Problemas de Teoría de Colas

Problemas de Teoría de Colas
1.- Sea la cola G/M ()/1 y sea aj=E {( X)j e-x}/j!; siendo X la variable tiempo entre las
llegadas. Suponer ρ < 1.
Demostrar que la distribución estacionaria de la cadena que denota la longitud
de la cola en los momentos de las llegadas satisface pn = ai p n+i-1 n > 0.
Buscar una solución de la forma pn = θn y deducir que la única distribución
estacionaria está dada por pj = (1-ε) εj con ε la raíz positiva más pequeña de la ecuación
s = LX ( (s-1)) con LX la transformada de Laplace de la variable X.
2.- Considerar un sistema M/M/1 con la particularidad de que se añade un servidor
cuando la longitud de la cola excede de N.
Modelar el sistema y calcular la distribución y la longitud de la cola en el
equilibrio.
Suponer que la espera de un cliente cuesta c pesetas y el servidor adicional d
pesetas. ¿En qué condiciones será rentable este sistema?
3.- Una cola M/M/1 con control: Se pretende que el servidor esté ocupado todo el tiempo
y la política es la siguiente. Cuando no hay clientes, la ventanilla se cierra y en el momento que
llega el primer cliente, el sistema tarda un tiempo exp () en ponerse en marcha.
Modelar el sistema y
Calcular la función generatriz de la distribución en el equilibrio cuando exista.
4.- Considerar la cola M/M/1 con ρ < 1. Sea Q la longitud de la cola en el equilibrio.
Demostrar que (1-ρ)Q converge en distribución hacia una ley exponencial de
parámetro 1 cuando ρ tiende a 1.
5.- Considerar la cola M/M/1 en la que cada llegada produce 2 clientes. El tiempo entre
dos llegadas consecutivas es una ley exp (λ) ,los clientes son servidos de dos en dos y el tiempo
de servicio es una ley exp () .
Modelar el sistema.
Plantear los sistemas de ecuaciones prospectivas y retrospectivas.
Plantear las ecuaciones en el equilibrio y resolverlas cuando exista solución.
En el equilibrio calcular la distribución de las salidas de este sistema.
6.- Sean dos sistemas M/M/1 con la misma intensidad de tráfico, pero con distribución de
entradas y salidas distintas λ `= k λ  ´= k 
Comparar en el equilibrio, la longitud media de la cola, el tiempo medio de
permanencia en el sistema, el tiempo medio de permanencia esperando en el sistema y el
tiempo de ocupación del servidor. Comentar los resultados obtenidos.
7.- Un sistema está formado por N componentes, cada componente independientemente
de las otras se avería según una ley exponencial de parámetro λ; cuando se avería se la repara
independientemente de las demás por un solo operario de forma que el tiempo de reparación
sigue una ley exponencial de parámetro. Sea X(t) el número de componentes del sistema en
reparación en el instante t.
Modelar el proceso
Calcular la distribución de X(t) en el equilibrio.
Calcular el tiempo medio que una componente averiada pasa en el taller de
reparación.
Sea X(0) = 0 y sea T = inf {t/X(t)=2\} . Calcular la distribución de T.
8.- Un modelo de cola geométrica: Los clientes llegan a un determinado sistema
requiriendo un servicio de forma que los tiempos entre dos llegadas consecutivas son
independientes y siguen una ley geométrica de parámetro  P(T = n) =  (1-)n-1 n = 1, 2,....
Los clientes son servidos por un solo servidor según el orden de llegada. El tiempo de servicio
es una variable geométrica de parámetro β P(S = n)= β (1- β)n-1 n=1,2,... . Los tiempos de
servicio son independientes de las llegadas y de la longitud de la cola.
Demostrar que Xn es una cadena de Markov y calcular su matriz de transición
Calcular en el equilibrio la distribución de la longitud de la cola.
Considerando el sistema en el equilibrio, calcular el tiempo medio de permanencia
en el sistema.
¿Se verifica la formula de Little?
