1.matrices

1.MATRICES
1.
DEFINICION, TERMINOLOGIA, TIPOS DE MATRICES Y
OPERACIONES LINEALES:
Definición : Se llama matriz de dimensiones m x n ( m filas y n columnas) a una
 a11

 a 21
colección de datos expresados de la siguiente forma A= 
.

a
 m1
a12
a 22
.
am2
... a1n 

... a 2 n 
.
. 

... a mn 
Nota: Si m=n se dice que la matriz es de orden n .Como es lógico, el número total
de elementos es mn.
Definición : Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los
elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales .
 19 22
 22 19 
 y B = 
 son distintas aunque posean
Ejemplo : Las matrices A= 
 43 50
 43 50
los mismos elementos.
2.
TIPOS DE MATRICES
1.- Atendiendo a su forma

Matriz fila :Es aquella que solo tiene una fila . A= 1 2 3 4

1
 
Matriz columna : Es aquella que solo tiene una columna.B=  3 
5
 

Matriz cuadrada. Si el número de filas es igual al de columnas .En caso de
que m y n sean distintas se dice rectangular.
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 2  4  7


Ejemplos :  0  2  2  es una matriz cuadrada de orden 3 .
 2 4
6 

1  4 

1 
0
 es una matriz rectangular con tres filas y dos columnas.
2 


 3  40

Matriz traspuesta :.Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A ( At)
a aquella que surge tras cambiar las filas por columnas y viceversa.
1  4


 1 3 3 
 .
Si B=  3 5  su traspuesta es Bt = 
  4 5  4
3  4


Propiedades de la trasposición de matrices .
1) (A+B)t=At +Bt
2) (kA)t =k At siendo k un número.
3) (At)t =A
4) (AB)t=BtAt

Matriz simétrica :Es aquella matriz cuadrada que coincide con su traspuesta
 2  4  7


, es decir que cumple que S =S. Por ejemplo S=   4  2 4 
 7 4
6 

t

Matriz antisimétrica: Es aquella matriz cuadrada que su opuesta coincide
con su traspuesta , es decir que cumple que Ht=-H .Por ejemplo :
 0 4  7


H=   4 0  1 
 7 1 0 


2.-Atendiendo a sus elementos
0

0
Matriz nula :O= 
0

0

0
0
0
0
0

0
0

0 
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Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no
 2 0 0


pertenecientes a la diagonal principal son nulos. A=  0  2 0 
 0 0 6


Matriz escalar :es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
2 0 0


iguales .A=  0 2 0 
0 0 2


Matriz identidad: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
1 0 0


iguales a 1. I=  0 1 0 
0 0 1


Matriz triangular: son aquellas matrices en las que todos los elementos por debajo (
o por encima) de la diagonal principal son nulos
 2 3  5


A=  0  2 1 
0 0
6 

3.
OPERACIONES LINEALES CON MATRICES
Suma / resta : Deben ser de la misma dimensión .Sólo hay que sumar elemento
a elemento
 1 3 2  3  2 2  4 1 4

  
  

0  5 6 7 4 1 7 1 7
Multiplicación por números : Se multiplica cada elemento por el número .
6
1 3 2 3 9
 = 

3 
 0  5 6   0  15 18
4.
PRODUCTO DE MATRICES:
a) Producto escalar : (x , y , z ) ( x’ , y’ , z’ ) = xx’ +yy’ + zz’ .
EJEMPLO ( 1, 2 , 3 ) ( 4 , 5 , 6 ) = 4 + 10 + 18 = 32.
b) Producto de matriz fila por matriz columna : Exactamente igual.
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 x' 
 
( x , y , z)  y '  = xx’ + yy’ +zz’
 z' 
 
 4
 
EJEMPLO : ( 1 , 2 , 3)  5  = 4 + 10 +18 = 32
6
 
c) Producto de dos matrices cualesquiera: Dada una matriz A( mxn) y otra B ( nxp)
se llama matriz C = AB a otra de dimensiones ( mxp ) de modo que cada elemento
cij
se obtiene como producto escalar de la fila i de A por la columna j de B.
EJEMPLOS:
 1 2   5 6   5  14 6  16   19 22
 
