Raiz cuadrada

Raíces cuadradas.
Definición: hacer una raíz cuadrada de un número “R” es calcular otro número “r” que
elevado al cuadrado sea igual al primero. Es la operación inversa de elevar un número al
cuadrado (a la segunda potencia).
R r
Ejemplo:
si
r2  R
16  4 porque 42  16
También se puede calcular la raíz cúbica, cuarta, quinta, etc.
Ej.
3
82
porque
23  8
i
Ej.
4
81  3
porque
3  81
4
R r
Términos:
R
i
 es el radicando, el número del que vamos a hallar la raíz.
 es el índice, el exponente al que hay que elevar la raíz para obtener el radicando.
r  es la raíz. Es el número que buscamos, que elevado al exponente “i” nos da el
radicando.
 signo radical.
Importante: cuando el índice es 2 no se escribe.
Por cierto, ¿sabrías decir por qué no se hacen raíces de índice 1?
Si el radicando es un cuadrado perfecto no muy alto (como 25, 36 ó 81), hacer la raíz
cuadrada mentalmente es relativamente fácil, como acabamos de ver.
Pero, ¿qué ocurre si el radicando no es un cuadrado perfecto? ¿O si resulta que es un
número tan grande que es difícil calcularlo mentalmente? ¿Será que no se puede realizar
la siguiente operación?
En realidad sí que se puede calcular mediante el siguiente algoritmo. Presta atención:
Algoritmo de la raíz cuadrada o cómo calcular la raíz cuadrada de
cualquier número.
Vamos a calcular la raíz cuadrada de 54756
a) A partir de la cifra de las unidades, de derecha a
izquierda, se separan grupos de dos cifras. El primer
grupo que queda a la izquierda puede tener 1 ó 2
cifras. En este caso tiene 1.
b) Calculamos la raíz cuadrada del número formado por
la cifra (o cifras) del primer grupo de la izquierda (en
este caso es 5). Su raíz cuadrada es 2. No vale 3
porque se pasaría. Lo escribimos en la casilla de la
raíz y restamos su cuadrado del número del primer
grupo.
c) A la derecha del resto obtenido (1), bajamos el
siguiente grupo de dos cifras (47) y, debajo de la
raíz (2), escribimos su doble (4).
d) Ahora buscamos la cifra más alta posible (en este
caso es 3) que, añadida como cifra de las unidades
al doble de la raíz que hemos obtenido (4), cumpla
que el producto del número resultante (43) por esta
misma cifra (3), sea igual o más bajo que el resto
anterior (147). Truco*
e) Restamos el producto obtenido (“129”) del resto
(“147”) y colocamos la cifra hallada (“3”) en la raíz,
a continuación de la cifra que ya teníamos (“2”).
f) A la derecha del resto obtenido (18), bajamos el
siguiente grupo de dos cifras (56) y, en la siguiente
casilla de la derecha escribimos el doble de la raíz
(46) que hemos obtenido hasta ahora (23).
g)
De nuevo repetimos el paso “d”: buscamos la cifra
más alta posible (en este caso es 4) que, añadida
como cifra de las unidades al doble de la raíz que
hemos obtenido (46), cumpla que el producto del
número resultante (464) por esta misma cifra (4),
sea igual o más bajo que el resto anterior (1856).
Truco*
5.47.56
5.47.56 2
-4
1

5.47.56
-4
147 
5.47.56
2
4 
2
-4
147
4 3 · 3 =129 
5.47.56
23
-4
147
- 129
18
4 3 · 3 =129

5.47.56
-4
147
-129
 1856
5.47.56
-4
147
-129
1856
23
43·3=129
46 
23
43 · 3 = 129
464 · 4 =1856
h) Repetimos el paso “e”: restamos el producto
obtenido (1856) del resto que teníamos (1856) y,
como en este caso da 0 y no tenemos más grupos
de dos cifras que bajar, hemos terminado de hallar
la raíz.
5.47.56
-4
147
-129
1856
 -1856
0
234
43 · 3 = 129
464 · 4=1856
Colocamos la cifra obtenida (4) a continuación de las
dos cifras que ya teníamos (23).
Así que 234 es la raíz cuadrada de 54756. Compruébalo.
Si no hubiéramos obtenido de resto 0 habríamos seguido hallando decimales (con
dos es suficiente) repitiendo los pasos “c”, “d” y “e”. Al no haber más cifras que
bajar, pondríamos una coma en la casilla de la raíz y añadiríamos dos ceros cada
vez a la derecha del resto que nos hubiera quedado en el paso anterior. Si en la
raíz hay decimales, para hallar su doble no se tiene en cuenta la coma (como si no
hubiera). En el caso de que después de obtener así dos decimales el resto no
fuera cero todavía, la prueba de que la raíz cuadrada está bien sería elevar
al cuadrado la raíz decimal obtenida y sumarle el resto real. Acuérdate de
cómo se calculaba el resto real en la división porque aquí es igual.
Por último, para hallar la raíz cuadrada cuando en el radicando hay un número
que tiene decimales, lo único que hay que tener en cuenta es que las cifras se
separan de dos en dos de la coma hacia la izquierda y también de dos en dos de
la coma hacia la derecha. Si a la derecha de la coma te quedase un grupo con una
sola cifra, como siempre tienen que ser dos, le añades un cero.
Luego tendrás que tener en cuenta en la casilla de la raíz que, cuando bajes el
primer grupo de dos cifras decimales, tendrás que poner la coma, como hacías
con las divisiones en el cociente.
Ejemplo:
4576,398 se separaría así:
45.76,39.80 (añadimos un 0 al último
grupo)
*Truco: dividir todas las cifras del resto menos la última entre el doble de la raíz
que has hallado. En la mayoría de los casos, el número entero resultante es la
cifra que buscas.
Por ejemplo, 14 : 4 = 3; ó 185 : 46 = 4. Estas divisiones se pueden
hacer mentalmente si empleas aproximaciones 
200 : 50 = 4