9.- Sistema M/Ek/1: Considerar este sistema en el que el tiempo de servicio sigue una
distribución de Erlang con función de densidad f(y) = (1\ (k-1) !) ( k) k -1e-ky
Modelar el sistema como markoviano, suponiendo que el servicio se compone de
k fases exponenciales de manera que cada llegada de un cliente incrementa el tamaño
de la cola en k fases, y cada vez que se completa una fase, decrece el tamaño de la cola
en una fase.
Calcular los parámetros del proceso y plantear las ecuaciones en el equilibrio.
Resolverlas por el método de la función generatriz.
Calcular la longitud media de la cola y el tiempo medio de permanencia en el
sistema en el equilibrio.
10.- Dado el sistema M/M/c en el equilibrio, sea τ el tiempo entre dos salidas
consecutivas. Sea K(t) el estado del sistema en el tiempo t transcurrido desde la última salida.
Sean Fn(t)=P(K(t)=n t< τ ), F(t) = Σn=0.Fn(t).
Plantear ecuaciones diferenciales para Fn(t) y ver que la solución es Fn(t) = pn e-λt
y por tanto P(τ >t)=e -λ t.
Demostrar que τ y K(τ) son independientes
P(K(τ +dt) = n t< τ < t +dt)=pn λ e-λ t
Comentar el resultado.
11.- Considerar la cola M/M/1 en la que cada llegada produce 2 clientes. El tiempo entre
dos llegadas consecutivas es una ley exp (λ), los clientes son servidos de uno en uno y el tiempo
de servicio es una ley exp ().
Modelar el sistema.
Plantear los sistemas de ecuaciones prospectivas y retrospectivas.
Plantear las ecuaciones en el equilibrio y resolverlas cuando exista solución.
En el equilibrio calcular la distribución del tiempo transcurrido entre dos salidas
consecutivas.
Intentar resolver el problema cuando cada llegada produce 3 clientes.
12.- En el sistema M/M/1 encontrar la densidad de la variable Wq condicionada por Wq
>0. Siendo Wq el tiempo que un cliente permanece esperando en el sistema (en cola), cuando
éste se encuentra en el equilibrio.
13.- Considerar el siguiente sistema. Una oficina municipal ofrece un servicio en el que
un solo funcionario atiende a los usuarios que llegan requiriendo dicho servicio. El tiempo de
servicio sigue una distribución exponencial de media 10 clientes por hora. Los usuarios llegan
según un proceso de Poisson de intensidad 7 clientes por hora. El sistema presenta la
particularidad de que hay un cliente especial, el tiempo entre las llegadas de este cliente especial
es una ley exponencial de media 1 hora independiente del proceso de las llegadas y de la
longitud de la cola. Este cliente cuando llega es atendido inmediatamente y desplaza al cliente
que está siendo servido. Se supone que solo hay un cliente especial.
Modelar el sistema como un proceso markoviano y plantear las ecuaciones en el
equilibrio.
Encontrar la probabilidad de que un cliente normal sea desplazado n veces.
Hallar el tiempo medio entre dos llegadas efectivas consecutivas del cliente
especial.
14.- Considerar un sistema en serie con dos fases y un canal en cada fase. Las llegadas
son un proceso de Poisson de intensidad λ y los servicios son exponenciales 1 y 2
respectivamente.
Suponer que un cliente que llega encuentra la primera fase vacía.
Calcular la probabilidad de que cuando este cliente llegue a la segunda fase la
encuentre también vacía.
15.- Considerar el sistema M[k]/M/1.
Modelar la longitud de la cola y plantear las ecuaciones prospectivas.
Encontrar la distribución en el equilibrio cuando exista (función generatriz) y la
longitud media de la cola.
16.- Dado el sistema M/G/1
Demostrar que la longitud media es mínima si el tiempo de servicio es constante.
Para este tiempo de servicio, calcular la distribución en el equilibrio.