 = 
 = 
 . A( 2x2) B(2x2)
1. 
 3 4   7 8  15  28 18  32  43 50
C(2x2)
 1 3
 2 6 0

 1 0 0  

 =  3 4 0  . A( 3x2) B(2x3)  C(3x3)
2.  1 2  
 3 4  1 2 0   7 8 0 




5.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
a. Asociativa (AB)C = A(BC)
b. Distributiva respecto a la suma de matrices
A(B + C ) = AB + AC
c. El producto no es conmutativo es decir AB BA
 1 2   5 6   19 22
 5 6   1 2   23 34

 
 = 
 
 = 
  

 3 4   7 8   43 50
 7 8   3 4   31 46
d. Dada A Mn siempre existe una matriz IMn t.q AI = IA = A
e. Dada A Mn no siempre existe una matriz A-1Mn (llamada matriz inversa de
A)t.q A A-1 = A-1 A = I. Si esta matriz existe a la matriz A se la llama inversible o
regular .En caso contrario no inversible o singular.
Existen varios métodos para calcular la matriz inversa
1. Aplicando la definición.
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2. Método de Gauss
3. Mediante determinantes
EJEMPLO : Calcular la matriz inversa mediante la definición
1 2
 , necesitamos calcular una matriz A que cumpla que A A-1 =I.
A 
3
4


a b
 , se cumple que
Sea esta matriz 
c d
1 2  a b 1 0

 
 = 
 , es decir
3 4  c d  0 1
 a  2c  1
3a  4c  0
 a  2c b  2d   1 0 


 = 
 , pasando al sistema 
con solución
 3a  4c 3b  4d   0 1 
3b  4d  1
 b  2d  0
 a  2
 b 1
1 
 2


, luego la matriz es A-1 

1
,
5

0
,
5
c

1
,
5



d  0,5
6.
RANGO DE UNA MATRIZ.
DEF: Se llama RANGO de una matriz al nº máximo de filas o columnas que son
linealmente independientes
DEF: Un conjunto de filas o columnas se dicen linealmente dependientes si una de
ellas se puede escribir como combinación lineal del resto. En caso contrario se dicen
linealmente independientes
DEF: Una fila( o columna ) F se puede escribir como combinación lineal de {F1 ,
F2 , …..Fn} si  a1, a2, ….,an  R que cumplen que F=a1F1+a2F2+……..+anFn
NOTAS:
1. En el caso de dos filas o columnas se dicen independientes si no son
proporcionales y son dependientes si son proporcionales.
2. Una fila o columna es l.i si no es nula. En caso contrario será dependiente.
3. Un conjunto de filas o columnas que contenga una fila( o columna nula )
será siempre l.d pues O = 0F1 +0F2 +….+0Fn
4. EL RANGO POR FILAS ES EL MISMO QUE EL RANGO POR
COLUMNAS
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EJEMPLOS:
1 2
 tiene dos filas dependientes pues F2=3F1 , luego el nº máximo de
1. 
3 6
filas o columnas es 1 ,es decir el rango es 1.
1 2
 tiene dos filas independientes pues F2 aF1 sea quien sea a, luego el
2. 
3 7
nº máximo de filas o columnas es 2 , es decir el rango es 2.
1 2 3 4 


3.  5 6 7 8  tiene tres filas y cuatro columnas con lo que el rango
 4 4 4 4


máximo puede ser sólo tres. Además tiene tres filas dependientes pues F3=F2F1 ,es decir el rango no es 3.Como F1 y F2 no son proporcionales el rango
termina siendo 2
7.
METODO DE GAUSS
En una matriz cualquiera determinar su rango no es siempre igual de fácil que en
estos ejemplos, bien porque las dimensiones pueden ser mayores que 3, bien porque
las combinaciones lineales usen coeficientes no enteros como fracciones o
irracionales. Por todo ello, para determinar el rango de una matriz se usa el método
de Gauss.
METODO DE GAUSS :
Consiste en convertir la matriz dada en triangular mediante operaciones elementales
aplicadas a filas o a columnas.
DEF : Se consideran operaciones elementales a aquellas que no varían el rango de la
matriz y son:
1. Permutar dos filas o columnas.
2. Sumar dos filas o columnas.
3. Multiplicar una fila o columna por un nº real distinto de 0
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4. =2+3 . Sumarle a una fila o columna otra previamente multiplicada por un
nº real no nulo
NOTA : Durante el proceso se pueden suprimir
1. Filas o columnas nulas.
2. Filas o columnas proporcionales a otras.
3. Filas o columnas combinación lineal de otras.
NOTA : El proceso finaliza cuando la matriz es triangular superior y no podemos
suprimir ninguna fila o columna .El nºde filas que queden coincide con el rango de la
matriz.
EJEMPLOS
1 2
1 2 
 [F2=F2-3F1]  
  Rango 2.
1. A 
3 4
 0  2
3 
 1 2 3
1 2

