Calcula las dimensiones de la pirámide de base cuadrada de mayor

Calcula las dimensiones de la pirámide de base cuadrada de mayor volumen que se puede
inscribir en una esfera de radio r.
SOLUCIÓN:
Llamando x al lado de la base y h a la altura de la pirámide y considerando r como un valor
concreto, se tiene:
V=
x²h
, función a maximizar.
3
Para ponerlo en función de una sola variable, aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo
pequeño que aparece en el dibujo:
2
 2 
(h - r)² + 
x = r²; h² -2rh + r² + x²/2 - r² = 0; x² = 4rh - 2h².
 2 
Sustituyendo en V:
V=
4rh
- 2h²h
3
=
4rh² - 2h3
. Para calcular el volumen máximo analizamos V’ y V’’:
3
V’ = 1/3(8rh - 6h²) = 2/3h(4r - 3h). V = 0  h = 0 y h = 4/5r.
Para h = 0, V es mínimo lógicamente, pues valdría 0.
V’’ = 1/3(8r - 12h) . Si h = 4/5r, V’’ < 0, por lo que V es máximo, al ser la función convexa.
Sustituyendo h en x² = 4rh - 2h² , nos da el valor del lado del cuadrado x = 4/3r.
Por lo tanto la pirámide de mayor volumen es la que tiene por lado de la base 4/3r
y por altura 4/5r.