Colas - Ortiz Calero

LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL CON
LLEGADAS SEGÚN POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO
EXPONENCIALES:
Características de Operación




La línea de espera o cola tiene un solo canal de servicio.
El patrón de llegadas sigue una distribución probabilística de Poisson.
Los tiempos de servicio siguen una distribución probabilística exponencial.
La disciplina de la línea de espera o cola es “primero que llega, primero que se atiende”.
Variables que Intervienen
 = Numero promedio de llegadas por periodo (tasa promedio de llegadas).
 = Numero promedio de servicios por periodo (tasa promedio de servicio).
Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:
Numero promedio de unidades en la línea de espera (largo de la fila):
Numero promedio de unidades en el sistema (largo total):
Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera:
Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:
Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener
servicio:


P0  1 
2
Lq 
(   )
L  Lq 
Wq 


Lq

W  Wq 
Pw 
1



n
Probabilidad de que haya “n” unidades en el sistema:

Pn    P0

1
1
Una estación de servicio recibe clientes a razón de 12 cada 5 minutos; y es capaz de atender en promedio a 32
clientes cada 10 minutos. Determine las principales características de la línea de espera que se genera.
2
A un negocio llega en promedio un cliente cada 4 minutos. Dicho negocio tiene (en su única estación de servicio)
un tiempo promedio de servicio de 2.5 minutos por cliente.
a) ¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema?
b) ¿Qué tiempo pasa en promedio un cliente en el sistema?
c) ¿Cuál es en promedio el número de clientes que esperan servicio?
d) ¿Cuál es el tiempo promedio de espera de un cliente?
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Unos camiones utilizan una estación de carga de un solo canal.
La tasa promedio de llegadas es de 12 camiones por día y de servicio es de 18 camiones por día.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya camiones en el sistema?
b) ¿Cuál es el número promedio de camiones que esperan para obtener servicio?
c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un camión para que comience el servicio de carga y descarga?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que un camión recién llegado tenga que esperar?
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La peluquería “La tijera de oro” cuenta con un peluquero. Los clientes llegan a razón de 11 por cada 5 horas, y los
cortes de pelo se realizan a una tasa promedio de 5 por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en la peluquería?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un cliente al que se le este cortando el pelo y que no haya ninguno
esperando?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un cliente al que se le esta cortando el pelo y haya 2 esperando?
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La mesa de consultas de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Suponga una tasa media de 10
solicitudes por hora; y que los tiempos de servicio tienen una tasa media de 12 solicitudes por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna solicitud de ayuda en el sistema?
b) ¿Cuál es el número promedio de solicitudes que están esperando servicio?
c) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos, antes de que se inicie el servicio?
d) ¿Cuál es el tiempo promedio de cada solicitud en la mesa de consultas?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar servicio?
6
Los pacientes llegan al consultorio de un dentista a una tasa promedio de 3 por hora. El medico puede atender a
los pacientes a una tasa promedio de 4 por hora.
a) ¿Cuál es el número promedio de pacientes en la sala de espera?
b) Si un paciente llega a las 5:40 PM, ¿en que tiempo se espera que el paciente salga del consultorio?
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8
Un banco opera una ventanilla de cajero para automovilistas que permite a los clientes efectuar transacciones
bancarias completas sin tener que salir de su auto. En las mañanas, las llegadas a la ventanilla del cajero ocurren
con una tasa media de 24 por hora. Los tiempos de servicio para el cajero tienen una tasa media de 36 clientes
por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema?
b) ¿Cuál es el número promedio de clientes esperando?
c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema?
d) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente espera?
e) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar?
Al inicio de la temporada futbolística, la taquilla de boletos esta muy llena el día previo al primer partido. Los
aficionados llegan a un ritmo de cuatro cada diez minutos, y el tiempo medio que emplea el taquillero en atender
a cada uno es de dos minutos.
a) ¿Cuál es el número promedio de aficionados haciendo cola?
b) ¿Cuál es el tiempo medio que un aficionado emplea en obtener su boleto?
2
