APLICACIONES DE CALC DIF

Métodos cuantitativos en las Finanzas
Ing. William Mendoza
APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
1. Cálculo del interés compuesto capitalizable continuamente
Si se deposita en una cuenta de ahorros un capital P a una tasa de interés anual j y el
interés se capitaliza m veces al año, entonces el monto de la cuenta al cabo de x años
está dado por :
j 

S  P 1 

m

m x
Por lo tanto, si el interés se capitaliza continuamente, el monto al cabo de x años será:
j 

S  lím P  1 

m
m

m x

= P lím  1 
m

j 

m
m x


= P lím 1  t  t = P  lím 1  t  t 
t0
t0


j
S  Pe
x
1
jx
, con t=
j
m
.
j x
2. Costo marginal
Si al producir x unidades de un bien específico el costo total está dado por la función
y=c(x), entonces el costo medio por unidad, c ( x ) , se obtiene así:
c( x ) 
c( x )
x
La tasa instantánea de cambio de c respecto a x se llama costo marginal:
cos to marginal
 c' (x)
El costo marginal proporciona el costo aproximado de producir una unidad, después de
haber producido x unidades.
El número óptimo de unidades x que se deben producir para obtener el menor costo
medio se da cuando el costo marginal es igual al costo promedio (verifíquelo
encontrando dónde ocurre el mínimo del costo promedio, criterio de la primera
derivada).
3. Ingreso marginal y Beneficio marginal
Si al vender x unidades de un bien específico, el ingreso obtenido está dado por la
función I(x), siendo I(x)=x.p(x), donde p(x) es el precio unitario cargado a las x
unidades vendidas, entonces la tasa de cambio del ingreso I respecto a x, se llama
“ingreso marginal”:
Ingreso
marginal
 I' (x)
El ingreso marginal proporciona, aproximadamente, el ingreso por la venta de una
unidad adicional.
A partir de las funciones de costo y de ingreso se define la función de beneficio
B(x)=I(x)-c(x), y la derivada de ésta es el beneficio marginal: B’(x)= I’(x)-c’(x).
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Ing. William Mendoza
El número óptimo de unidades x que se deben producir para obtener el mayor beneficio
B se da cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal ( I’(x)=c’(x) ), y además
I’’(x)<c’’(x), lo cual puede verificarse mediante el criterio de la segunda derivada para
optimización.
4. Elasticidad de la demanda
En una ecuación de demanda intervienen dos variables: el precio del producto p y la
cantidad demandada q. Ambas variables interactúan, influenciándose mutuamente.
Se define:
Elasticidad de la demanda=
Cambio
porcentual
Cambio
en la cantidad
porcentual
demandada
en el precio
Así, si q  f ( p ) es la función de demanda, entonces:
q

Elasticida d de la demanda
q
p
f(p   p) - f(p)
. 100 %

. 100 %
f(p)
p
p
p

.
f ( p  p )  f ( p )
p
f(p)
p
En el límite, cuando  p  0 , obtenemos la “elasticidad puntual de la demanda”:
Elasticida d puntual
de la demanda
p
 lím
P  0
.
f(p)
E( p ) 
f ( p  p )  f ( p )
p
Elasticida d puntual
de la demanda

p
f(p)

p
lím
f ( p  p )  f ( p )
P  0
p
f ' (p)
f(p)
Se dice que la demanda es elástica, si |E(p)|>1, en cuyo caso una disminución considerable
en el precio de venta produce un aumento considerable en la cantidad demandada, y
también un aumento considerable en el precio produce una disminución considerable en la
cantidad demandada. Esta tipo de demanda es típica con artículos no esenciales, que
fácilmente pueden sustituirse por otros.
Se dice que la demanda es inelástica, si |E(p)|<1, en cuyo caso una disminución
considerable en el precio de venta no produce un aumento considerable en la cantidad
demandada, y un aumento considerable en el precio tampoco produce una disminución
considerable en la cantidad demandada. Esta demanda es típica con artículos de primera
necesidad como tortillas, frijoles, etc.
Se dice que la demanda es elástica unitaria si |E(p)|=1, en cuyo caso una variación
porcentual en el precio produce una variación porcentual equivalente en la cantidad
demandada.
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