PARÁMETROS CENTRALES Piensa que estás de vacaciones en la playa o en la montaña y tienes que explicarles a tus nuevos amigos las características de tus compañeros de clase dándoles un solo dato de los siguientes aspectos. ¿Qué datos son los que darías y porqué esos y no otros? a) Edad de tus compañeros. b) Estatura de tus compañeros. c) Color del pelo. d) Peso. e) Nota de tecnología. f) Número de horas diarias que ven la televisión. g) Número de horas diarias que estudian. h) Delegado de clase. Cuando tenemos que manejar un montón de datos es conveniente disponer de un valor representativo de todos ellos. Por ejemplo, si tenemos una tabla con las temperaturas diarias del mes de Enero y queremos dar un valor aproximado de la temperatura ambiente en Valencia durante este mes, podemos hacer lo siguiente: Temperatura Frecuencias (Ti) 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 15.5 16.5 17.5 (Fi) 5 9 5 7 2 2 0 1 T= Podemos tomar como valor representativo la temperatura de 11.5ºC que es la que más se repite a lo largo del mes. Por este motivo, a este valor se le llama MODA. Podemos tomar la MEDIA aritmética sumando los valores de cada día y dividiendo entre el nº total de días: = (tener en cuenta que cada valor hay que multiplicarlo por su frecuencia ya que la frecuencia es el nº de veces que se repite dicho valor y hay que contarlo tantas veces como aparezca) Podemos coger todos los valores de temperatura del mes (31 valores) ordenados de menor a mayor y tomar como valor representativo el que quede en el medio: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5 11.5 12.5 12.5 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 12.5 12.5 12.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 14.5 14.5 15.5 15.5 17.5 (tampoco era necesario escribirlos todos, como tenemos 31 valores, el intermedio será el nº 16 y como sabemos las frecuencias basta ver dónde cae el 16 ) A este valor se le llama la MEDIANA. Preguntamos a un grupo de alumnos la cantidad de dinero que llevaban en el bolsillo y ordenamos las respuestas en la siguiente tabla: Cantidad Nº de en pesetas alumnos 50 10 60 6 70 2 200 2 400 1 Representa gráficamente los datos (diagrama de barras). Calcula la media. ¿Sería correcto pensar que la mayoría de los alumnos pueden gastar 85 ptas.? Calcula la moda y la mediana. ¿Cuál crees que es el valor más representativo? PARÁMETROS DE DISPERSIÓN Los “parámetros de dispersión” nos indican si los valores de los datos que manejamos están cercanos a la media (y en ese caso la media será un buen valor representativo) o alejados de ella (y en este caso la media no será bueno para representar al conjunto de valores). Se llama DESVIACIÓN de un valor a la diferencia entre este valor y la media. Calcula las desviaciones de cada uno de los valores de temperatura del mes de enero sabiendo que la media es 12,6ºC. Temperatura Frecuencias Desviación (Ti) 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 15.5 16.5 17.5 (Fi) 5 9 5 7 2 2 0 1 (T-Ti) Podíamos pensar que si la media de estas desviaciones es grande, los datos están muy dispersos (alejados de la media) y en ese caso la media no sería un buen valor representativo; en caso contrario, si la media de las desviaciones es pequeña los datos deben estar muy concentrados alrededor de la media y ésta si será un buen valor representativo. Sin embargo, esta media es siempre igual a cero: MEDIA DESVIACIONES = Esto ocurre porque algunos de los valores de las desviaciones son positivos y otros negativos, y se van compensando unos con otros, sin embargo, esto no quiere decir que los valores estén todos junto a la media, lo que ocurre es que deberíamos preocuparnos solo de “la distancia” de cada valor a la media, no de su signo. Por este motivo se utilizan las desviaciones al cuadrado (que son todas positivas) y se calcula la media de todas ellas. A esto se le llama VARIANZA. Calcular la varianza para los valores de la temperatura del mes de enero: Temperatura Frecuencias Desviación Desviación al cuadrado (Ti) 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 15.5 16.5 17.5 (Fi) 5 9 5 7 2 2 0 1 (T-Ti) (T-Ti) VARIANZA (V) = La varianza no puede compararse con la media ya que se ha hecho el cuadrado; para establecer conclusiones hay que hacer de nuevo la raíz cuadrada. A esto se le llama DESVIACIÓN TÍPICA (). Calcular la desviación típica de las temperaturas del mes de enero. Ahora si podemos comparar, si la desviación típica es pequeña los valores estarán cercanos a la media, y si es grande los valores estarán dispersos y la media no será un buen valor representativo. PROBLLEMA Dos grupos de un centro van a hacer una acampada reuniendo dinero a lo largo del curso. Al final en cada grupo se repartirán entre todos el dinero que haya. El encargado hace un balance con los beneficios obtenidos el primer mes: GRUPO A Cantidad de ptas. 200 300 700 900 Nº de alumnos 3 2 1 1 GRUPO B Cantidad de ptas. 350 400 500 N.º de alumnos 2 4 1 1.- ¿A cuánto tocan los alumnos del grupo A? ¿y los del B? 2.- Algunos alumnos del grupo A protestan por la cantidad recibida, los del grupo B protestan menos ¿por qué? 3.- ¿Cuál es la media aritmética en ambos grupos? 4.- Calcula las desviaciones de cada valor en ambos grupos y también las desviaciones al cuadrado. 5.- Calcula la desviación típica de cada grupo. Como ves, en el grupo B la desviación típica es mucho menor que en el grupo A ya que la dispersión de los datos es menor, están más agrupados hacia la media. En este caso la media (400 ptas.) es un buen valor representativo. En el grupo A los valores son mucho más dispersos y la media (400 ptas.) no es un buen valor representativo del grupo.