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10
Debido a un reciente aumento del negocio, la secretaria de un bufete de abogados debe escribir en promedio 20
cartas al día. Ella tarda aproximadamente 20 minutos en escribir cada carta. Si trabaja ocho horas diarias:
a) ¿Cuál es el tiempo medio de espera de una carta antes de ser escrita por la secretaria?
b) ¿Cuál es el número medio de cartas que esperan ser escritas?
c) ¿Qué probabilidad hay de que la secretaria tenga que escribir cinco cartas o más?
Una compañía llantera ha decidido contratar a un nuevo mecánico para que maneje todos los cambios de llantas
para los clientes que ordenan un conjunto nuevo de llantas.
Dos mecánicos han solicitado el empleo: Uno tiene poca experiencia y se le puede contratar por US $7 la hora. Se
espera que este operario pueda atender un promedio de 3 clientes por hora; El otro tiene varios años de
experiencia, puede dar servicio a 4 autos por hora, pero se le debe pagar la hora a US $10.
Supóngase que los clientes llegan al taller a razón de 2 por hora:
a) Calcule las características de operación de la línea de espera para cada mecánico.
b) Si la compañía asigna un costo al tiempo de espera de los clientes de US $15 la hora, ¿Qué mecánico ofrece
el menor costo de operación?
11
A la esclusa de “La Crosse” en el río Mississippi llegan barcazas a razón de una cada dos horas, en promedio.
Como promedio se necesitan 30 minutos para hacer pasar una barcaza por la esclusa. Calcular:
a) la cantidad de barcazas promedio en el sistema.
b) la cantidad de barcazas promedio en la línea de espera.
c) el tiempo promedio que espera una barcaza en la línea.
d) el tiempo promedio que pasa una barcaza en el sistema.
e) la probabilidad de que el sistema este vacío.
12
Una agente de inmigración del aeropuerto Heathrow de Londres podría procesar un promedio de 120 personas
que llegan durante sus ocho horas de servicio si estuviese constantemente ocupada.
Si a su estación llega un promedio de un ingreso cada seis minutos, encuentre:
a) el número de personas promedio en el sistema.
b) el número promedio de personas en la línea de espera.
c) el tiempo promedio que cada persona espera en la línea.
d) la probabilidad de que no haya personas en su estación.
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El túnel de lavado de automóviles de Dan Bower esta abierto seis días por semana, pero el día de mayor trabajo
es siempre el sábado. De sus datos históricos, se estima que los autos llegan los sábados a razón de 20 por hora,
y el túnel, trabajando a su máxima eficiencia puede lavar un automóvil cada dos minutos. Determine lo siguiente:
a) el número promedio de automóviles en la cola.
b) el tiempo promedio de un automóvil en la cola.
c) el tiempo promedio que un auto pasa en el sistema.
d) la probabilidad de que no haya autos en el sistema.
e) Dan Bower esta pensando en cambiar su túnel de lavado por uno mas moderno, que lava un automóvil en
un minuto. ¿Cuáles serian los resultados de los incisos anteriores?
14
Los clientes llegan a una maquina automática expendedora de café a una tasa de 4 por minuto. La maquina de
café suministra una tasa de café a un ritmo constante de 10 segundos.
a) ¿Cuál es el número medio de personas haciendo cola por su café?
b) ¿Cuál es el número medio de personas en el sistema?
c) ¿Qué tiempo debe esperar una persona en promedio antes de recibir su café?
d) ¿Qué tiempo pasa en promedio una persona en el sistema?
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La caja de un pequeño supermercado es capaz de atender hasta 35 clientes por hora. A dicha caja llegan en
promedio 25 clientes por hora. Determine:
1. la probabilidad de que no haya que esperar para ser atendido en la caja.
2. la longitud promedio de la fila que se genera.
3. el tiempo promedio en minutos que una persona espera haciendo fila.
4. el tiempo promedio en minutos que una persona permanece en el sistema.
5. la probabilidad de que haya 4 clientes en el sistema.
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LINEAS DE ESPERA DE CANALES MULTIPLES CON
LLEGADAS SEGÚN POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO
EXPONENCIALES:
Las diferencias en las características de operación con respecto al primer modelo son las siguientes:
 la única línea de espera tiene 2 o mas estaciones de servicio (canales).
 la tasa promedio de servicio es igual en todas las estaciones.
Las variables adicionales que intervienen son las siguientes:
k = Numero de estaciones de servicio o canales.
Cw
Ck
= Costo de la espera por periodo para cada unidad.
= Costo del servicio por periodo por cada estación de servicio o canal.
Probabilidad de que no haya unidades en el
sistema:
Numero promedio de unidades en la cola:
Numero promedio de unidades en el sistema:
Tiempo promedio de cada unidad en la cola:
Tiempo promedio de cada unidad en el
sistema:
Probabilidad de que una unidad que llega
deba esperar:
Probabilidad de que haya “n“unidades en el
sistema:
Costo total por periodo:
PO 
1
k 1
( /  ) n ( /  ) k