 F2  F2  4F1  
 1 2 3 
0
3

6
 Rango 2.
2. B  4 5 6   


  

 7 8 9   F3  F3  7F1   0 6  12  0 3  6 




NOTA : Conviene que el elemento pivote que es de la columna el de la diagonal
principal sea un 1 , -1 o un divisor del resto de elementos de la columna, para que las
operaciones sean más sencillas .En caso negativo se pueden hacer permutaciones de
filas y/o columnas para obtener un buen elemento pivote.
 2 1 0
1 2 0 
1 2 0



 F2  F2  4F1  

0

4
1
3. B   2 1 1   C 2  C1   1  2 1   


 .

 3 1 4
1 3 4   F3  F3  7F1   0 1 4 






1 2 0
1 2 0 




F2  F3   0 1 4  [F3=F3+4F2]   0 1 4   Rango 3
0  4 1
 0 0 17 




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8.
METODO DE GAUSS PARA EL CALCULO DE LA MATRIZ
INVERSA
Consiste en transformar (si es posible ) la matriz que nos den en la matriz identidad
usando operaciones elementales aplicadas únicamente en filas .Mientras ,
aplicando esas mismas operaciones a la matriz identidad nos la transformarán en la
matriz inversa A -1.
EJEMPLO
1 3 3

1 4 3
1 3 4

1 3 3
1 0 0
 F2  F2  F1  
0 1 0  
 0 1 0
F3  F3  F1  


0 0 1
0 0 1
1 3 0

 0 1 0
0 0 1

1 0 0
0  3


 1 1 0  [F1=F1-3F2]   0 1 0
0 0 1
 1 0 1 

4
0 0

 1 1 0  [F1=F1-3F3]
 1 0 1 
1
 3  3

1 1
0 
1 0
1 
7
 7  3  3


0 
Como ya hemos llegado a la matriz identidad A   1 1
 1 0
1 

-1
Para comprobar si la matriz inversa es correcta o no se debe comprobar , aplicando
 1 3 3   7  3  3  1 0 0 


 

0  =  0 1 0
la definición es decir A A =I   1 4 3    1 1
 1 3 4  1 0
1   0 0 1 


-1
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2.DETERMINANTES
1.
NOTAS PREVIAS

El determinante de una matriz es un número no otra matriz.

No existen determinantes de matrices rectangulares, sólo de
matrices cuadradas.
2.
PRIMERAS PROPIEDADES

Det (O) = 0.

Det (I) = 1.

Det (A) = producto de elementos de la diagonal principal, siendo A
una matriz diagonal o triangular.
2 5 6
0 5 3 =2 5 7 =70
0 0 7

3.
Det ( A ) = Det ( At).
DETERMINANTES DE ORDEN 2
DEF: Dada A M2 ,se llama determinante de A al resultado de la siguiente operación
x y
 xt  yz
z t
EJEMPLO :
1 2
 1  4  2  3 = 4 - 6 = -2
3 4
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4.
DETERMINANTES DE ORDEN 3
DEF: Dada A M3 ,se llama determinante de A al resultado de la siguiente operación
a
usando la llamada regla de Sarrus
a
b c a b
d
e f d e
g h
b c
a
b c a b
d e f d e f d e
g h i g h i g h
-
i g h
1 2 3 1 2
1 2 3
EJEMPLO : 4 5 6  4 5 6 4 5
7 8 9 7 8 9 7 8
=159 +267+348-357-168-
249=45+84+96-105-72-48 = 225-225 = 0.
5.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Todas las propiedades que se enuncian a continuación son ciertas para determinantes
de cualquier orden y tanto para filas como para columnas.
1.
Det ( F1+F1’,F2,F3)= Det ( F1,F2,F3) + Det ( F1’,F2,F3)
x  x' y  y' x y x' y'