17.- El número de clientes que llega a un banco es un proceso de Poisson de intensidad
λ). Si un cliente al llegar encuentra n usuarios, con probabilidad an espera y con probabilidad 1-an
se va. Suponer que hay 3 servidores igualmente hábiles y con tiempo de servicio esp()
Encontrar la distribución estacionaria del sistema cuando exista y calcular la
proporción de clientes perdidos (los que al llegar al banco no esperan y se van)
18.- Considerar el sistema M/M/1 con dos tipos de clientes, clientes de prioridad 1 y
clientes de prioridad 2. Los clientes de prioridad 1 tienen prioridad absoluta desplazando en la
ventanilla a los clientes de prioridad 2.
Modelar el sistema
Encontrar la probabilidad de que un cliente de tipo 2 complete su tiempo de
servicio sin ser desplazado de la ventanilla.
Encontrar el tiempo medio transcurrido desde que un cliente de tipo 2 fué
atendido por primera vez hasta que completó su servicio.
19.- Modificamos el sistema M / M /  de forma que el acceso al sistema sólo se permite
en los instantes nτ, de forma que todos los clientes llegados en el intervalo ((n-1) τ, nτ) entran
todos a la vez en el instante nτ.
Definimos Xn como el número de clientes en el sistema en el instante nτ.
Ver que Xn es una cadena de Markov y calcular sus probabilidades de transición.
Calcular la distribución en el equilibrio de la cadena.
Comparar esta distribución con la de la cola M/M/ .
20.- Sea una cola en serie con dos fases y un canal en cada fase. El sistema actúa de la
siguiente forma: Cuando se completa el servicio en la primera fase el cliente deja el sistema con
probabilidad 1-p o pasa a la segunda fase con probabilidad p. Cuando se completa el servicio en
la segunda fase el cliente pasa a la primera fase Suponer el sistema en el equilibrio.
Demostrar que las colas en las dos fases son independientes y que cada una de
ellas se comporta como una M/M/1 con intensidades de tráfico ρ1 = [λ/((1-p)1)] y
ρ2 = [λp/((1-p)2)]
Calcular el tiempo medio de permanencia en cada fase y el tiempo medio de
permanencia en el sistema.
21.- Los clientes llegan a un banco requiriendo un servicio según un proceso de Poisson
de intensidad λ. Los clientes son servidos según su orden de llegada. El tiempo de servicio es una
variable exp(); cuando el servidor acaba de servir a un cliente, sirve al siguiente, si lo hay, y si
no quedan clientes en la cola el servidor se retira de la ventanilla. En el momento que llega el
primer cliente después de que lo cola quedó vacía el servidor es avisado para que sirva a los
clientes, éste tarda un tiempo exp( ν) en incorporarse a la ventanilla y a partir de este momento
continua en servicio hasta que la cola se vacía de nuevo.
Proponer un modelo markoviano adecuado a este sistema.
Suponiendo el sistema en el equilibrio, plantear las ecuaciones de la distribución
estacionaria y calcular la función generatriz de la misma, caso de que exista.
Calcular el tiempo medio de permanencia de un cliente en el sistema.
¿Se verifica la fórmula de Little?
22.- Cola con entradas ordenadas y capacidad finita. Considerar una cola con dos canales.
Los dos servidores son homogéneos con tiempo de servicio exp(), las entradas son un proceso
de Poisson de intensidad λ. La capacidad del primer canal es M = 1 y la capacidad del segundo
canal es N = 2. Un cliente que llega al sistema si tiene sitio en el primer canal debe permanecer
en el, si no tiene sitio, pasa al segundo canal donde espera si tiene sitio y si no se va.
Plantear un modelo adecuado para el sistema y calcular la distribución en el
equilibrio.
23.- Dado el sistema M/G/1, consideramos las variables Xn longitud de la cola cuando se
va el cliente n- simo. Sean pn la distribución en el equilibrio de Xn , kn la probabilidad de que
lleguen n clientes en un tiempo de servicio y B(t) la distribución del tiempo de servicio.