n
!
k!
n 0
 k 


 k   

Lq 
(  /  ) k 
(k  1)! (k   ) 2

L  Lq 

Lq
Wq 

1
W  Wq 

1 
Pw   
k!   
k
P0
 k 

 P0
k





( /  ) n
Pn 
P0
n!
( /  ) n
Pn 
P0
k! k ( n k )
para
nk
para
n> k
CT  Cw L  Ck k
4
Valores de Po
Razón
/
0. 15
0. 20
0. 25
0. 30
0. 35
0. 40
0. 45
0. 50
0. 55
0. 60
0. 65
0. 70
0. 75
0. 80
0. 85
0. 90
0. 95
1. 00
1. 20
1.40
1. 60
1. 80
2. 00
2. 20
2. 40
2. 60
2. 80
3. 00
3. 20
3. 40
3. 60
3. 80
4. 00
4. 20
4. 40
4. 60
4. 80
k
2
0. 8605
0. 8182
0. 7778
0. 7391
0. 7021
0. 6667
0. 6327
0. 6000
0. 5686
0. 5385
0. 5094
0. 4815
0. 4545
0. 4286
0. 4035
0. 3793
0. 3559
0. 3333
0. 2500
0. 1765
0. 1111
0. 0526
3
0. 8607
0. 8187
0. 7788
0. 7407
0. 7046
0. 6701
0. 6373
0. 6061
0. 5763
0. 5479
0. 5209
0. 4952
0. 4706
0. 4472
0. 4248
0. 4035
0. 3831
0. 3636
0. 2941
0. 2360
0. 1872
0. 1460
0. 1111
0. 0815
0. 0562
0. 0345
0. 0160
4
0. 8607
0. 8187
0. 7788
0. 7408
0. 7047
0. 6703
0. 6376
0. 6065
0. 5769
0. 5487
0. 5219
0. 4965
0. 4722
0. 4491
0. 4271
0. 4062
0. 3863
0. 3673
0. 3002
0. 2449
0. 1993
0. 1616
0. 1304
0. 1046
0. 0831
0. 0651
0. 0521
0. 0377
0. 0273
0. 0186
0. 0113
0. 0051
5
0. 8607
0. 8187
0. 7788
0. 7408
0. 7047
0. 6703
0. 6376
0. 6065
0. 5769
0. 5488
0. 5220
0. 4966
0. 4724
0. 4493
0. 4274
0. 4065
0. 3867
0. 3678
0. 3011
0. 2463
0. 2014
0. 1646
0. 1343
0. 1094
0. 0889
0. 0721
0. 0581
0. 0466
0. 0372
0. 0293
0. 0228
0. 0174
0. 0130
0. 0093
0. 0063
0. 0038
0. 017
5
1
2
3
4
5
6
Una oficina gubernamental de asesoria fiscal, trabaja corrido durante 8 horas al día, y tiene 3 asesores que dan
servicio al público. En promedio llegan diariamente 105.6 clientes; y también en promedio, cada asesor se tarda
10 minutos en asesorar a cada uno. El sueldo por hora de cada asesor es de $120.00; y los directivos de la oficina
estiman que el costo de espera por hora de los asesorados es de $40.00.
a) ¿Qué probabilidad existe de que no haya clientes en el sistema?
b) ¿Cuántos clientes en promedio esperan asesoria?
c) ¿Cuántos clientes en promedio hay en el sistema?
d) ¿Cuántos minutos pasa en promedio un cliente esperando?
e) ¿Cuánto tiempo pasa en promedio un cliente en la oficina?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar para recibir asesoria?
g) ¿Cuál es el costo total por hora de la operación de dicha oficina de asesoria fiscal?
Un banco usa 3 cajeros automáticos los sábados y domingos para atender a sus clientes. Según sus estudios
preliminares, los clientes llegan a razón de 20 por hora, y cada uno tarda en promedio 6 minutos haciendo sus
operaciones. Los clientes forman una sola cola y son atendidos por el primer cajero automático disponible.
Calcule:
a) La probabilidad de que no haya ningún cliente esperando servicio.
b) La cantidad de personas que en promedio hay en la fila.
c) El tiempo promedio de cada persona en la fila de espera.
d) El tiempo promedio que una persona pasa en el sistema.
e) El numero promedio de personas en el sistema.
El centro de cómputo de una universidad reserva 4 PCs para trabajadores administrativos. Se ha observado que
en promedio llegan 24 trabajadores en cada intervalo de 2 horas; y que en promedio el tiempo que emplean la PC
es de 15 minutos. Calcule:
a) la probabilidad de que todas las PCs estén ocupadas.
b) el número promedio de trabajadores haciendo fila de espera.
c) el tiempo promedio que pasa un trabajador en la línea de espera.
d) el número promedio de trabajadores en el sistema.
e) el tiempo promedio que pasa un trabajador en el sistema.
Un conmutador telefónico tiene siete líneas. Las llamadas llegan a razón de dos por minuto, y las conversaciones
tienen una duración promedio de cinco minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 líneas ocupadas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema este ocupado en su totalidad?
Dos técnicos controlan un conjunto de cinco computadoras que gestionan una planta de fabricación
automatizada. Ajustar un computador que presenta un problema, supone un promedio de quince minutos. Cada
computador funciona un promedio de 85 minutos sin necesitar ajustes. Determinar:
a) el número de computadores promedio en espera de ser ajustados.
b) el número medio siendo ajustados.
c) el número medio de computadores estropeados.
En la cafetería de la universidad se produce una cola en el autoservicio de comidas, donde los estudiantes
seleccionan los platos que desean y entonces forman una cola única para pagar en la caja. Los estudiantes
llegan a una tasa de unos cuatro por minuto. El cajero único emplea unos 12 segundos por cliente.