z
t
z t z t
2.
kx
z
3.
Det (F1,K F2,F3)=K Det (F1,F2,F3)
ky
t
k
x
z
y
t
.En general
kx ky
x y
x y
k
 k2
kz kt
kz kt
z t
El determinante del producto de matrices es igual al producto de
los determinantes, es decir, Det(AB)=Det(A) Det(B)
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4.
Si en un determinante permutamos dos filas o columnas, el
determinante cambia de signo
1
2 3
En efecto 0
1
0 =0+0+0+6-0-0=6. Si permutamos dos
3
0
2 3
1
filas  1
0
5.
2
3
0 =0-6-0-0-0-0-0=-6
2
0
Un determinante con una fila o columna nula, igual o proporcional
a otra, o combinación lineal de otras vale 0.
Es decir Det(A)=0  Rango A <Máximo y por tanto
Det(A)0  Rango A =Máximo
6.
Si a una fila o columna se le suma otra el determinante resultante
no varía
2 3
1
1
0
2
0 =6 . Si hacemos F2=F2+F1  1
1
3
0
7.
1
2 3
0
3
3 =0+9+6-0-0-9=6.
0
Si a una fila o columna se le suma otra previamente multiplicada
por un nº real el determinante resultante no varía.
1
2 3
0
2
1
3
1 2 3
0 =6 . Si hacemos F3=F3+2F1  0
0
1
0 =12+0+0-6-0-0=6
1 6
2
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6.
DETERMINATES DE ORDEN >3
DEF: Dada A Mn , y aij un elemento de dicha matriz, se llama MATRIZ
COMPLEMENTERIA del elemento aij (Cij) a la que surge tras suprimir la fila i y la
columna j de la matriz A
 1 2 3


 2 3
1 2
, C 33  

EJEMPLO : A 4 5 6   C 21  
8
9
4
5




7 8 9


DEF : Dada A Mn , y aij un elemento de dicha matriz, se llama ADJUNTO del
elemento aij (Aij) al determinante de la matriz complementaria precedido de un signo
, que será más(+) si i+j es par y menos(-)si i+j es impar
EJEMPLO :
 1 2 3


2 3
1 2
A 4 5 6   A 21  
 (18  24)  6, C 33  
 5  8  3
8 9
4 5
7 8 9


DEF: Dada A M4 ,se llama determinante de A al resultado de la siguiente
operación |A|= a11A11+a12A12+a13A13+a14A14=a12A12+a22A22+a32A32+a42A42=……
NOTA : Conviene por tanto ,para que este proceso resulte lo más sencillo posible
que la matriz posea la mayor cantidad de ceros posibles.
Si no los hay , se pueden obtener mediante operaciones del método de Gauss

Si permutamos dos filas o columnas el valor del determinante cambia de signo.

Si a una fila o columna le sumamos otra el valor del determinante no varía

Si a una fila o columna le sumamos otra previamente multiplicada por un nº no
nulo el valor del determinante no varía
Se puede con estas operaciones llevar el determinante a una reducción parcial o a una
reducción total
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a
0
0
0
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
(REDUCCION PARCIAL)
#
#
a
0
0
0
# # #
b # #
(REDUCCION TOTAL)
0 c #
0 0 d
EJEMPLO:
1 0
1 1
1 3
2 1
1 2
2  1  C 3  C 3  C1 
=

2 2 C 4  C 4  2C1 
0 1
1 0
0
0
1 1
3
1
=DESARROLLANDO
1 3
1
0
2 1  2  3
1
3
1
1
0 =-3-6+1+27=19.
POR ADJUNTOS =1A11+0A12+0A13+0A14=1 3
1  2  3
7.
APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES PARA EL
CÁLCULO DEL RANGO
Se ha visto que Det(A)=0  Rango A <Máximo y por tanto Det(A)0  Rango A
=Máximo
Esto lógicamente sólo se puede y debe aplicar a matrices cuadradas :por el contrario
en matrices rectangulares es cierto lo siguiente :
Se ha visto que si todos los Det(Ak)=0  Rango A <k y por tanto si existe
Det(Ak)0 Rango A k
Entonces para calcular el rango por determinantes se actúa del siguiente modo:
a) Matrices 3x4,3x5,3x6…Se toman dos columnas no
proporcionales C1 y C2 y se añaden una a una todas las
columnas restantes .Si alguno de estos determinantes es
distinto de cero, el rango es tres y si todos son iguales a cero
el rango es menor que tres.
b) Matrices 4x5,4x6, …Se toman tres columnas l.i C1 ,C2 ,C3
y se añaden una a una todas las columnas restantes .Si
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alguno de estos determinantes es distinto de cero, el rango
es cuatro y si todos son iguales a cero el rango es menor que
cuatro.
8.
CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR
DETERMINANTES
DEF : Dada la matriz A se llama MATRIZ ADJUNTA de A ( Adj(A) ) a aquella
que surge tras sustituir cada elemento por su adjunto.
NOTA :Todas las matrices cumplen que si las multiplicamos por la traspuesta de su
adjunta sale como resultado una matriz diagonal con Det (A) en ella , es decir :
0
0 
 Det( A )
1 0 0