Demostrar que las tres condiciones siguientes son equivalentes y comentar el
resultado.
pn es una distribución geométrica.
Kn es una distribución geométrica.
B(t) es una distribución exponencial.
24.- Un modelo bidimensional para la cola M/M/1. Denotamos el estado del sistema en el
instante t por el par (i, j) donde i es el número de llegadas y j es el número de salidas en el
intervalo (0, t).
Sea pi,j(t) la probabilidad de que el sistema esté en el estado (i,j) en el instante t.
Sea fi,j(s) la transformada de Laplace de pi,j(t).
Plantear un sistema de ecuaciones diferenciales para pi,j(t) y resolverlas por el
método de inducción para fi,j(s) .
i

  

 
Solución: f i , j ( s )  

  s  s
i
  s k 1 i  k i  k  1!

k
k!i!
k  0     s 
j
25.- Considerar un modelo de cola cíclica en el que hay K clientes que circulan entre dos
servidores, de manera que si hay n clientes en la cola del servidor 1, entonces hay k-n clientes en
la cola del servidor 2. Los servidores tienen tiempos de servicio exponenciales de parámetros λ y
 respectivamente.
Modelar el sistema y encontrar la distribución en el equilibrio.
Encontrar la longitud media de las dos colas.
Calcular el tiempo medio que tarda un cliente en completar un ciclo (pasar una
vez por cada servidor).
26.- (Reversibilidad de la cola M/M/1). Consideramos la cola M/M/1 en el equilibrio y
definimos D(t) como el número de clientes que ha completado servicio hasta el instante t.
Demostrar que D(t) es un proceso de Poisson. Indicación: Sea
p j t    pk pk , j t   P( D(t )  j ) ver que
k
p0, j t  t   tp1, j (t )  (1  y) po, j (t )  0(t );
pk , j t  t   tpk 1, j 1 (t )  tpk 1, j (t )  (1  (  )y) pk , j (t )  0(t );
Y establecer una ecuación diferencial para pj(t).
27.- Los clientes llegan a un sistema según un proceso de Poisson demandando un
servicio. El sistema espera a que haya Q clientes y los sirve a todos a la vez instantáneamente.
Sea N (t) el número de clientes esperando a ser servidos en el instante t. Suponemos N(0) = 0.
Definimos T = inf { t / N(t) = Q }.
Demostrar que E(T) = Q/ λ
T

E  N (t )dt  Q(Q  1)
2
0

Calcular la distribución de N(t) en el equilibrio.
Resolver las ecuaciones prospectivas utilizando la transformada de Laplace para
las probabilidades de transición.
28.- En una consulta médica los pacientes llegan según un proceso de Poisson. El doctor
espera a que haya 3 pacientes y entonces los atiende hasta que se vacía la sala de espera y a partir
de este momento se repite el proceso.
Modelar el proceso.
Plantear ecuaciones en el equilibrio y resolverlas.
Encontrar L y Wq.
29.- Considerar una red de Jackson con J nodos y cada nodo con un solo servidor. Las
llegadas desde el exterior a cada nodo son procesos de Poisson independientes con tasas j  0.
Los tiempos de servicio en cada nodo son variables exp(j) independientes entre si y de las
llegadas. La matriz de ruta de los clientes que completan servicio está dada por R matriz JxJ y
J
r j ,0  1   r j ,k
k 1
Dar el conjunto de estados de la red y sus transiciones.
Sean λj las intensidades efectivas de las llegadas a cada nodo. Escribir las
ecuaciones para λj y resolverlas cuando exista solución.
Escribir las ecuaciones en el equilibrio para la red y dar la solución a las mismas
cuando exista.
0 
 0 1 0


 0 0 1/ 2 1/ 2 
Suponer J=4 ´= (1,0,0,0) `= (5,6,4,8) R  
1 / 3 0 0 2 / 3


1 / 2 0 0 1 / 4 


Resolver las ecuaciones de las intensidades efectivas para las llegadas a cada
nodo.
