
Los electrones de un haz cilíndrico de radio a, se mueven con velocidad, v, constante y dirigida a lo largo del
eje, de forma que se mantiene una distribución uniforme de n electrones por m3. Siendo a =1 mm,
v=2·107 m/sg y n=5·1010 electrones·m-3, determinar:
a) La densidad espacial de carga , la densidad de corriente eléctrica j y la intensidad i de la corriente.
b) El campo eléctrico en la superficie del haz.
c) El campo magnético en la superficie del haz.
d) Las fuerzas de origen eléctrico y magnético que actúan sobre un electrón situado en la superficie del
haz, y el cociente entre ambas.


a)   ne  (5,001010 ) 1,6021019  8,01109



 1,60  10  1,00 10 
C /m3
j  v  8,01109 2,00107  1,60101 A /m2
i  jA  j r 2
3 2
1
 5,03 10 7 A
b) Teorema de Gauss, siendo la superficie gaussiana un cilindro de radio r y largo L. Por simetría el
campo eléctrico es radial y el flujo a través de las “tapas” es nulo.
 r 2 L
q
1,00103 8,01103
r
 E (r ) 
E.dS 
  2 rLE(r ) 

 0,452 V /m
12
0
0
2 0
2
8
,
854

10
S


E (r ) 




r
 0,452 V /m
2 0
c) Aplicando la ley de Ampére a una cfa. De radio r:
 B.dl  i
0
 2 rB(r )   0 i
C
B(r ) 



0i
4 107 5,03107

 1,011010 T
3
2 r
2 1,0010


B(r ) 
0i
 1,01 1010 T
2 r
d) FE  qE  (1,6021019 )0,452eˆ r   7,251020 N ê r
FM  qv  B  (1,6021019 ) 2,00107 kˆ  1,011010 eˆ θ  3,231022 N ê r

FE
 2,25  10 2
FM
 

Ejercicio 3
Para alturas pequeñas, el campo magnético terrestre puede
aproximarse según la siguiente expresión:
B( z)  B0 1  z  ˆi de acuerdo a las coordenadas que se
muestran en la figura. Se deja caer una espira cuadrada de
masa m, lado a y resistencia R, desde una altura h con
velocidad inicial nula.
a) Determine el flujo del campo magnético terrestre para el
instante que se muestra en la figura.
b) Calcule la corriente inducida en la espira, despreciando los
efectos de autoinducción.
c) Calcule la fuerza magnética sobre la espira.
d) Deduzca la ecuación de movimiento de la espira, expresándola en función de la velocidad de la espira.
e) Pruebe que la velocidad terminal del movimiento vale v  
mgR
(a 2 B0 ) 2
a) Flujo del campo magnético

ha
 M  B.dS 
S

ha
B0 (1  z )(adz)  B0 a
h

ha
dz aB0
h
 M  B0 a(h  a  h) 

a
B0 h  a 2  h 2
2


ha
zdz  B0 az h
h
 aB0
z2
2
ha
h

a
a 2
 B0 a 2 
B0 (2ha  a 2 ) = B0 a a  ah 

2
2





b) Fem inducida sobre la espira
 
I

R

d M
d 
a 2
   B0 a a  ah 

dt
dt 
2


 B0a 2 v
R
I
B0a 2 v
R

    B0a 2 dh  B0a 2 v por lo que la corriente que circula vale:

dt

(en sentido horario)
c) Fuerza magnética sobre la espira, la calculamos como la suma sobre cada uno de los cuatro
tramos. Las fuerzas sobre los lados verticales (2 y 4) se cancelan entre sí, por lo que sólo tenemos
que considerar las fuerzas sobre los tramos horizontal superior (1) e inferior (3). Para estos tramos,
el campo magnético es uniforme en todo el segmento a considerar.
F  Idl  B  F  F  F  F  Iaˆj  B(a  h)ˆi  Ia(ˆj)  B(h)ˆi   IaB(a  h)  B(h) kˆ 

1
2
3
4
F  Iakˆ B0 (1   (a  h))  B0 (1   (h))  IakˆB0a
FM  a 2 IB0 kˆ 
 2 a 4 vB02 ˆ
k
R
FM 
 2 a 4 vB02 ˆ
k

0
R
dv
d) Ecuación de movimiento: m
 Fneta  mgkˆ  FM kˆ tomando la aceleración positiva hacia abajo:
dt
 2 a 4 B02
dv
m

v  mg
dt
R
dv
f) La velocidad termina la determinamos cuando
0
dt
 2 a 4 B02
mgR
 v 
0
v  mg
2
R
a 2 B