( Adj( A ))t 
Det( A )
0 A
A  (Adj(A)) =  0
=  0 1 0  de
Det( A ) 
 0

0
Det( A ) 

0 0 1
t
( Adj ( A )) t
donde se deduce que A =
Det( A )
-1
NOTA : Para calcular la matriz inversa es condición necesaria y suficiente que tanto
Det(A)0 Rango A =Máximo
 2  2 2


EJEMPLO: A  2 1 0  Adj (A)=
 3  2 2


 2  4  7


t
 0  2  2  . (Adj (A)) =
 2 4
6 

0
1 
2 2 2
 2


  4  2  2  .Por tanto en nuestro caso como Det (A) = 2 1 0 =-2
  7  2  3
3 2 2


 1 0 1 


entonces la inversa de A es A-1=  2 1  2  .
 7

 2 1  3
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3.SISTEMAS DE ECUACIONES
1.
GENERALIDADES
DEF : Se llama sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas a :
 a 11 x1  a 12 x 2  .......  a 1n x n
 a x  a x  .......  a x
 21 1 22 2
2n n

..........
..........
..........
..........
.......

a m1x1  a m 2 x 2  .......  a mn x n
 b1
 b2
(1)
 ......
 bm
NOTA :Una ecuación es lineal si las incógnitas se hallan en combinación lineal
NOTA : Un sistema se dice lineal si todas las ecuaciones son lineales.
x 2  2y  z  3
x  2y  z  3
EJEMPLO : 
Sistemalineal 
Sistemano lineal
5x  y  z  8
 5x  y  z  8
DEF: Se llama solución de un sistema como (1) a un conjunto de m números que
verifican a la vez a las m ecuaciones.
Según el nº de soluciones los sistemas se clasifican en :
1.
COMPATIBLES: Si poseen alguna solución .Pueden ser:
i) COMPATIBLES DETERMINADOS ( S.C.D) : Si la solución es
x  y  3
única 
Tienecomoúnicasoluciónx  2 y  1
x  y  1
ii) COMPATIBLES INDETERMINADOS ( S.C.I) : Si hay varias
soluciones ( en nuestro caso, infinitas)
x  2, y  0, z  1
x  z  3
Son solucionesx  3, y  1, z  0 .........

y  z  1
x  1, y  1, z  2
2.
INCOMPATIBLES(S.I) : Si no poseen ninguna
x  y  z  3
solución 
Tresnúmerosno pudensumar a la vez 3 y 1.
x  y  z  1
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2.
NOTACION MATRICIAL Y VECTORIAL DE UN
SISTEMA
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se puede escribir en:
 a 11 x1  a 12 x 2  .......  a 1n x n
 a x  a x  .......  a x

2n n
a) Notación estándar:  21 1 22 2
..........
..........
..........
..........
.......

a m1x1  a m 2 x 2  .......  a mn x n
 b1
 b2
 ......
 bm
b) Notación matricial :Mx =b donde
 a 11 a 12

a 22
a
M=(matriz de coeficientes)=  21
...
....

a
 m1 a m 2
.......
.......
......
......
a 1n   x 1 
 b1 
  
 
a 2n   x 2 
b 
x=   ,b=  2 

....
.....
.....
  
 
b 
a mn   x n 
 m
Si a la matriz de coeficientes le añadimos la columna de términos
independientes, aparece una nueva ,matriz llamada MATRIZ AMPLIADA
 a 11

 a 21
M*= 
...

a
 m1
a 12
.......
a 22
.......
....
......
a m2
......
a 1n b1 

a 2n b 2 
.... ..... 