Determinar Lj y Wj en cada nodo y de aquí calcular L y W.
Encontrar la distribución en el equilibrio de (N1, N3).
Y deducir que P(N1 > N3)=1/2
30.- Considerar el sistema M/M/  con la particularidad de que tenemos clientes de dos
tipos con llegadas Poisson de intensidades λ1 y λ2. Los servicios son exponenciales 1 y  2.
Modelar el sistema y encontrar la Distribución en el equilibrio (Viene dada en
forma producto)
Ver que en el equilibrio el proceso que modela la cola es reversible.
Suponer ahora que la capacidad de la sala es finita permitiendo solo K clientes
como máximo. Encontrar la distribución en el equilibrio en términos de la distribución
encontrada anteriormente.
31.- Considerar una red con tres nodos M/M/  y dos tipos de clientes. Los clientes de
tipo 1 y tipo 2 llegan desde el exterior al nodo 1 con intensidades 1 de cada tipo y no hay más
llegadas desde el exterior. Los clientes de tipo 2 siguen la trayectoria nodo 1, nodo 2, nodo 3 y
exterior. Los clientes de tipo 1 cuando completan servicio con probabilidad 1/2 permanecen en el
mismo nodo y pasan a clientes de tipo 2 y con probabilidad 1/2 siguen siendo clientes de tipo 1
moviéndose circularmente es decir del nodo 1 van al 2, del nodo 2 van al 3 y del nodo 3 van al
nodo1. Las tasa de servicio para los clientes de tipo 1 son 2 ,4 y 2 en los nodos 1 2 y 3 y las tasa
de servicio de los clientes de tipo 2 es de 3 en cada nodo.
Encontrar las tasa efectivas de las llegadas para los clientes de tipo 1 y de tipo 2
en cada nodo.
Encontrar el número medio de clientes en la red y el tiempo medio de
permanencia de un cliente en el sistema.
32.- Considerar una red cíclica con dos nodos con 3 clientes.
Modelar el sistema y escribir la matriz de las transiciones
Encontrar la Distribución en el equilibrio y Calcular la longitud media de cada
cola.
Lo mismo que antes pero mediante AVM
33.- Dada una red abierta de Jackson con 3 nodos. Nodos 1 y 2 reciben clientes del
0 0 1


exterior con intensidades 2 y 1 por minuto. La matriz R es  0 0 1  Los tiempos de servicio
 0 1/ 2 0


son exp de parámetros 3, 6 y 10
Calcula la intensidad real de las llegadas en cada nodo
El numero medio de clientes en el sistema en el equilibrio y la proporción del
tiempo que esta ocupado cada nodo.
El tiempo medio de permanencia de un cliente que llega al nodo 1 y al nodo 2
desde el exterior y el tiempo medio de permanencia en el sistema de un cliente que llega
al azar.
34.- Considerar el sistema M/M/1. Los clientes que llegan al sistema miran la cola y si
hay i clientes en el sistema permanecen en el con probabilidad 1/(i+1) y con probabilidad i/(i+1)
se van ; i = 0,1,2,....
Modelar la longitud del sistema y escribir las ecuaciones en el equilibrio. Resolver
estas ecuaciones y deducir que L = ρ.
Considerar el sistema en el equilibrio. Encontrar la tasa efectiva de llegada en los
dos casos siguientes
Un cliente que llega y entra al sistema cuando hay i clientes en el sistema
Un cliente que llega y entra al sistema.
Encontrar la Distribución en el equilibrio del número de clientes en el sistema
cuando entra un cliente al sistema
Sea W el tiempo de permanencia de un cliente en el sistema y sea  la tasa
efectiva de llegadas. Calcular W (la esperanza de W) y establecer la formula de Little.
35.- En el sistema M/M/1 un cliente que completa servicio, sale del sistema con
probabilidad 1- o pasa al ultimo de la cola con probabilidad .
