EJERCICIOS GRUPO 2/DERIVADAS

EJERCICIOS GRUPO 3/DERIVADAS
CAÍDA DE LOS CUERPOS
1. Un objeto arrojado directamente hacia arriba tiene una altura
s  16t 2  48t  256 pies después de t segundos.
a) ¿Cuál es su velocidad inicial?
b) ¿En qué tiempo alcanza su altura máxima?
c) ¿Cuál es su altura máxima?
d) ¿En qué tiempo alcanza el piso?
e) ¿Con qué velocidad llega al piso?
2. Un objeto que se arroja verticalmente hacia arriba desde el nivel del piso
con una velocidad de 48 pies por segundo tiene una altura aproximada de
s  48t  16t 2 al término de t segundos.
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
b) ¿Con qué rapidez se mueve y en qué dirección al término de 1
segundo?
c) ¿Qué tiempo tarda en regresar a su posición original?
3. Se arroja un objeto verticalmente hacia abajo desde un acantilado, con
una velocidad inicial de v0 pies por segundo, la ecuación aproximada de su
movimiento de caída es s  v0t  16t 2 pies en t segundos. Si cae al océano
en 3 segundos con una velocidad de 140 pies por segundo, ¿cuál es la
altura del acantilado?
APROXIMACIONES
4.
5.
6.
7.
Los seis lados de una caja cúbica de metal miden 0,25 pulgadas de
grueso y el volumen del interior de la caja es de 40 pulgadas cúbicas. Use
diferenciales para encontrar el valor aproximado del metal usado para
construir la caja.
El interior de un depósito cilíndrico sin tapa es de 12 pies de diámetro y 8
pies de altura. El fondo es de cobre y los lados de acero. Use diferenciales
para calcular la cantidad aproximada, en galones, de pintura
impermeabilizante que se necesita para aplicar una capa de 0,05
pulgadas a la parte de acero del interior del tanque (1 galón  231
pulgadas cúbicas).
El diámetro de una esfera se ha medido en 20+0,1 centímetros. Calcule el
volumen con una estimación del error.
Un rodillo cilíndrico mide exactamente 12 pulgadas de longitud y se ha
estimado su diámetro en 6  0,005 pulgadas. Calcule su volumen con una
estimación del error.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
8.
9.
Encuentre el volumen de la caja sin tapa más grande que se puede hacer
con una hoja cuadrada de cartón, de 24 pulgadas de lado, cortando
cuadrados iguales en las esquinas y doblando.
Un trozo de alambre de 16 pulgadas de longitud se va a cortar en dos
partes; una se doblará para formar un cuadrado y la otra se doblará para
formar un círculo. ¿Dónde debe hacerse el corte de modo que la suma de
10.
11.
12.
13.
14.
15.
las áreas del cuadrado y el círculo sea máxima? ¿O mínima? (Se permite
la posibilidad de que no se corte).
Se va a construir una cisterna de base cuadrada para retener 12 000 pies
cúbicos de agua. Si la tapa metálica cuesta el doble que los lados y la
base de concreto, cuáles son las dimensiones más económicas de la
cisterna?
Se necesita una caja sin tapa de 36 000 pulgadas cúbicas. Si la caja debe
tener el doble de largo que de ancho, ¿qué dimensiones debe tener para
que ocupe la menor cantidad de material?
La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto de su
base por el cuadrado de su altura, encuentre las dimensiones de la viga
más fuerte que se puede cortar de un tronco cuya sección transversal
tiene forma de la elipse 9x2  8 y 2  72 .
Una jardinera debe tener la forma de sector circular de radio r y ángulo en
el vértice  . Hallar r y  si el área es una constante A y el perímetro es
mínimo.
Un recipiente metálico sin tapa con extremos semicirculares debe tener
una capacidad de 128  pies cúbicos. Determine su radio r y su longitud h
si se quiere que el recipiente tenga la menor cantidad de material en su
construcción.
Analizar la monotonía y concavidad de la función definida sobre  2, 2 por
1 2
 x  6 x  8 , x  2, 0

4
f ( x)  
 1  x 2  4 x  12  , x   0, 2

 6
16. En cada uno de siguientes problemas se define una función y se da un
intervalo cerrado. Decida se el teorema del valor medio es aplicable a la
función dada en el intervalo dado; de ser así, encuentre todos los valores
posibles de c; si no, establezca la razón. En cada problema, dibuje la
gráfica de la función dada en el intervalo dado.
a) f ( x)  x2  2x;2,2
b) f ( x)  x2  3x 1; 3,1
x3
;  2, 2
3
1
d) f ( x)   x3  x  4  ;  1, 2
3
x3
;  1, 4
e) f ( x) 
x 3
x 1  3 
f) f ( x) 
; ,5
x  1  2 
c)
f ( x) 
g) f ( x)  x 3 ; 0, 2
2
2 
1
h) f ( x)  x 3 ;  1, 
 2
17. En los siguientes problemas, dibuje la de una función continua f en el
intervalo 0,6 qu satisfaga todas las condiciones establecidas
a) f(0) = 3; f(2) = 2; f(6) = 4;
f ' ( x) 0 en 0,2  2,6 ;
f '' ( x) 0 en
0,1  2,6 ;
f ' (2)  0 ;
f '' ( x) 0 en 1,2 ;
b) f(0) = f(4) = 1; f(2) = 2; f(6) = 0;
f ' ( x) 0 en 0,2 ; f ' ( x) 0 en
f ' (2)  f ' (4)  0; f '' ( x) 0 en
2,4  4,6 ;
0,1  3,4 ;
f '' ( x) 0 en 1,3  4,6 ;
c) f(0) = f(3) =3; f(2) = 4; f(4) = 2; f(6) =0;
f ' ( x) 0 en 0,2 ; f ' ( x) 0 en 2,4  4,5 ;
f ' (2)  f ' (4)  0; f ' ( x)  1 en
f '' ( x) 0 en
5,6 ;
0,3  4,5 ; f '' ( x) 0 en
3,4 . ;
REGLA DE L’HOSPITAL
18. Calcular los siguientes límites.

a) lim 1  x  tg x
x 1
2
b) lim 1  cos x  ctgx
x 0
x  ln x
x  x ln x
x ln  x  1
d) lim
x 1  x  1 ln x
c) lim
e) lim
x 0
x 2  sen 2 x
x 2 sen 2 x
DIFERENCIABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD
19. Hallar a y b para que la función definida por
a x  b
, x 1
 2
f ( x)  ax  6 x  12 , x   1, 4 

,x4
2 3ax  8
sea continua en su dominio, sabiendo que a y b son enteros.
20. Hallar A, B y C para que la función
 Ax  5 , x 2

f ( x)   Bx 2  Cx, x   2,3
 2
 Ax  Bx, x 3
sea continua en x = -2 y derivable x = 3.