Física Departamento de Física Aplicada. Facultad Ciencias Químicas. U.C.L.M.

Física
Departamento de Física Aplicada.
Facultad Ciencias Químicas. U.C.L.M.
FUERZAS CENTRALES. GRAVITACIÓN.
1) Dos cuerpos de masas m y 2m se encuentran en los vértices de un triángulo de lado a. Encontrar:
a) El campo y potencial gravitatorio en el punto medio del lado que los une. Repetir en el otro
vértice.
b) Evaluar el trabajo necesario para trasladar una tercera partícula de masa m/2 entre los dos
puntos estudiados en el apartado anterior.
Solución:



4Gm 
6Gm
Gm 
3Gm
(a) E puntomedio  2 u 2 m  m V puntomedio  
E vértice   2 2u 2 m  u m  Vvértice  
a
a
a
a
2
3Gm
(b) W  
2a
donde u2m-m es un vector unitario orientado desde la masa 2m hacia m y u2m y um son vectores
unitarios orientados desde el vértice libre hacia las masas 2m y m, respectivamente.
2) A un cuerpo se le comunicó una velocidad v0 verticalmente hacia arriba en uno de los polos de la
Tierra. Conociendo el radio de la Tierra y la aceleración de caída libre g, determinar hasta que
altura asciende el cuerpo.
Solución: h=(RTv02)/(2gRT-v02)
3) (examen) Encontrar la velocidad y la altura de un satélite de masa m que describe una órbita
circular geoestacionaria en el plano ecuatorial alrededor de la Tierra. ¿Qué impulso deberá
suministrarse al satélite para lanzarlo a dicha órbita desde la superficie terrestre? Radio de la Tierra,
RT=6,38·106 m, Masa de la Tierra, MT=5,98·1024 Kg.
Nota: Por órbita geoestacionaria se entiende aquélla en la que la partícula permanece sobre el
mismo punto de la Tierra todo el tiempo.
Solución: h  36100km v=3,1km/s. Velocidad de lanzamiento, v0 10,4km/s
4) Ocho esferas pequeñas iguales y de masa m están situadas en los vértices de un cubo de lado a.
a) Determinar la energía que se necesitó para formar la citada configuración de esferas.
b) Calcular la energía necesaria para arrancar una de las esferas.
4Gm2  3 2
3
 3 
 (b) E   E0 / 4
Solución: (a) E0  

a 
2
3 
5) De alguna forma se lanza un objeto desde la superficie de la Luna y directamente hacia la Tierra
con una velocidad v0.
a) Dibujar el diagrama de la energía potencial del objeto debido a la acción de la Tierra y la
Luna. Tomar el centro de la Tierra como origen del sistema de referencia.
b) Calcular el valor mínimo de v0 que se necesita para que dicho objeto llegara hasta la
superficie terrestre. En tal caso, determinar la velocidad de llegada.
Datos: Radio de la Tierra, RT=6,38·106 m; radio de la Luna, RL=1,74·106 m; Masa de la Tierra,
MT=5,98·1024 Kg; Masa de la Luna, ML=0,0123·MT; distancia entre la Tierra y la Luna, d=60,2·RT.
Solución: v0  2,16km/s
v  11,3km/s
6) Se fabrica un anillo de masa M=100g. y radio R= 20cm. cuyo grosor puede despreciarse.
a) Hallar la fuerza F con la que dicho anillo atrae a cualquier punto situado en su eje de
simetría (eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro). Obtener, si existe,
la función de energía potencial.
b) Se sitúa una partícula de masa m=2 g. a una distancia r=2R del centro y en el mencionado
eje. ¿Calcular el valor de la velocidad con la que pasaría por su centro?.


 GMm x 
 GMm
5

Solución: (a) F 
i Ep 
(b) v  G1 
3
/
2
5 
R2  x2
R2  x2



7) (examen) Una nave estacionada en el espacio a una distancia r0=2RT del centro de la Tierra
dispara en sentidos contrarios, dos proyectiles de masas m0 y 2m0. Responder a los siguientes
apartados:
a) Encontrar el valor de las velocidades con las que debe lanzar a los proyectiles para que éstos
realicen órbitas circulares de radio r0 en torno a la Tierra. RT=6,38·106 m.
b) Encontrar el punto de la órbita circular donde chocarán ambos proyectiles y calcular sus
velocidades después del choque perfectamente elástico.
Solución: (a) 5,65km/s para ambos (b) Chocarán en el lugar diametralmente opuesto al de partida.
Después del choque, vm= -9,41km/s y v2m=1,83km/s
8) Una nave cósmica se dirige hacia la Luna siguiendo una trayectoria parabólica que casi toca la
superficie de esta última. En el momento de máxima aproximación se conecta por poco tiempo un
motor de frenado y la nave pasa a realizar una órbita circular en torno a la Luna. Hallar el
incremento del módulo de la velocidad de la nave durante el frenado.
GM L
Solución: v  1  2
RL


9) Un satélite de masa m describe una órbita elíptica en torno a la Tierra. Sabiendo que su distancia
de máximo acercamiento respecto a la Tierra es rC=6RT y que su velocidad en dicho punto es
vC=(1/2)(gRT)1/2, calcular:
a) La distancia de máximo alejamiento y su velocidad en dicho lugar, rL y vL, respectivamente.
b) La velocidad mínima con la que debe lanzarse un cohete de masa m’ desde la superficie
terrestre para chocar con el satélite a la distancia rC de la Tierra.
c) El valor de la masa del cohete, m’, necesario para que después del choque inelástico y
frontal, ambas partículas unidas describan una órbita circular de radio rC en torno a la
Tierra.
Solución: (a) rL=114840 km vL=1,33 km/s (b) 10,31 km/s (c) m’ 0.225m
10) ¿Qué velocidad, v0, hay que comunicar horizontalmente a un cuerpo en la superficie terrestre y
en uno de los polos de la Tierra, para que realice una órbita elíptica de semieje mayor a en torno a
la Tierra? Nota: Empleando los teoremas de conservación de la energía total y el momento angular,
se puede demostrar que la energía total de una partícula de masa m en una trayectoria elíptica de
semieje mayor a en torno a la Tierra, viene dada por la expresión E= -GMTm/2a.
Solución:
v0 
gRT
2a  RT 
a