Modelar el sistema, plantear las ecuaciones en el equilibrio y resolverlas cuando
exista la distribución en el equilibrio.
Calcular L, la distribución de W y ver si se verifica la fórmula de Little.
36.- El gerente de una tienda quiere abrir un servicio de venta de helados y para ello
pretende contratar a un empleado. Se supone que los clientes son atendidos según llegan. La
ganancia con cada helado vendido es de 0,6 €. Después de varias entrevistas el gerente duda
entre dos personas: Juan y Pablo. El tiempo medio de servicio de Juan es de 15 segundos, el de
Pablo es de 45 segundos, pero Juan cobra 10 € por hora mientras que Pablo cobra 6 € a la hora.
Las investigaciones de mercado han revelado que se espera una demanda de ventas de helado de
un cliente por minuto y que los clientes que llegan y encuentran a 3 personas en el sistema se van
a comprar el helado a otro punto de venta ajeno a la tienda. Suponer que tanto el tiempo entre
llegadas como el tiempo de servicio son exponenciales.
Ayuda al gerente en la decisión de contratar al trabajador teniendo en cuenta que
contratara a aquel trabajador que le deje más beneficios en media por hora.
Como Pablo realmente quiere el trabajo, le dice al gerente que estaría dispuesto a
rebajar su salario. ¿Hasta que precio podría rebajar su salario para ser competitivo con
Juan?
Pablo quiere el trabajo, pero no esta dispuesto a rebajar su salario por lo que hace
un master sobre venta de helados para resultar más competitivo. ¿En cuanto tiene que
reducir su tiempo de servicio para ser competitivo con Juan?
37.- (Difícil) En el sistema M/M/1 un cliente que completa servicio deja un ''paso libre''
con probabilidad 3/4. Un cliente que encuentra un ''paso libre'' cuando entra al servicio es servido
instantáneamente, es decir su tiempo de servicio es 0. Un cliente que usa un ''paso libre'' no deja
''paso libre'' para el siguiente servicio.
Modelar el sistema y plantear las ecuaciones en el equilibrio.
¿Que proporción de clientes, cuando llegan al sistema encuentran un ''paso libre''?
38.- Una compañía de correo urgente tiene 3 personas para recibir las llamadas
telefónicas de los encargos. Las llamadas se producen según un proceso de Poisson de intensidad
1 por minuto y la duración de las llamadas es una variable exp. de media 2 minutos.
Encontrar la probabilidad de que una llamada encuentre todas las lineas ocupadas.
Si suponemos que una llamada que encuentre todas las líneas ocupadas es un
cliente perdido. ¿Sería beneficioso contratar a una nueva persona, teniendo en cuenta que
el salario es de 6 € por hora y que la ganancia media por cliente es de 1,5 €?
39.- En el sistema M/M/ la distribución estacionaria del número de clientes en el
sistema tiene de media ρ. Si la distribución inicial de N (0) no es la distribución estacionaria,
entonces N (t) tiene de media m (t) = E(N (t)) = ρ
1 d
Demostrar que m (t) satisface la ecuación diferencial
m(t )    m(t )
 dx
Y resolverla. De las dos maneras siguientes
Planteando las ecuaciones prospectivas para las probabilidades de transición pn (t)
multiplicándolas por n y sumándolas
Considerando un intervalo de tiempo Δt y calculando el número esperado de
llegadas y salidas en este intervalo
40.- En media llegan 10 coches por hora a una estación lavacoches. El lavado de coches
tiene una duración media de 6 minutos. En la estación hay sitio para dos coches uno lavándose y
el otro esperando. Los coches que llegan y no tienen sitio se van a otro lavacoches.
Modelar el sistema, calcular la distribución en el equilibrio y el número medio de
coches lavados en una hora.
Modelar el sistema caso de que haya dos personas para lavar los coches y la
capacidad del sistema sea de dos coches, calcular la distribución en el equilibrio, el
numero medio de coches lavados en una hora y el tiempo de ocupación de cada
lavacoches.