a) ¿Qué probabilidad existe de que haya mas de dos estudiantes en el sistema?, ¿Mas de tres?, ¿Mas de
cuatro?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema este vacío?
c) ¿Cuánto tiempo deberá esperar el estudiante promedio antes de llegar a la caja?
d) ¿Qué número de estudiantes en promedio hay en la cola?
e) ¿Cuál es el número promedio de estudiantes en el sistema?
f) Si se añade un segundo cajero que trabaja al mismo ritmo, ¿Cómo se modifican los valores anteriores?
Suponga que los estudiantes hacen una cola única y van con el primer cajero libre cuando les toca su turno?
6
7
El administrador de un puerto desea investigar la probabilidad de agrandar el muelle, de manera que se pueda dar
servicio de combustible simultáneamente a dos embarcaciones. Suponga que la tasa media de llegadas es de 5
embarcaciones por hora; y que la tasa media de servicio tiene un promedio de 10 embarcaciones por hora.
¿Cuál es la probabilidad de que en determinado momento el muelle este ocioso?
8
Considere una línea de espera de dos canales. La tasa media de llegadas es de 14 unidades por hora, y la tasa
media de servicio es de 20 unidades por hora en cada uno de los canales.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?
b) ¿Cuál es el número promedio de unidades en el sistema?
c) ¿Cuál es el tiempo promedio que una unidad esperara para que le den servicio?
d) ¿Cuál es el tiempo promedio que una unidad estará en el sistema?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para recibir servicio?
9
En el problema anterior, se amplía el servicio y ahora es de tres canales.
Suponiendo que el costo de operación de cada estación de servicio es de $200.00 por hora; y que se estima que
la espera de los clientes cuesta $250.00 la hora, ¿Fue buena decisión ampliar el número de canales de servicio?
10
Una empresa proporciona a sus clientes asistencia en la decoración domestica y de oficinas. En operación
normal, llegan un promedio de 2.5 clientes por hora. Un asesor de diseño esta disponible para responder las
preguntas de los clientes y dar recomendaciones del producto. El asesor promedia 10 minutos con c/u de ellos.
a) Calcule las características de operación de la línea de espera de los clientes.
b) Las metas de servicio indican que un cliente que llega no debe esperar para que lo atiendan más de 5
minutos en promedio. ¿Se esta cumpliendo esta meta?. De lo contrario, ¿Qué acción recomendaría usted?
c) Si el asesor puede reducir el tiempo promedio que utiliza por cliente a 8 minutos, ¿Cuáles serian las
respuestas a los incisos anteriores?
d) Si se decide utilizar un asesor mas, considerando que cada uno emplee 10 minutos con cada cliente, ¿Cuál
seria el resultado?
e) Si se les paga 16 dólares por hora a los asesores, y el tiempo de espera de los clientes se evalúa en 25
dólares la hora, ¿Es buena decisión emplear a dos asesores?
11
Un expendio de comida rápida esta considerando la operación de servicio de alimentos en una ventanilla para
autos. Suponga que la llegada de los clientes es de 24 autos por hora. Los clientes que llegan hacen sus pedidos
en una estación de intercomunicación electrónica en la parte trasera del estacionamiento y después manejan
hasta la ventanilla de atención a clientes para pagar y obtener su pedido. Están considerando las siguientes tres
opciones de servicio:
I.
Operación con un solo canal, en la que un empleado cobra y surte el pedido al cliente. El tiempo
promedio para esta alternativa es de 2 minutos.
II.
Una operación con un solo canal, en donde un empleado cobra, mientras que un segundo empleado
surte el pedido al cliente. El tiempo promedio para esta alternativa es de 1.25 minutos.
III.
Una operación con dos canales, con dos ventanillas de atención a clientes y dos empleados. El empleado
de cada ventanilla cobra y surte el pedido del cliente que llega a su ventanilla. El tiempo promedio para
esta alternativa es de 2 minutos por cada canal.
Calcule las siguientes características de operación para cada una de las opciones:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el expendio de comida rápida?
b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan para ser atendidos?
c) ¿Cuál es el tiempo promedio que un auto espera para ser atendido?
d) ¿Cuál es el tiempo promedio que un automóvil pasa en el expendio?
e) ¿Cuál es el número promedio de autos en el expendio?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llega al expendio tenga que esperar para ser atendido?
Esta disponible la siguiente información sobre costos para el expendio de comida rápida:

Se considera que el tiempo de espera de los clientes vale US$ 25.00 la hora, y este valor refleja el hecho de
que el tiempo de espera es costoso para el negocio.

La paga de cada empleado es de US$ 6.50 la hora.

Para tomar en consideración el equipo y el espacio, se estima a cada canal o estación de servicio un costo
adicional de US$ 20.00 por hora.
g) ¿Cuál es el diseño de menor costo para este negocio de comida rápida?
7
12
13
14
Un cibercafe abre sus puertas 8 horas diariamente, para rentar por minuto sus cuatro PC’s.
La tasa de llegadas es de 72 usuarios al día; y en promedio, cada uno tarda 20 minutos usando una PC.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado momento no haya clientes en el sistema?
b) ¿Cuánto tiempo pasa en promedio cada cliente en espera de que se desocupe alguna PC?
Una bolsa de trabajo labora en turnos de 6 horas y en promedio recibe a 84 solicitantes por turno.
Las personas encargadas de entrevistar a cada solicitante y recibirle su documentación emplean en promedio 12
minutos en atender a cada uno.
El sueldo que recibe por hora cada asesor es de $60.00; los administradores de la bolsa de trabajo estiman que el
costo de espera es de $20.00 por hora por cada solicitante, y que el espacio, mobiliario y costo por turno de cada
estación de servicio es de $45.00.
Determine el costo de operar con:
1. Una estación de servicio.
2. Dos estaciones de servicio.
3. Tres estaciones de servicio.
4. ¿Cuál es la mejor opción de las tres anteriores? ¿Por qué?
Una central de noticias cuenta con 54 computadoras que están recibiendo información de todas partes del mundo
constantemente. Se pretende determinar cual es la cantidad óptima de técnicos que deben dar servicio y asesoria
a los usuarios de las computadoras.
Actualmente se observa que cada 10 minutos se solicita una asesoria y/o servicio, cada uno de los cuales en
promedio tiene una duración de 20 minutos.
Suponiendo que el sueldo por hora de un asesor es de $100.00, y que el costo de hacer esperar a un solicitante
de asesoria y/o servicio cuesta a la empresa $40.00 por hora, calcular el costo horario de tener:
a) un asesor.
b) dos asesores.
c) tres asesores.
d) cuatro asesores.
e) ¿cuál es la mejor opción?
Sugerencia:
f)
g)
h)
15
CT  L q C w  kCk
¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 trabajadores esperando en la opción del inciso a)?
¿Cuánto tiempo debe esperar en promedio un trabajador en la opción del inciso b)?
¿Cuánto tiempo pasa en el sistema un trabajador en la opción del inciso d)?
Una tienda de insumos electrónicos cuenta con una caja para cobrar a sus clientes, misma a la que llegan en
promedio de 216 clientes en el turno de 12 horas en que permanece abierta al publico.
La cajera se tarda en promedio 3 minutos en cobrar a cada cliente.
1. ¿Cuál es la probabilidad de comprar y no tener que esperar para pagar?
2. ¿Cuántas unidades en promedio están formadas en la cola?
3. ¿Cuántas unidades en promedio hay en el sistema?
4. ¿Cuántos minutos hay que esperar formado?
5. ¿Cuántos minutos se pasan en el sistema?
6. ¿Cuál es la probabilidad de querer pagar y tener que esperar?
7. ¿Cuál es la probabilidad de llegar a la cola o fila y que haya 4 personas en ella?
8. Si a la cajera se le pagan $90.00 por la jornada de 12 horas, y si se estima que el costo de espera por hora
es de $150, ¿Cuántas cajas conviene tener para minimizar los costos?
9. Con el numero de cajas que resultaron del inciso 8, ¿Cuántas unidades hay formadas ahora en
promedio?
10. Con el número de cajas que resultaron del inciso 8, ¿Cuántos minutos hay que esperar ahora en
promedio formado en la fila?
8