a mn b m 
c) Notación vectorial: C1x1+C2x2+……….+Cnxn=b siendo Ci y b las
columnas de la matriz M*.
3.
SISTEMAS EQUIVALENTES
DEF: Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones. Es decir ,
toda solución del primero es solución del segundo y viceversa.
NOTA : Operaciones como sumar ecuaciones, cambiar de orden las ecuaciones o
multiplicar ecuaciones por números no nulos permiten pasar de un sistema a otro
equivalente :También suprimir ecuaciones iguales, proporcionales o combinación
lineal de otras causan el mismo efecto. En esto se basa el método de Gauss para
resolver sistemas lineales.
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4.
TEOREMA DE ROUCHE
Un sistema es compatible  Rango M = Rango M*
TEOREMA :
CONSECUENCIAS
a. Rango M  Rango M*  El sistema es incompatible
b. Rango M = Rango M* nº incógnitas  S.C.I (el nº de parámetros =nº
incógnitas-rango)
c. Rango M = Rango M*= nº incógnitas  S.C.D
NOTA : Un sistema se dice homogéneo si todos sus términos independientes son
cero. Debido a esto al añadir una columna llena de ceros a la matriz M, el rango de
M*, no puede aumentar. Y se cumple que siempre Rango M = Rango M* por tanto
el sistema homogéneo es siempre compatible y posee siempre la solución trivial
es decir x=0,y=0,z=0,….
5.
METODOS DE RESOLUCION DE SISTEMAS
a) Método de Gauss :Consiste en triangularizar mediante operaciones
elementales aplicadas sólo a filas (en columnas sólo podemos permutar) a la
matriz ampliada M* para que así resulte inmediata su resolución .Se puede
aplicar a sistemas determinados e indeterminados.
 x y zt 
 xyzt 

i. S.C.D 
 x y zt 
 x  y  z  t 
8
2
Escribimos la matriz ampliada
6
4
M*
8 
 1 1 1 1  8 
 1 1 1 1

 F2  F2  F1 

2  
0
10 
 1 1 1 1
0  2 2

 1 1 1  1 6    F3  F3  F1    0 0
2  2 14 

  F4  F4  F1  

 1 1 1 1  4
0 2
0
2  12



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1 1 1 1  8
1 1 1 1



0 10 
0
0  2 2
0  2 2
F4  F4  F2   
 F4  F4  F3   

0 0
2  2 14
0 0
2 2



0 0
0 0
2
2  2 
0
4


x  y  z  t   8
  2 y  2z  10

Pasamos otra vez al sistema 
,es decir
2z  2t  14


4t   16
t  4  SUST EN LA EC 3  2z  8  14  z  3  SUST EN LA EC 2
 2y  6  10  y  2  SUST EN LA EC 1 
x  8  t  z  y  8  4  3  2  1
x  1
y   2

en definitiva la solución es 
z  3
 t   4
 2 x  3y  z  0

ii. S.C.I  x  8y  3z  0
5x  2 y  z  0

Pasamos a la matriz ampliada (en este caso como es un sistema
homogéneo, no es necesario escribir los ceros de los términos
independientes)
2 3 1 
 1  3 2
1  3 2



 F2  F2  3F1  

 0 1 7
 1 8  3   C 3  C1     3 8 1   

 5 2 1
  1 2 5   F3  F3  F1   0 1 7 






z  3y  2x  0
Pasamos al sistema 
Como las matrices tienen rango 2
  y  7x  0
y el nº de incógnitas es 3 , hay que elegir un parámetro , en este caso
z  3y  2t
x=t. 
y=7tz= 3y - 2t =19t.En definitiva
  y  7t
 xt

 y  7t
z  19t

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 8

10 
14 

16 
Método de Cramer
Se llama sistema de Cramer a aquel que cumple :
i. Es un sistema de n ecuaciones y n incógnitas.
ii. Tiene determinante distinto de cero
Esto trae como consecuencia que sólo se pueda aplicar para sistemas
S.C.D.Si tenemos un sistema en notación vectorial
C1x1+C2x2+…….+Cnxn=B , la solución se puede conseguir del
siguiente modo
det(B, C 2 ,....., C n )
det(C1 , B,....., C n )
, x2=
,…,
det(C1 , C 2 ,....., C n )
det(C1 , C 2 ,....., C n )
det(C1 , C 2 ,....., B)
xn=
det(C1 , C 2 ,....., C n )
x1=
 2x  y  z  7

Ejemplo :  x  z  4 Entonces aplicando la regla de Cramer:
3x  2 y  z  2

7
x= 4
1
0
1
1
2  2 1 0  8  2  0  4  14 4

 1
2 1 1
0  2  3  0 1  4 4
1 0 1
3 2 1
y=
2 7 1
1 4 1
3 2 1
8  21  2  12  7  4 8

 2
2 1 1
0  2  3  0 1 4
4
1 0 1
3 2 1
2
z= 1
1
7
0
4
3  2 2 0  14  12  0  2  16 12


3
2 1 1
0  2  3  0 1 4
4
1 0 1
3 2 1
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