41.- En el sistema M/M/n/n ordenamos los servidores con los números 1,2, ... n. Cada
cliente que entra al sistema recibe servicio del servidor libre con el menor número.
Calcular la proporción del tiempo que el servidor i esta ocupado.
42.- Un observador llega a un sistema M/M/n/n en un instante aleatorio T y lo encuentra
bloqueado
Encontrar la probabilidad de que en el instante t+T, este observador encuentre el
sistema en el mismo estado.
Suponer ahora que el observador no puede ver dentro del sistema, pero espera
hasta que llegue un cliente. Encontrar la probabilidad de que este cliente sea rechazado
43.-10 usuarios de una línea telefónica están conectados al mismo terminal. Durante las
horas punta cada usuario genera llamadas con una duración media de 3 minutos, el número
medio de llamadas es de 2 a la hora.
¿ Cuantas líneas necesita el terminal si se quiere asegurar que la probabilidad de
que una llamada se pierda, por no haber suficientes líneas sea menor o igual que 0.01?
Suponer las variables exponenciales.
44.- Sea el sistema M[X] /M/2/2 donde X toma los valores 1 y 2 con igual probabilidad. Si
solo hay un servidor libre y entran dos clientes, uno de ellos es rechazado. Los tiempos de
servicio y los tiempos entre llegadas son exponenciales de medias 1 y 3 minutos.
Modela el sistema, ecuaciones en el equilibrio y resuelve. Calcula la probabilidad
de bloqueo.
Suponer ahora que las llegadas son de una en una con tiempo entre llegadas de 2
minutos. Resolver las mismas cuestiones.
45.- Los clientes llegan a una estación de taxis según un P (λ). En la estación hay sitio
para K taxis y para infinitos clientes. Los taxis llegan según P (). Si llega a la estación y no
tiene sitio se va. Si hay clientes en la estación el taxi coge a un cliente y se va, si no hay clientes
espera en la estación.
Determinar la distribución estacionaria para los clientes y los taxis en la estación.
Si λ = 1/min. y  = 2/min. y K = 5. Encontrar la probabilidad de que un cliente
deba esperar por un taxi.
46.- Un club deportivo tiene 5 pistas de tenis. Los jugadores llegan según un proceso de
Poisson con intensidad de una pareja cada 5 minutos. El tiempo de juego es exp de media 40
minutos.
Suponer que una pareja llega y encuentra las pistas ocupadas y k parejas
esperando. Calcular el tiempo medio que deben esperar para empezar a jugar.
Calcular la distribución del tiempo de espera en la cola de una pareja que al llegar
encuentra todas pistas ocupadas. Y encontrar su media
47.- Un supermercado tiene dos cajas. Los clientes llegan a las cajas según Poisson de
intensidad 30 por hora. El numero de productos que cada cliente lleva esta uniformemente
distribuido en (1,2,...,30). Procesar un producto lleva 4 segundos.
Modelar el sistema
Encontrar el tiempo medio de espera de un cliente en la caja.
Suponer que las dos cajas están diferenciadas, la primera es la caja rápida y sirve a
clientes con k o menos productos, y la caja 2 sirve a clientes con más de k productos.
Encontrar el tiempo medio de espera en la caja. Encontrar el k óptimo (21)
48.- Considerar el sistema M/G/1 en el que el primer cliente en un periodo de ocupación
tiene un tiempo de servicio S1 y el resto un tiempo S2. Sea S el tiempo de servicio de un cliente
elegido al azar.
Razona que p0 =1-λE(S)
E(S) = p0E (S1)+ (1-p0) E (S2)
E (B) = {(E (S1)/ {1-λ E (S2)}+1-λ E(S)
49.- Considerar el sistema M/G/1. Sea V el numero de clientes que llegan en un tiempo
de servicio y sea ai = P (V>i)
Demostrar que E (V) = λE(S) = ρ = Σai
Sea M/G/1/4 tal que ai =1/3i+1 Calcular ρ
Determinar la distribución del número de clientes en el sistema